ルベーグ積分５｜区間・開集合・閉集合の可測性とボレル集合族

$a,b\in\R$に対して，無限区間$[a,\infty)$, $(a,\infty)$, $(-\infty,b]$, $(-\infty,b)$が全て可測であることを示せばよい．

まず，$I:=[a,\infty)$とし$I\in\mathcal{L}$を示す．

任意に集合$X\subset\R$をとる．外測度$m^{*}$の$\inf$の性質より，任意の$\epsilon>0$に対して，ある右半開区間の列$\{I_n\}$が存在して

が成り立つ．ここで$J_n:=I\cap I_n$, $K_n:=I^c\cap I_n$ ($n=1,2,\dots$)とおくと，$\{J_n\}$と$\{K_n\}$はともに右半開区間の列で

が成り立ち，$|I_n|=|J_n|+|K_n|$($n=1,2,\dots$)が成り立ちます．よって，

が成り立つから$m^{*}(X)+\epsilon>m^{*}(X\cap I)+m^{*}(X\cap I^c)$を得る．

よって，$\epsilon$の任意性と併せて$m^{*}(X)\ge m^{*}(X\cap I)+m^{*}(X\cap I^c)$だから$I\in\mathcal{L}$が従う．

同様に$(-\infty,b)\in\mathcal{L}$であることも従う．さらに，$(a,\infty)=(-\infty,a]^c$, $(-\infty,b]=(b,\infty)^c$であり，可測集合の補集合も可測集合だから$(a,\infty),(-\infty,b]\in\mathcal{L}$が従う．

$A=\emptyset$なら$A$は開集合で可測集合である．よって，あとは$A\neq\emptyset$で示せばよい．

以下，開集合$A$が高々可算個の開区間の列$\{I_n\}$の和集合で表せる，すなわち，$A=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}I_n$と表せることを示す．

これが示されれば，前回の記事で示したように一般に可測集合の可算和も可測だから，先ほど示した$\R$上の区間が可測であることと併せて$A$は可測であることが分かる．

有理数全部の集合$\Q$は可算集合だから$A\cap\Q$は可算集合である．そこで，$A\cap\Q$の全ての元に$A\cap\Q=\{a_1,a_2,\dots\}$と添字を付ける．

任意の$a_n\in A\cap\Q$に対して，$(a_n-r,a_n+r)\subset A$を満たす$r>0$の上限の$\frac{1}{2}$を$r_n$とおく：

さらに，このとき$I_n:=(a_n-r_n,a_n+r_n)$とする．$I_n$の定義より$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}I_n\subset A$が成り立つ．

一方，任意に$a\in A$をとる．$A$は開集合だから，ある$\epsilon>0$が存在して$(a-\epsilon,a+\epsilon)\subset A$が成り立つ．

$\R$における$\Q$の稠密性から，ある$k\in\N$が存在して$a_k\in(a-\frac{\epsilon}{4},a+\frac{\epsilon}{4})$が成り立つので，

が成り立つ．

よって，$r_k\ge\frac{3\epsilon}{8}>\frac{\epsilon}{4}$だから$a\in I_k$と分かるので，$a\in\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}I_n$が成り立つ．

よって，開集合$A$が$A=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}I_n$と開区間の可算和で表されるから，$A$は可測集合である．

いま示したように開集合は可測だから，開集合$A^c$は可測である．

また，前回の記事で示したように可測集合の補集合も可測だから，$A=(A^c)^c$は可測である．