区間・開集合・閉集合のルベーグ可測性とボレル集合族の定義

$a,b\in\R$に対して，無限区間$[a,\infty)$, $(a,\infty)$, $(-\infty,b]$, $(-\infty,b)$が全て可測であることを示せばよい．

まず，$I:=[a,\infty)$とし$I$が可測集合であることを示す．

任意に集合$X\subset\R$をとる．外測度$m^{*}$の定義の下限$\inf$の性質より，任意の$\epsilon>0$に対して，ある右半開区間の列$\{I_n\}$が存在して

\begin{align*}m^{*}(X)+\epsilon>\sum_{n=1}^{\infty}|I_n|\end{align*}

が成り立つ．ここで$J_n:=I\cap I_n$, $K_n:=I^c\cap I_n$ ($n=1,2,\dots$)とおくと，$\{J_n\}$と$\{K_n\}$はともに右半開区間の列で

\begin{align*}X\cap I\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}J_n,\quad
X\cap I^c\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}K_n\end{align*}

が成り立ち，$|I_n|=|J_n|+|K_n|$($n=1,2,\dots$)が成り立ちます．よって，

\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}|I_n|
=\sum_{n=1}^{\infty}(|J_n|+|K_n|)
\ge m^{*}(X\cap I)+m^{*}(X\cap I^c)\end{align*}

が成り立つから$m^{*}(X)+\epsilon>m^{*}(X\cap I)+m^{*}(X\cap I^c)$を得る．

よって，$\epsilon$の任意性と併せて$m^{*}(X)\ge m^{*}(X\cap I)+m^{*}(X\cap I^c)$だから$I$は可測集合である．

同様に$(-\infty,b)$も可測集合である．さらに，$(a,\infty)=(-\infty,a]^c$, $(-\infty,b]=(b,\infty)^c$であり，一般に可測集合の補集合も可測集合だから$(a,\infty)$, $(-\infty,b]$も可測集合である．

$A=\emptyset$なら$A$は開集合で可測集合である．よって，あとは$A\neq\emptyset$で示せばよい．

以下，高々可算個の開区間の列$\{I_n\}$の和集合が存在して，

\begin{align*}A=\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n\end{align*}

と表せることを示す．

これが示されれば，一般に可測集合の可算和集合も可測集合だから，$\R$上の区間が可測集合であることと併せて$A$は可測集合と分かる．

ステップ１（開区間の族$\{I_n\}$の定義）

$A$は空でない開集合なので$A$に含まれる有理数は無限に存在するから，$A\cap\Q$は可算集合なので$A\cap\Q=\{a_1,a_2,\dots\}$とする．

任意の$a_n\in A\cap\Q$に対して，$(a_n-r,a_n+r)\subset A$を満たす$r>0$の上限の$\frac{1}{2}$を$r_n$とおく：

\begin{align*}r_n:=\sup\set{\frac{r}{2}>0}{(a_n-r,a_n+r)\subset A}.\end{align*}

さらに，このとき$I_n:=(a_n-r_n,a_n+r_n)$とする．

ステップ２（$A=\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n$の証明）

$I_n$の定義より$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}I_n\subset A$が成り立つ．

一方，任意に$a\in A$をとる．$A$は開集合だから，ある$\epsilon>0$が存在して$(a-\epsilon,a+\epsilon)\subset A$が成り立つ．

$\R$における$\Q$の稠密性から，ある$k\in\N$が存在して$a_k\in(a-\frac{\epsilon}{4},a+\frac{\epsilon}{4})\subset A$なので，$r_k$の定義より

\begin{align*}r_k\ge\frac{1}{2}\cdot\frac{3\epsilon}{4}=\frac{3\epsilon}{8}>\frac{\epsilon}{4}>|a-a_k|\end{align*}

が成り立つ．

よって，$a\in I_k$なので$a\in\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}I_n$が成り立ち，$A\subset\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}I_n$を得る．

開集合$A$が$A=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}I_n$と開区間の可算和で表されるから，$A$は可測集合である．

閉集合の定義より$A^c$は開集合なので，いま示した定理より$A^c$は可測集合である．

また，一般に可測集合の補集合も可測集合だから，$A=(A^c)^c$は可測である．