ルベーグ積分の基本 ルベーグ測度の本質的に重要な４性質｜完全加法性などを証明
ルベーグ測度mの本質的に重要な４つの性質に，非負値性・平行移動不変性・完全加法性・区間の外測度があります．このうち，「完全加法族」が測度論的に本質的に重要で，この記事で証明しています．
山本 拓人
ルベーグ積分の基本 
微分積分学 コーシーの関数方程式｜f(x+y)=f(x)+f(y)を満たす連続関数f
f(x)=axの形の関数fは等式f(x+y)=f(x)+f(y)を満たします．実はf(x+y)=f(x)+f(y)を満たす連続関数fはf(x)=axの形のものしかないことが証明できます．
ルベーグ積分の基本 区間・開集合・閉集合のルベーグ可測性とボレル集合族の定義
ℝの区間・開集合・閉集合はルベーグ可測集合の重要な例です．また，位相空間Ωの開集合について和集合，共通部分，補集合を可算回とってできる集合全部からなる集合族をボレル集合族といいます．
関数空間 ハーディの不等式｜ソボレフ空間の重み付き空間への埋め込み
ハーディの不等式はソボレフ空間の埋め込みを示す不等式で，偏微分方程式論などで空間の重みが付いた積分を評価する際に用いられ，通常のソボレフの不等式と同様に重要な不等式となっています．この記事ではハーディの不等式の証明まで行っています．
ルベーグ積分の基本 ルベーグ可測集合族は完全加法族｜和集合・共通部分の可測性
ルベーグ外測度m*の定義域ルベーグ可測集合全部の族Lに制限してできる写像mをルベーグ測度というのでした．この記事では，Lが完全加法族であることの証明を目標に，基本性質をまとめます．
ルベーグ積分の基本 ルベーグ可測集合の定義と具体例｜ルベーグ測度の定義も紹介
外測度m*はほぼ「集合の長さを測る写像」と言えますが少し不都合があり，m*の定義域を少し狭めることで不都合を排除することを考えます．この定義域を狭めてできる写像mを「ルベーグ測度」といいます．
ルベーグ積分の基本 ルベーグ外測度の５性質｜証明とルベーグ測度との違いも紹介
ルベーグ外測度の「非負値性」「単調性」「劣加法性」「平行移動不変性」「区間の外測度」は本質的に重要な性質であり，ルベーグ測度の定義の土台となります．この記事では，これらの性質が重要な理由と，それぞれの性質の説明と証明をしています．
ルベーグ積分の基本 外測度はルベーグ積分の第１歩！「集合の長さ」を測る方法
ルベーグ積分を考えるには「集合の長さ」が鍵となり，この「集合の長さ」を測るために重要なものとして外測度があります．外測度を用いれば有理数の集合ℚのようなまばらな集合にも「長さ」を考えることができます．
京都大学｜大学院入試 2022年度｜京都大学 大学院入試｜数学・数理解析専攻｜基礎科目
2022年度の京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「基礎科目」の解答例です．6問出題され，全6問解答します．試験時間は3時間30分です．
京都大学｜大学院入試 2022年度｜京都大学 大学院入試｜数学・数理解析専攻｜専門科目
2022年度の京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「専門科目」の解答と解答の方針を解説しています．問題は12問あり2問を選択して解答します．試験時間は3時間です．