京都大学｜大学院入試 2022年度｜京都大学 大学院入試｜数学・数理解析専攻｜基礎科目
2022年度の京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「基礎科目」の解答例です．6問出題され，全6問解答します．試験時間は3時間30分です．
山本 拓人
京都大学｜大学院入試 京都大学｜大学院入試 2022年度｜京都大学 大学院入試｜数学・数理解析専攻｜専門科目
2022年度の京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「専門科目」の解答と解答の方針を解説しています．問題は12問あり2問を選択して解答します．試験時間は3時間です．
微分積分学の基本 上限supと下限inf｜最大値max・最小値minより便利なヤツら
例えば，「５未満の実数全部の集合」には最大値は存在しませんが，「上限」は存在して５となります．この記事では，上限・下限の定義と基本性質を説明しています．
微分積分学 実数はどう定義される？｜実数の連続性公理から理解する
実数を定義するには「順序体」と「実数の連続性公理」がカギとなります．実数体上の「実数の連続性公理」にはいくつかの同値な表し方があり，この記事ではその中でもメジャーな「上限性質」を説明し，実数の正確な定義を説明します．
微分積分学 チェザロ総和｜普通の意味では収束しない級数を収束させたい
1と-1を交互に足し続ける級数1-1+1-1+1-1+……は普通の意味では収束しませんが，「チェザロ総和」という考え方のもとでは1/2に総和可能ということができます．この記事では，チェザロ総和の考え方とチェザロ総和可能な数列を考えます．
集合論 関数の表し方｜“f”と“f(x)”で意味はどう違う？
高校数学では「関数f(x)」という表現が，大学数学では「関数f」という表現が多く用いられています．実はこれら“f"と“f(x)"の意味には明確な違いがあり，この記事ではこの違いを説明しています．
偏微分方程式 シュレディンガー方程式の質量とエネルギー｜保存則の証明
偏微分方程式の解が保存量を持つことはよくあり，それら保存量は偏微分方程式の解析で重要な手がかりとなります．この記事では，非線形シュレディンガー方程式の解uの質量MとエネルギーEが保存されることを説明します．
複素解析の基本 留数定理による広義積分の計算｜例題から使い方・考え方を解説
留数定理は複素積分と留数の関係を述べた複素解析の定理で，留数定理を用いれば広義積分の値が簡単に計算できることもよくあります．この記事では留数定理を説明したのち，留数定理の使い方を例題をもとに解説しています．
複素解析の基本 ローラン展開はテイラー展開の進化形！留数定理の一歩前
αの近くで微分可能な複素関数は「ローラン展開」することができ，ローラン展開はテイラー展開の拡張ということができます．また，複素解析の重要定理である「留数定理」を考えるためには欠かせないものとなっています．
複素解析の基本 正則関数のテイラー展開｜コーシーの積分公式の重要な応用
複素解析では領域上で１回でも微分可能ならテイラー展開可能であることが証明できます．また，このテイラー展開を用いることで「領域上で１回でも微分可能なら無限回微分可能」という事実を証明することもできます．