関数$e^{-x^2}$の実数全体での広義積分は
\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}\end{align*}
と計算できることが知られており，この広義積分はガウス積分やオイラー-ポアソン積分などと呼ばれます．
直観的には$xy$平面上の$y=e^{-x^2}$のグラフと$x$軸との間の面積が$\sqrt{\pi}$ということですね．
この記事では
- ガウス積分の定義と収束性
- ガウス積分の計算
- ガウス積分の計算上のポイント
を順に解説します．
ガウス積分の定義と収束性
まずはガウス積分がどのような積分であるかを定義し，ガウス積分が収束することを示しておきましょう．
ガウス積分の定義
広義積分
\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}\end{align*}
をガウス積分（Gauss integral）と言います．
一般に$G(x)=Ae^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$で定まる関数$G$がガウス関数と呼ばれているので，ガウス積分は$A=1$, $2\sigma^2=1$, $\mu=0$のときのガウス関数$G$の実数全体での積分といえますね．
$A=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$の場合のガウス関数$G$は，平均$\mu$，分散$\sigma^2$の正規分布の確率密度関数としてもよく知られていますね．
一般に，非負値関数$f$の実数全体での広義積分が
\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx:=\lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t}f(x)\,dx\end{align*}
と定義されるのでしたから，ガウス積分は
\begin{align*}\lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx\end{align*}
のことを言うわけですね．
ガウス積分の収束
ガウス積分の極限値が$\sqrt{\pi}$になることを求めるのは少々面倒ですが，収束することを示すだけであればそれほど難しくありません．
ガウス積分
\begin{align*}\dint_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx\end{align*}
は収束する．
任意の$t>1$に対して，対称性より
\begin{align*}\int_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx
=&2\int_{0}^{t}e^{-x^2}\,dx
\\=&2\int_{0}^{1}e^{-x^2}\,dx+2\int_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx\end{align*}
である．$0\le x\le1$で$e^{-x^2}$は連続だから，第１項$\dint_{0}^{1}e^{-x^2}\,dx$はリーマン積分可能である．
また，第２項$\dint_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx$は$t$について非減少であり，
\begin{align*}\int_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx&\le\int_{1}^{t}e^{-x}\,dx=\brc{-e^{-x}}_{1}^{t}
\\&=-\bra{e^{-t}-e^{-1}}\le\frac{1}{2e}\end{align*}
より$\dint_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx$は$t$について有界である．一般に上に有界かつ非減少なら極限をもつから，極限
\begin{align*}\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx\end{align*}
が存在する．以上より，広義積分$\dint_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx$が存在する．
ガウス積分の計算
それでは極座標変換を用いてガウス積分を計算しましょう．
ガウス積分は$\sqrt{\pi}$に収束する．すなわち，
\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}\end{align*}
が成り立つ．
$I(t):=\dint_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx$とする．$\lim\limits_{t\to\infty}I(t)$がガウス積分であることに注意する．
$I(t)^2$の変形
非負値関数の広義積分の定義より
\begin{align*}I(t)^2&=\bra{\int_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx}\bra{\int_{-t}^{t}e^{-y^2}\,dy}
\\&=\int_{-t}^{t}\bra{\int_{-t}^{t}e^{-x^2-y^2}\,dx}\,dy
\\&=4\int_{0}^{t}\bra{\int_{0}^{t}e^{-x^2-y^2}\,dx}\,dy
\\&=4\iint_{[0,t]\times[0,t]}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y)\end{align*}
である．
積分領域と積分の評価
$\R^2$の原点中心の２つの４分円
- $D(t):=\set{(x,y)\in\R^2}{x^2+y^2\le t^2, x\ge0, y\ge0}$
- $D(\sqrt{2}t):=\set{(x,y)\in\R^2}{x^2+y^2\le 2t^2, x\ge0, y\ge0}$
を考えると，積分領域$[0,t]\times[0,t]$は
\begin{align*}D(t)\subset[0,t]\times[0,t]\subset D(\sqrt{2}t)\end{align*}
をみたす．
このとき，被積分関数$e^{-x^2-y^2}$は正値だから，積分領域が広い方が積分の値も大きいので
\begin{align*}4\iint_{D(t)}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y)<I(t)^2<4\iint_{D(\sqrt{2}t)}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y)\end{align*}
が成り立つ．
極座標変換を用いて計算
極座標変換$(x,y)=(r\cos{\theta},r\sin{\theta})$を施すと，$x^2+y^2=r^2$であり，$D(t)$と$D(\sqrt{2}t)$はそれぞれ
- $D_1:=\set{(r,\theta)}{r\in[0,t], \theta\in\brc{0,\frac{\pi}{2}}}$
- $D_2:=\set{(r,\theta)}{r\in[0,\sqrt{2}t], \theta\in\brc{0,\frac{\pi}{2}}}$
と変換される．極座標変換のヤコビアンが$r$であることに注意して
\begin{align*}&4\iint_{D(t)}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y)
\\&=4\iint_{D_1}e^{-r^2}r\,d(r,\theta)=4\int_{0}^{t}\bra{\int_{0}^{\pi/2}re^{-r^2}\,d\theta}\,dr
\\&=4\int_{0}^{t}\frac{\pi}{2} re^{-r^2}\,dr=2\pi\brc{-\frac{1}{2}e^{-r^2}}_{0}^{t}
\\&=-\pi\bra{e^{-t^2}-1}\to\pi\quad (t\to\infty)\end{align*}
であり，同様に
\begin{align*}4\iint_{D(\sqrt{2}t)}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y)&=-\pi\bra{e^{-2t^2}-1}
\\&\to\pi\quad (t\to\infty)\end{align*}
となる．
はさみうちの原理を適用
はさみうちの原理より
\begin{align*}\bra{\lim_{t\to\infty}I(t)}^2=\lim_{t\to\infty}I(t)^2=\pi\end{align*}
だから，$I(t)>0$に注意して
\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\lim_{t\to\infty}I(t)=\sqrt{\pi}\end{align*}
を得る．
不定積分$\dint e^{-x^2}\,dx$は簡単には（初等関数では）で表せないことが知られています．一方，$xe^{-x^2}$の不定積分は
\begin{align*}\int xe^{-x^2}\,dx=-\dfrac{1}{2}e^{-x^2}\end{align*}
と簡単に表すことができます．極座標変換のヤコビアン$r$がいることで$\int re^{-r^2}\,dr$となることが，極座標変換でうまくいく理由です．
ガウス積分の計算上のポイント
以上の計算でのポイントを説明します．
正方形領域と極座標変換
２重積分$\displaystyle\iint f(x,y)\,d(x,y)$において，被積分関数$f(x,y)$の式の中に$x^2+y^2$があるときには，極座標変換$(x,y)=(r\cos{\theta},r\sin{\theta})$を用いるのは鉄板ですね．
さて，極座標変換は$xy$平面上の円板領域を$r\theta$平面へぴったり移すことができますが，そうでない領域を$r\theta$平面へ移すのは得意ではありません．
そこで，円板領域でない積分領域を円板で挟んで評価し，はさみうちの原理に持ち込むという方法がよく採られます．
今のガウス積分の計算では，$I(t)^2$を考えると正方形領域$[0,t]\times[0,t]$を積分領域とする重積分を計算することになったので，
- 正方形領域$[0,t]\times[0,t]$に含まれる領域$D(t)$
- 正方形領域$[0,t]\times[0,t]$に含まれる領域$D(\sqrt{2}t)$
での重積分を計算し，はさみうちの原理に持ち込んだわけですね．
重積分と累次積分
微分積分学では「多くの場合で
- 重積分$\displaystyle\iint_{I\times J}f(x,y)\,d(x,y)$
- 累次積分（逐次積分）$\dint_{I}\bra{\dint_{J}f(x,y)\,dx}\,dy$
は一致する」と学びます．
例えば，上の計算でいえば
\begin{align*}&\int_{0}^{t}\bra{\int_{0}^{t}e^{-x^2-y^2}\,dx}\,dy=\iint_{[0,t]\times[0,t]}e^{-x^2-y^2}\,dxdy,
\\&\iint_{D_1}e^{-r^2}r\,d(r,\theta)=\int_{0}^{t}\bra{\int_{0}^{\pi/2}re^{-r^2}\,d\theta}\,dr\end{align*}
で重積分と累次積分が一致することを用いているわけですが，定理の名前を明示するならトネリの定理から従うことが分かります．
［トネリの定理］区間$I,J\subset\R$に対して，$I\times J$上の非負関数$f$が$I\times J$上連続であれば，次の等式が成り立つ：
\begin{align*}\int_{I\times J}f(x,y)\,d(x,y)
=\int_{I}\bra{\int_{J}f(x,y)\,dx}\,dy
=\int_{J}\bra{\int_{I}f(x,y)\,dy}\,dx\end{align*}
今回の定積分$\dint_{0}^{t}\bra{\dint_{0}^{t}e^{-x^2-y^2}\,dx}\,dy$の計算では
- $[0,t]\subset\R$は区間
- 被積分関数$e^{-x^2-y^2}$は連続
なので，確かにトネリの定理から重積分に等しくなることが分かりますね．
同様に積分$\dint_{0}^{t}\bra{\dint_{0}^{\pi/2}re^{-r^2}\,d\theta}\,dr$も重積分に等しくなることがわかりますね．
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