ℝⁿ上のspanされる(生成される)部分空間の基底・次元の求め方

線形代数学の基本
線形代数学の基本

$\R^n$の部分空間$V$の基底を定義するために,生成される部分空間$\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r)}$を考えました.

$\spn$自体は線形代数でよく現れる重要な空間なので,$\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r)}$の基底はサッと求められるようになっておきたいところです.

生成される部分空間$\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r)}$の基底を求めるためには,$\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r$の中から線形独立なものを選び出す必要がありますが,その際に行基本変形が役に立ちます.

そこで,この記事では

  • 復習(生成される部分空間・線形関係・行基本変形)
  • 線形関係と行基本変形の関係
  • $\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r)}$の基底・次元の求め方
  • 生成される空間の次元と行列のランクの関係

を順に説明します.

なお,特に断らない限り以下では実行列・実ベクトルを扱うことにしますが,複素行列など一般のを成分とする行列・ベクトルに対しても同様です.

この記事の内容は一般の線形空間でも同様に成り立ちますが,簡単のためここでは$\R^n$の部分空間に限って話を進めます.

線形代数学の参考文献

以下は線形代数学に関するオススメの教科書です.

大学教養 線形代数(加藤文元 著)

数学科など理論系の学生向けの線形代数の入門書です.平易な例から丁寧に説明されています.

手を動かしてまなぶ 線形代数(藤岡敦 著)

理論と演習のバランスをとりながら勉強したい人にオススメの入門書です.

復習

この記事で重要となる生成される部分空間線形関係行基本変形を順に復習しましょう.

生成される部分空間

$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r\in\R^n$に対して,$\R^n$の部分集合

   \begin{align*}\set{c_1\m{a}_1+\dots+c_r\m{a}_r}{c_1,\dots,c_r\in\R}\end{align*}

は$\R^n$の部分空間となる.この部分空間を$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r$によって生成される部分空間(generated space)といい,$\spn{(\m{a}_1,\dots,\m{a}_r)}$などと表す.

つまり,線形結合で表せるベクトルたちを全て集めてできる部分空間のことを生成される部分空間というわけですね.

例えば,$\R^3$において$\m{a}_1=\bmat{1\\3\\0}$, $\m{a}_2=\bmat{-2\\0\\1}$とすると

   \begin{align*}\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2)} =&\set{s\m{a}_1+t\m{a}_2}{s,t\in\R} \\=&\set{s\bmat{1\\3\\0}+t\bmat{-2\\0\\1}}{s,t\in\R}\end{align*}

ということですね.

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つまり,$\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2)}$は$\m{a}_1,\m{a}_2$を伸び縮みさせて足し合わせてできるベクトルを足してできるベクトル全部の空間なので,図形的には$\m{a}_1,\m{a}_2$が乗っている平面を表しますね.

線形関係

$\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r\in\R^n$について成り立つ等式

   \begin{align*}c_1\m{a}_1+c_2\m{a}_2+\dots+c_r\m{a}_r=\m{0}\end{align*}

を$\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r$の線形関係という.

例えば,$\R^3$において$\m{a}_1=\bmat{1\\2\\0}$, $\m{a}_2=\bmat{-2\\0\\3}$, $\m{a}_3=\bmat{-1\\2\\3}$とすると

   \begin{align*}\m{a}_1+\m{a}_2-\m{a}_3=\m{0}\end{align*}

という線形関係が成り立ちますね.

行基本変形

行列について,

  1. ひとつの行を$k$倍する($k\neq0$)
  2. ひとつの行の$k$倍を別の行に加える
  3. ひとつの行を別の行と入れ替える

という3つの変形を併せて行基本変形という.

例えば,行列$\bmat{1&2&3\\4&5&6}$の変形

   \begin{align*}&\bmat{1&2&3\\4&5&6}\to\bmat{1\cdot3&2\cdot3&3\cdot3\\4&5&6}, \\&\bmat{1&2&3\\4&5&6}\to\bmat{1&2&3\\4+1\cdot2&5+2\cdot2&6+3\cdot2}, \\&\bmat{1&2&3\\4&5&6}\to\bmat{4&5&6\\1&2&3}\end{align*}

はいずれも行基本変形ですね.

線形関係と行基本変形の関係

線形関係はベクトルの話,行基本変形は行列の話なので,一見関係ないように見えるかもしれませんが,実は重要な関係があり次の定理が成り立ちます.

$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r,\m{b}_1,\dots,\m{b}_r\in\R^n$について,2つの行列$[\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r]$と$[\m{b}_1,\m{b}_2,\dots,\m{b}_r]$が行基本変形により移り合うとする.

このとき,$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r$の線形関係と$\m{b}_1,\dots,\m{b}_r$の線形関係は一致する.すなわち,次は同値である.

  1. $c_1\m{a}_1+c_2\m{a}_2+\dots+c_r\m{a}_r=\m{0}$が成り立つ.
  2. $c_1\m{b}_1+c_2\m{b}_2+\dots+c_r\m{b}_r=\m{0}$が成り立つ.

ただし,$c_1,c_2,\dots,c_r\in\R$である.

つまり,「2つの行列が行基本変形で移り合うなら,2つの行列をなす列ベクトルの線形結合は不変である」というわけですね.

(1)の等式と(2)の等式が連立1次方程式に見えれば証明は簡単です.

$A:=[\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r]$, $B:=[\m{b}_1,\m{b}_2,\dots,\m{b}_r]$, $\m{c}:=\bmat{c_1\\c_2\\\vdots\\c_r}$とおくと,(1)の等式は$A\m{c}=\m{0}$と書き換えることができ,同様に(2)の等式は$A\m{c}=\m{0}$と書き換えることができる.

つまり,(1)は$\m{c}$が連立1次方程式$A\m{x}=\m{0}$の解,(2)は$\m{c}$が連立1次方程式$B\m{x}=\m{0}$の解ということと同値である.

拡大係数行列を行基本変形しても連立1次方程式の解は変わらない(掃き出し法)から,$(1)\iff(2)$が成り立つ.

生成される部分空間の基底・次元の求め方

いま示した「行基本変形で行列をなす列ベクトルの線形関係は変わらない」という定理を用いて,生成される部分空間の基底を求めてみましょう.

具体例1

$\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3\in\R^3$を

   \begin{align*}\m{a}_1=\bmat{1\\2\\3},\quad \m{a}_2:=\bmat{-2\\1\\1},\quad \m{a}_3:=\bmat{-1\\3\\4}\end{align*}

とする.このとき,$\R^3$の部分空間$V=\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3)}$の基底を一組求め,次元を求めよ.

行列$[\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3]$に行基本変形を施すと,

   \begin{align*}[\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3] =&\bmat{1&-2&-1\\2&1&3\\3&1&4} \\\to&\bmat{1&-2&-1\\0&5&5\\0&7&7} \to\bmat{1&0&1\\0&1&1\\0&0&0}\end{align*}

と簡約化される.この簡約行列を$[\m{b}_1,\m{b}_2,\m{b}_3]$とすると

   \begin{align*}\m{b}_1=\bmat{1\\0\\0},\quad\m{b}_2=\bmat{0\\1\\0},\quad\m{b}_3=\bmat{1\\1\\0}\end{align*}

なので,

  • $\m{b}_1,\m{b}_2$は線形独立
  • $\m{b}_3=\m{b}_1+\m{b}_2$

である.行基本変形で行列をなす列ベクトルの線形関係は不変だから,

  1. $\m{a}_1,\m{a}_2$は線形独立
  2. $\m{a}_3=\m{a}_1+\m{a}_2$

が成り立つ.(2)の線形関係より

   \begin{align*}V=&\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_1+\m{a}_2)} \\=&\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2)}\end{align*}

であり,(1)と併せて$\anb{\m{a}_1,\m{a}_2}$は$V$の基底であることが分かる.

$V$は$2$個のベクトルからなる基底をもつことが分かったから,$\dim{V}=2$である.

行基本変形で$[\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3]\to[\m{b}_1,\m{b}_2,\m{b}_3]$と簡約化すると,上で示した定理より

  • $\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3$の線形関係
  • $\m{b}_1,\m{b}_2,\m{b}_3$の線形関係

は一致し,$\m{b}_1,\m{b}_2,\m{b}_3$の線形関係は簡単に得られるので,結果として$\m{b}_1,\m{b}_2,\m{b}_3$の線形関係が得られるというわけですね.

具体例2

ベクトルの個数が変わってもやることは同じです.

$\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3,\m{a}_4\in\R^3$を

   \begin{align*}\m{a}_1=\bmat{1\\2\\-1},\quad \m{a}_2:=\bmat{2\\4\\-2},\quad \m{a}_3:=\bmat{-1\\-1\\3},\quad \m{a}_4:=\bmat{1\\3\\1}\end{align*}

とする.このとき,$\R^3$の部分空間$V=\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3,\m{a}_4)}$の基底を一組求め,次元を求めよ.

行列$[\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3,\m{a}_4]$に行基本変形を施すと,

   \begin{align*}[\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3,\m{a}_4] =&\bmat{1&2&-1&1\\2&4&-1&3\\-1&-2&3&1} \\\to&\bmat{1&2&-1&1\\0&0&1&1\\0&0&2&2} \to\bmat{1&2&0&2\\0&0&1&1\\0&0&0&0}\end{align*}

と簡約化される.この簡約行列を$[\m{b}_1,\m{b}_2,\m{b}_3,\m{b}_4]$とすると

   \begin{align*}\m{b}_1=\bmat{1\\0\\0},\quad\m{b}_2=\bmat{2\\0\\0},\quad\m{b}_3=\bmat{0\\1\\0},\quad\m{b}_4=\bmat{2\\1\\0}\end{align*}

なので,

  • $\m{b}_1,\m{b}_3$は線形独立
  • $\m{b}_2=2\m{b}_1$, $\m{b}_4=2\m{b}_1+\m{b}_3$

である.行基本変形で行列をなす列ベクトルの線形関係は不変だから,

  1. $\m{a}_1,\m{a}_3$は線形独立
  2. $\m{a}_2=2\m{a}_1$, $\m{a}_4=2\m{a}_1+\m{a}_3$

が成り立つ.(2)の線形関係より

   \begin{align*}V=&\spn{(\m{a}_1,2\m{a}_1,\m{a}_3,2\m{a}_1+\m{a}_3)} \\=&\spn{(\m{a}_1,\m{a}_3)}\end{align*}

であり,(1)と併せて$\anb{\m{a}_1,\m{a}_3}$は$V$の基底であることが分かる.

$V$は$2$個のベクトルからなる基底をもつことが分かったから,$\dim{V}=2$である.

この場合も行基本変形で列ベクトルの線形関係が変わらないことと,簡約行列の列ベクトルの線形関係が簡単に得られることを用いていますね.

生成される空間の次元と行列のランクの関係

上の具体例から,次が成り立つことが見てとれますね.

$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r,\m{b}_1,\dots,\m{b}_r\in\R^n$について,$\R^n$の部分空間を$V:=\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r)}$と定める.このとき,

   \begin{align*}\dim{V}=\rank{[\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r]}\end{align*}

が成り立つ.

$A:=[\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r]$とし,$s:=\rank{A}$とする.また,$A$に行基本変形を施して,$B:=[\m{b}_1,\m{b}_2,\dots,\m{b}_r]$と簡約化されたとする.

このとき,$B$の主成分をもつ列を1列目から順に$\m{b}_{n_1},\m{b}_{n_2},\dots,\m{b}_{n_s}$とすると,

   \begin{align*}\m{b}_{n_k}=\m{e}_k\quad(k=1,2,\dots,s)\end{align*}

が成り立つ.よって,$\m{b}_{n_1},\m{b}_{n_2},\dots,\m{b}_{n_s}$は線形独立である.

また,$s=\rank{A}$と$B$が$A$の簡約行列であることから,$B$の第$(s+1)$行目以降の成分は全て$0$なので,$B$の全ての列ベクトルは$\m{e}_{1},\m{e}_{2},\dots,\m{e}_{s}$の線形結合で表せる.

行基本変形で行列をなす列ベクトルの線形関係は不変だから,

   \begin{align*}V=&\spn{(\m{a}_{n_1},\m{a}_{n_2},\dots,\m{a}_{n_s})}\end{align*}

であり,$\m{a}_{n_1},\m{a}_{n_2},\dots,\m{a}_{n_s}$は線形独立だから,$\dim{V}=s$が従う.

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