2016大学院入試｜京都大学 数学・数理解析専攻｜専門科目

測度空間$(X,\mathcal{F},\mu)$上の関数列$\{f_n\}_{n\in\N}$は次の条件を満たすと仮定する．

$(*)$　$\{f_n\}$は$\mu$-可積分な関数列であって，$n\to\infty$のときほとんどいたるところ0に収束する．

このとき，以下の条件を考える．

(A)　$\lim\limits_{\lambda\to\infty}\sup\limits_{n\in\N}\dint_{\{|f_n|\ge\lambda\}}|f_n|\,d\mu=0$

(B)　$\inf\limits_{\substack{E\in\mathcal{F}\\\mu(E)<\infty}}\sup\limits_{n\in\N}\dint_{X\setminus E}|f_n|\,d\mu=0$

(C)　$\lim\limits_{n\to\infty}\dint_{X}|f_n|\,d\mu=0$

以下の問に答えよ．

(i)　(A)と(B)が成り立つならば(C)が成り立つことを示せ．

(ii)　(C)が成り立つならば(A)が成り立つことを示せ．

(iii)　測度空間$(X,\mathcal{F},\mu)$の$\sigma$-有限性を仮定するとき，(C)が成り立つならば(B)が成り立つことを示せ．

$U$, $V$, $W$を実Banach空間とし，$\|\cdot\|{U}$, $\|\cdot\|{V}$, $\|\cdot\|_{W}$をそれぞれのノルムとする．写像$T:U\times V\to W$は以下の(A),(B)をみたすとする．

(A)　$u,u’\in U$, $v,v’\in V$, $\alpha,\beta\in\R$ならば，

(B)　$U$, $V$の点列$\{u_n\}_{n=1}^{\infty}$, $\{v_n\}_{n=1}^{\infty}$が，$\lim\limits_{n\to\infty}{u_n}=u\in U$, $\lim\limits_{n\to\infty}{v_n}=v\in V$, $\lim\limits_{n\to\infty}T(u_n,v_n)=w\in W$をみたすならば，$T(u,v)=w$である．

このとき，ある定数$M>0$が存在して，任意の$u\in U$, $v\in V$に対して，

が成り立つことを示せ．