2022年度｜京都大学 大学院入試｜数学・数理解析専攻｜専門科目

極限$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\int_{0}^{1/n}f(x+t)\,dt)^{n}$を求める

任意に$a\in[0,\infty)$をとる．このとき，

\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\bra{1+\int_{0}^{1/n}f(a+t)\,dt}^{n}=e^{f(a)}\end{align*}

が成り立つことを示す．

［１］$f(a)=0$のときを示す．

任意に$\epsilon>0$をとる．$f$は$[0,\infty)$上一様連続なので$a$で連続だから，ある$N\in\N$が存在して，

\begin{align*}n>N\Ra \brc{0\le t\le\frac{1}{n}\Ra |0-f(a+t)|<\epsilon}\end{align*}

が成り立つ．よって，$f$の非負値性を併せて，$n>N$なら

\begin{align*}1\le\bra{1+\int_{0}^{1/n}f(a+t)\,dt}^n\le\bra{1+\frac{\epsilon}{n}}^n\end{align*}

が成り立つ．$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{\epsilon}{n})^n=e^{\epsilon}$なので，

\begin{align*}1&\le\liminf_{n\to\infty}\bra{1+\int_{0}^{1/n}f(a+t)\,dt}^n
\\&\le\limsup_{n\to\infty}\bra{1+\int_{0}^{1/n}f(a+t)\,dt}^n\le e^{\epsilon}\end{align*}

であり，$\epsilon$の任意性から

\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\bra{1+\int_{0}^{1/n}f(a+t)\,dt}^{n}=1\end{align*}

を得る．

［２］$f(a)\neq0$のときを示す．

任意に$\epsilon\in(0,f(a))$をとる．$f$は$[0,\infty)$上一様連続なので$a$で連続だから，ある$N\in\N$が存在して，

\begin{align*}n>N\Ra \brc{0\le t\le\frac{1}{n}\Ra |f(a)-f(a+t)|<\epsilon}\end{align*}

が成り立つ．よって，$n>N$なら

\begin{align*}\frac{f(a)-\epsilon}{n}\le\int_{0}^{1/n}f(a+t)\,dt\le\frac{f(a)+\epsilon}{n}\end{align*}

が成り立ち，複号同順で$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{f(a)\pm\epsilon}{n})^{n}=e^{f(a)\pm\epsilon}$なので，

\begin{align*}e^{f(a)-\epsilon}&\le\liminf_{n\to\infty}\bra{1+\int_{0}^{1/n}f(a+t)\,dt}^{n}
\\&\le\limsup_{n\to\infty}\bra{1+\int_{0}^{1/n}f(a+t)\,dt}^{n}\le e^{f(a)+\epsilon}\end{align*}

であり，$\epsilon$の任意性から

\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\bra{1+\int_{0}^{1/n}f(a+t)\,dt}^{n}=e^{f(a)}\end{align*}

を得る．

極限と積分の順序交換の正当化

$f$は$[0,\infty)$上一様連続なので，ある$N’\in\N$が存在して，

\begin{align*}n>N’\Ra\brc{0\le t\le\frac{1}{n}, x\in[0,\infty)\Ra |f(x)-f(x+t)|<1}\end{align*}

が成り立つ．よって，$n>N’$なら任意の$x\in[0,\infty)$に対して

\begin{align*}\bra{1+\int_{0}^{1/n}f(x+t)\,dt}^{n}
&\le\bra{1+\int_{0}^{1/n}(f(x)+1)\,dt}^{n}
\\&=\bra{1+\frac{f(x)+1}{n}}^{n}\end{align*}

が成り立つ．$\bra{1+\frac{f(x)+1}{n}}^{n}$は$n$に関して単調増加であり

\begin{align*}&\bra{1+\int_{0}^{1/n}f(x+t)\,dt}^{n}
\\&\le\lim_{n\to\infty}\bra{1+\frac{f(x)+1}{n}}^{n}
=e^{f(x)+1}\end{align*}

が成り立つから，

\begin{align*}\bra{1+\int_{0}^{1/n}f(x+t)\,dt}^{n}\le e^{f(x)+1}\end{align*}

が成り立つ．また，仮定より

\begin{align*}\int_{[0,\infty)}e^{f(x)+1}\mu(dx)=e\int_{[0,\infty)}e^{f(x)}\mu(dx)<\infty\end{align*}

だから，$e^{f(x)+1}$は$[0,\infty)$上$\mu$-可積分である．

以上より，ルベーグの収束定理が適用できて

\begin{align*}&\lim_{n\to\infty}\int_{[0,\infty)}\bra{1+\int_{0}^{1/n}f(x+t)\,dt}^{n}\,\mu(dx)
\\&=\int_{[0,\infty)}\lim_{n\to\infty}\bra{1+\int_{0}^{1/n}f(x+t)\,dt}^{n}\,\mu(dx)
\\&=\int_{[0,\infty)}e^{f(x)}\,\mu(dx)\end{align*}

を得る．

(1)の解答

任意に$g\in L^2(I)$と$\varepsilon>0$をとる．$C^{\infty}_{0}(I)$は$L^2(I)$で稠密だから，ある$h\in C^{\infty}_0(I)$が存在して$\|g-h\|_2<\varepsilon$を満たす．

よって，三角不等式，コーシー-シュワルツの不等式，ヘルダーの不等式（$\frac{1}{1}+\frac{1}{\infty}=1$）から

\begin{align*}|(f_n,g)|&\le|(f_n,g-h)|+|(f_n,h)|
\\&\le\|f_n\|_2\|g-h\|_2+\|f_n\|_1\|h\|_{\infty}
\\&<\varepsilon+\|f_n\|_1\|h\|_{\infty}
\to\varepsilon\quad(n\to\infty)\end{align*}

が成り立つ．ここに，$\|\cdot\|_{\infty}$は$I$上の一様ノルムを表す．

よって，$\limsup\limits_{n\to\infty}|(f_n,g)|\le\varepsilon$が成り立つから，$\varepsilon>0$の任意性より$\limsup\limits_{n\to\infty}|(f_n,g)|\le0$が成り立つ．よって，

\begin{align*}0\le\liminf_{n\to\infty}|(f_n,g)|\le\limsup_{n\to\infty}|(f_n,g)|\le0\end{align*}

となって$\lim\limits_{n\to\infty}(f_n,g)=0$が成り立つから$\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$は$L^2(I)$上で０に弱収束する．

(2)の解答

任意に$\varepsilon>0$をとる．$f\in L^2(I)$が$\|Tf\|_2\le\varepsilon\|f\|_2$を満たすとき，

\begin{align*}\|Tf\|_2\le\varepsilon\|f\|_2+\|f\|_1\end{align*}

が成り立つ．次に，$f\in L^2(I)$が$\|Tf\|_2>\varepsilon\|f\|_2$を満たすときを考える．

ここで，任意の$M_{\varepsilon}>0$に対して，$\|Tf\|_2>\varepsilon\|f\|_2$かつ$\|f\|_2>M_{\varepsilon}\|f\|_1$を満たす$f\in L^2(I)$が存在すると仮定する．このとき，

\begin{align*}\|Tf_n\|_2>\varepsilon\|f_n\|_2\quad
\text{かつ}\quad
\|f_n\|_2>n\|f_n\|_1\end{align*}

を満たす$L^2(I)$上の列$\{f_n\}$が存在する．

このとき，$g_{n}:=\frac{f_n}{\|f_n\|_2}$とすると，

\begin{align*}&\|g_{n}\|_2=\nor{\frac{f_n}{\|f_n\|_2}}_2=\frac{\|f_n\|_2}{\|f_n\|_2}=1,\quad
\\&\|g_{n}\|_1=\nor{\frac{f_n}{\|f_n\|_2}}_1=\frac{\|f_n\|_1}{\|f_n\|_2}<\frac{1}{n}\end{align*}

なので(1)より$\{g_n\}$は０に弱収束するから，$T$のコンパクト性と併せて$\{Tg_{n}\}_{n=1}^{\infty}$は０に$L^2(I)$で強収束する．一方，

\begin{align*}\|Tg_n-0\|_2=\nor{\frac{Tf_n}{\|f_n\|_2}}_2=\frac{\|Tf_n\|_2}{\|f_n\|_2}>\varepsilon\end{align*}

なので，これは矛盾である．

よって，仮定は誤りで，ある$M_{\varepsilon}>0$が存在して，$\|Tf\|_2>\varepsilon\|f\|_2$を満たす任意の$f\in L^2(I)$に対して$\|f\|_2\le M_{\varepsilon}\|f\|_1$が成り立つ．

したがって，$\|Tf\|_2>\varepsilon\|f\|_2$なる任意の$f\in L^2(I)$に対して，

\begin{align*}\|Tf\|_2&\le\|T\|\|f\|_2\le\|T\|_{L^2(I)\to L^2(I)}M_{\varepsilon}\|f\|_1
\\&<\varepsilon\|f\|_2+\|T\|_{L^2(I)\to L^2(I)}M_{\varepsilon}\|f\|_1\end{align*}

となる．ただし，$\|T\|$は$T:L^2(I)\to L^2(I)$の作用素ノルムである（一般にコンパクト作用素は有界作用素）．

以上より，任意の$f\in L^2(I)$に対して

\begin{align*}\|Tf\|_2\le\varepsilon\|f\|_2+\max\{\|T\|_{L^2(I)\to L^2(I)}M_{\varepsilon},1\}\|f\|_1\end{align*}

が成り立つ．

任意に$\varepsilon>0$をとる．$T$はコンパクト作用素だから

\begin{align*}\|T-S\|_{L^2(I)\to L^2(I)}<\frac{\varepsilon}{2}\end{align*}

を満たす有限次元作用素$S:L^2(I)\to L^2(I)$が存在する．このとき，任意の$f\in L^2(I)$に対して，

\begin{align*}\|Tf\|_2
&\le\|(T-S)f\|_2+\|Sf\|_2
\\&\le\|T-S\|_{L^2(I)\to L^2(I)}\|f\|_2+\|Sf\|_2
\\&\le\frac{\varepsilon}{2}\|f\|_2+\|Sf\|_2\end{align*}

が成り立つ．

ここで$d:=\dim\mathcal{R}(S)$とおく．$d=0$のときは$S=0$となり成り立つので，以下$d\ge1$とする．ある$g_1,g_2,\dots,g_d\in L^2(I)$と$\mathcal{R}(S)$の基底$(h_1,h_2,\dots,h_d)$が存在して，任意の$f\in L^2(I)$に対して

\begin{align*}Sf=\sum_{k=1}^{d}(f,g_k)h_k\end{align*}

が成り立つ．また，各$k\in\{1,2,\dots,d\}$に対して，ある$\tilde{g}_k\in C_0^\infty(I)$が存在して，

\begin{align*}\|g_k-\tilde{g}_k\|_2<\frac{\varepsilon}{2d\|h_k\|_2}\end{align*}

が成り立つ（$k=1,2,\dots,d$）．よって，三角不等式，コーシー-シュワルツの不等式，ヘルダーの不等式（$\frac{1}{1}+\frac{1}{\infty}=1$）から

\begin{align*}\|Sf\|_2&\le\Biggl\|\sum_{k=1}^{d}(f,g_k-\tilde{g}_k)h_k\Biggr\|_2+\Biggl\|\sum_{k=1}^{d}(f,\tilde{g}_k)h_k\Biggr\|_2
\\&\le\sum_{k=1}^{d}|(f,g_k-\tilde{g}_k)|\|h_k\|_2+\sum_{k=1}^{d}|(f,\tilde{g}_k)|\|h_k\|_2
\\&\le\sum_{k=1}^{d}\|f\|_2\|g_k-\tilde{g}_k\|_2\|h_k\|_2+\sum_{k=1}^{d}\|f\|_1\|\tilde{g}_k\|_{\infty}\|h_k\|_2
\\&\le\frac{\varepsilon}{2}\|f\|_2+C_\varepsilon\|f\|_1\end{align*}

が成り立つ．ただし，$C_\varepsilon:=\sum\limits_{k=1}^{d}\|\tilde{g}_k\|_{\infty}\|h_k\|_2$とおいた．

以上を併せて，任意の$f\in L^2(I)$に対して，

\begin{align*}\|Tf\|_2\le\frac{\varepsilon}{2}\|f\|_2+\|Sf\|_2\le\varepsilon\|f\|_2+C_\varepsilon\|f\|_1\end{align*}

が従う．

$\m{n}(x)$を$x\in\partial\Omega$での外側単位法線ベクトルとする．また，$L^2(\Omega)$内積を$\anb{\cdot,\cdot}$で表し，$L^2(\Omega)$ノルムを$\|\cdot\|$で表す：

\begin{align*}\anb{u,v}:=\int_{\Omega}u(x)v(x)\,dx,\quad
\|u\|:=\sqrt{\anb{u,u}}.\end{align*}

(1)の解答

等式$u_\varepsilon\Delta u_\varepsilon+|\nabla u_\varepsilon|^2=\nabla\cdot(u_\varepsilon\nabla u_\varepsilon)$とガウスの発散定理と境界条件より

\begin{align*}\anb{u_\varepsilon,\Delta u_\varepsilon}+\|\nabla u_\varepsilon\|^2
&=\int_{\Omega}\nabla\cdot(u_\varepsilon\nabla u_\varepsilon)\,dx
\\&=\int_{\partial\Omega}u_\varepsilon\nabla u_\varepsilon\cdot\m{n}(x)\,dS
=0\end{align*}

となるから，$\anb{u_\varepsilon,\Delta u_\varepsilon}=-\|\nabla u_\varepsilon\|^2$が成り立つ．これより，微分方程式の両辺に$u_{\varepsilon}$, $\Delta u_{\varepsilon}$をかけて$\Omega$上で積分したものはそれぞれ

\begin{align*}\varepsilon\|\nabla u_\varepsilon\|^2+\|u_{\varepsilon}\|^2=\anb{f,u_\varepsilon},\quad
-\varepsilon\|\Delta u_\varepsilon\|^2-\|\nabla u_{\varepsilon}\|^2=\anb{f,\Delta u_\varepsilon}\end{align*}

となる．よって，$\|\nabla u_{\varepsilon}\|^2\ge0$とコーシー-シュワルツの不等式より

\begin{align*}\varepsilon\|\Delta u_\varepsilon\|^2
\le-\anb{f,\Delta u_\varepsilon}
\le\|f\|\|\Delta u_\varepsilon\|\end{align*}

が成り立つから，２つ目の不等式$\varepsilon\|\Delta u_\varepsilon\|\le\|f\|$を得る．また，$\|\nabla u_{\varepsilon}\|^2\ge0$と微分方程式と$\anb{f,\Delta u_\varepsilon}\le-\varepsilon\|\Delta u_\varepsilon\|^2\le0$より

\begin{align*}\varepsilon\|\nabla u_\varepsilon\|^2
\le\anb{f,u_\varepsilon}
=\anb{f,f+\varepsilon\Delta u_\varepsilon}
\le\|f\|^2\end{align*}

が成り立つから，１つ目の不等式$\sqrt{\varepsilon}\|\nabla u_\varepsilon\|\le\|f\|$を得る．

(2)の解答

任意に$\eta>0$をとる．$L^2(\Omega)$における$C_0^\infty(\Omega)$の稠密性より，ある$g\in C_0^\infty(\Omega)$が存在して$\|f-g\|<\eta$が成り立つ．

微分方程式と(1)で得られた$\anb{u_\varepsilon,\Delta u_\varepsilon}=-\|\nabla u_\varepsilon\|^2\le0$より

\begin{align*}\|u_\varepsilon-f\|^2
&=\anb{u_\varepsilon-f,\varepsilon\Delta u_\varepsilon}
\\&=\varepsilon\anb{u_\varepsilon,\Delta u_\varepsilon}-\varepsilon\anb{f,\Delta u_\varepsilon}
\\&\le\varepsilon\anb{g-f,\Delta u_\varepsilon}-\varepsilon\anb{g,\Delta u_\varepsilon}\end{align*}

が成り立つ．この最右辺の第１項はコーシー-シュワルツの不等式と(1)で得られた不等式より

\begin{align*}\varepsilon\anb{g-f,\Delta u_\varepsilon}
\le\varepsilon\|f-g\|\|\Delta u_\varepsilon\|
\le\|f-g\|\|f\|
\le\|f\|\eta\end{align*}

と評価でき，第２項はガウスの発散定理と$g(x)=0$（$x\in\partial\Omega$）とコーシー-シュワルツの不等式より

\begin{align*}-\varepsilon\anb{g,\Delta u_\varepsilon}
&=-\varepsilon\int_{\Omega}\nabla\cdot(g(x) \nabla u_\varepsilon(x))\,dx+\varepsilon\int_{\Omega}\nabla g(x)\cdot\nabla u_\varepsilon(x)\,dx
\\&=-\varepsilon\int_{\partial\Omega}g(x)\nabla u_\varepsilon(x)\cdot\m{n}(x)\,dS+\varepsilon\int_{\Omega}\nabla g(x)\cdot\nabla u_\varepsilon(x)\,dx
\\&=\varepsilon\int_{\Omega}\nabla g(x)\cdot\nabla u_\varepsilon(x)\,dx
\\&\le\varepsilon\|\nabla g\|\|\nabla u_\varepsilon\|
\le\sqrt{\varepsilon}\|\nabla g\|\|f\|\end{align*}

と評価できる．よって，

\begin{align*}\limsup_{\varepsilon\downarrow0}\|u_\varepsilon-f\|^2
\le\limsup_{\varepsilon\downarrow0}\bra{\|f\|\eta+\sqrt{\varepsilon}\|\nabla g\|\|f\|}
\le\|f\|\eta\end{align*}

が成り立つから，$\eta>0$の任意性と併せて$\limsup\limits_{\varepsilon\downarrow0}\|u_\varepsilon-f\|^2\le0$を得る．よって，

\begin{align*}0\le\liminf_{\varepsilon\downarrow0}\|u_\varepsilon-f\|^2\le\limsup_{\varepsilon\downarrow0}\|u_\varepsilon-f\|^2\le0\end{align*}

だから，$\lim\limits_{\varepsilon\downarrow0}\|u_\varepsilon-f\|=0$が従う．

$\varepsilon\downarrow0$で$u_\varepsilon\xrightarrow[]{\text{weakly}}f$かつ$\|u_\varepsilon\|\to\|f\|$が成り立つことを示せば，$\lim\limits_{\varepsilon\downarrow0}\|u_\varepsilon-f\|=0$が従う．

［弱収束の証明］任意に$\phi\in L^2(\Omega)$をとる．また，任意に$\eta>0$をとる．

$L^2(\Omega)$における$C_0^\infty(\Omega)$の稠密性より，ある$\psi\in C_0^\infty(\Omega)$が存在して$\|\phi-\psi\|<\eta$が成り立つ．微分方程式と三角不等式より

\begin{align}|\anb{u_\varepsilon,\phi}-\anb{f,\phi}|
=\varepsilon|\anb{\Delta u_\varepsilon,\phi}|
\le\varepsilon|\anb{\Delta u_\varepsilon,\psi}|+\varepsilon|\anb{\Delta u_\varepsilon,\phi-\psi}|\label{eq:Delta u-f, phi}\end{align}

と評価できる．

\eqref{eq:Delta u-f, phi}の最右辺の第１項について，等式$\psi\Delta u_{\varepsilon}+\nabla\psi\cdot\nabla u_{\varepsilon}=\nabla\cdot(\psi\nabla u_{\varepsilon})$とガウスの発散定理と$\psi$が境界で０であることより，

\begin{align*}\anb{\Delta u_\varepsilon,\psi}+\int_{\Omega}\nabla\psi(x)\cdot\nabla u_{\varepsilon}(x)\,dx
&=\int_{\Omega}\nabla\cdot(\psi(x)\nabla u_{\varepsilon}(x))\,dx
\\&=\int_{\partial\Omega}\psi(x)\nabla u_{\varepsilon}(x)\cdot\m{n}(x)\,dS=0\end{align*}

となるから，さらにコーシー-シュワルツの不等式と(1)を併せて

\begin{align*}\varepsilon|\anb{\Delta u_\varepsilon,\psi}|
\le\varepsilon\|\nabla u_\varepsilon\|\|\nabla\psi\|
\le\sqrt{\varepsilon}\|f\|\|\nabla\psi\|
\xrightarrow[]{\varepsilon\downarrow0}0\end{align*}

が成り立つ．また，\eqref{eq:Delta u-f, phi}の最右辺の第２項について，コーシー-シュワルツの不等式と(1)を併せて

\begin{align*}\varepsilon|\anb{\Delta u_\varepsilon,\phi-\psi}|
\le\varepsilon\|\Delta u_\varepsilon\|\|\phi-\psi\|
\le\|f\|\eta\end{align*}

が成り立つ．以上より

\begin{align*}\limsup_{\varepsilon\downarrow0}|\anb{u_\varepsilon,\phi}-\anb{f,\phi}|\le\|f\|\eta\end{align*}

が成り立つから，$\eta>0$の任意性と併せて

\begin{align*}0\le\liminf_{\varepsilon\downarrow0}|\anb{u_\varepsilon,\phi}-\anb{f,\phi}|\le\limsup\limits_{\varepsilon\downarrow0}|\anb{u_\varepsilon,\phi}-\anb{f,\phi}|\le0\end{align*}

が得られ，$\lim\limits_{\varepsilon\downarrow0}|\anb{u_\varepsilon,\phi}-\anb{f,\phi}|=0$が従う．

［ノルムの収束の証明］$\varepsilon\downarrow0$で弱収束$u_\varepsilon\xrightarrow[]{\text{weakly}}f$が成り立つことから

\begin{align*}\|f\|\le\liminf_{\varepsilon\downarrow0}\|u_\varepsilon\|\end{align*}

を得る．また，(1)で得られた等式$\varepsilon\|\nabla u_\varepsilon\|^2+\|u_{\varepsilon}\|^2=\anb{f,u_\varepsilon}$とコーシー-シュワルツの不等式より

\begin{align*}\|u_\varepsilon\|^2
\le\anb{f,u_\varepsilon}
\le\|u_\varepsilon\|\|f\|\end{align*}

だから，$\|u_\varepsilon\|\le\|f\|$が成り立つ．よって，

\begin{align*}\|f\|\le\liminf_{\varepsilon\downarrow0}\|u_\varepsilon\|\le\limsup_{\varepsilon\downarrow0}\|u_\varepsilon\|\le\|f\|\end{align*}

が得られ，$\lim\limits_{\varepsilon\downarrow0}\|u_\varepsilon\|=\|f\|$が従う．