2014大学院入試｜京都大学 数学・数理解析専攻｜基礎科目II

任意に$\epsilon>0$をとる．$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=1$より，$R>0$が存在して，$x\ge R$なら$\abs{f(x)-1}<\epsilon$が成り立つ．

また，$f$は有界閉区間$[0,R]$上で連続なので有界だから，ある$M>0$が存在して，$\sup\limits_{x\in[0,R]}|f(x)|\le M$が成り立つ．よって，

\begin{align*}\abs{\frac{1}{n!}\int_{0}^{R}f(x)e^{-x}x^n\,dx}
&\le\frac{1}{n!}\int_{0}^{R}|f(x)|e^{-x}x^n\,dx
\\&\le\frac{1}{n!}\int_{0}^{R}M\cdot1\cdot x^n\,dx
\\&=\frac{M}{n!}\cdot\frac{R^{n+1}-0}{n+1}
\\&=\frac{MR^{n+1}}{(n+1)!}
\xrightarrow[]{n\to\infty}0\end{align*}

を得る．一方，

\begin{align*}&\abs{\frac{1}{n!}\int_{R}^{\infty}f(x)e^{-x}x^{n}\,dx-\frac{1}{n!}\int_{R}^{\infty}e^{-x}x^n\,dx}
\\&=\abs{\frac{1}{n!}\int_{R}^{\infty}(f(x)-1)e^{-x}x^n\,dx}
\\&\le\frac{1}{n!}\int_{R}^{\infty}|f(x)-1|e^{-x}x^n\,dx
\\&<\frac{\epsilon}{n!}\int_{R}^{\infty}e^{-x}x^n\,dx\end{align*}

が成り立つ．部分積分を繰り返し行うことにより

\begin{align*}&\frac{1}{n!}\int_{R}^{\infty}e^{-x}x^n\,dx
=\frac{e^{-R}R^n}{n!}+\frac{1}{(n-1)!}\int_{R}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}\,dx
\\&=\frac{e^{-R}R^n}{n!}+\frac{e^{-R}R^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{1}{(n-2)!}\int_{R}^{\infty}e^{-x}x^{n-2}\,dx
\\&=\dots
\\&=\frac{e^{-R}R^n}{n!}+\frac{e^{-R}R^{n-1}}{(n-1)!}+\dots+\frac{e^{-R}R}{1!}+\frac{1}{0!}\int_{R}^{\infty}e^{-x}\,dx
\\&=\frac{e^{-R}R^n}{n!}+\frac{e^{-R}R^{n-1}}{(n-1)!}+\dots+\frac{e^{-R}R}{1!}+\frac{e^{-R}}{0!}
\\&=e^{-R}\sum_{k=0}^{n}\frac{R^k}{k!}
\xrightarrow[]{n\to\infty}e^{-R}e^{R}=1\end{align*}

なので，

\begin{align*}&\limsup_{n\to\infty}\abs{\frac{1}{n!}\int_{R}^{\infty}f(x)e^{-x}x^{n}\,dx-1}
\\&\le\limsup_{n\to\infty}\abs{\frac{1}{n!}\int_{R}^{\infty}f(x)e^{-x}x^{n}\,dx-\frac{1}{n!}\int_{R}^{\infty}e^{-x}x^n\,dx}
\\&\quad+\limsup_{n\to\infty}\abs{\frac{1}{n!}\int_{R}^{\infty}e^{-x}x^{n}\,dx-1}
\\&\le\epsilon+0=\epsilon\end{align*}

となり，$\epsilon$の任意性より

\begin{align*}\limsup_{n\to\infty}\abs{\frac{1}{n!}\int_{R}^{\infty}f(x)e^{-x}x^{n}\,dx-1}=0\end{align*}

が成り立つ．よって，これは$\lim\limits_{n\to\infty}$で成り立ち

\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n!}\int_{R}^{\infty}f(x)e^{-x}x^{n}\,dx=1\end{align*}

を得る．以上より，

\begin{align*}&\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{\infty}f(x)e^{-x}x^{n}\,dx
\\&=\lim_{n\to\infty}\bra{\frac{1}{n!}\int_{0}^{R}f(x)e^{-x}x^{n}\,dx+\frac{1}{n!}\int_{R}^{\infty}f(x)e^{-x}x^{n}\,dx}
\\&=1\end{align*}

が従う．

(1)の解答

$r:=\#\{\alpha_1,\dots,\alpha_m\}$とし，$\alpha_1,\dots,\alpha_m$の等しいものを全てまとめて$\beta_1,\dots,\beta_r$とする．$F$は線形だから，$F$が単射であることと，$\operatorname{Ker}F=\{0\}$であることは同値である．

もし$n\ge r$なら

\begin{align*}f(x)=(x-\beta_1)\dots(x-\beta_r)\in V_n\setminus\{0\}\end{align*}

は$F(f)=(0,\dots,0)$を満たすから，$\operatorname{Ker}F\neq\{0\}$である．よって，$F$が単射なら$n<r$を満たすことが必要である．

逆に$n<r$とすると，$f(x)\in V_n\setminus\{0\}$なら$\beta_1,\dots,\beta_r$の少なくとも1つを根にもたないので，$F(f)\neq(0,\dots,0)$である．よって，$\operatorname{Ker}F=\{0\}$となり，$F$は単射である．

以上より，$F$が単射となるための必要十分条件は$n<\#\{\alpha_1,\dots,\alpha_m\}$である．

(2)の解答

もし$m>\#\{\alpha_1,\dots,\alpha_m\}$なら，$\alpha_i=\alpha_j$, $i<j$なる$i,j\in\{1,\dots,m\}$が存在するから，任意の$f\in V_n$に対し，$F(f)=(\dots,f(\alpha_i),\dots,f(\alpha_j),\dots)$は第$i$成分と第$j$成分が等しいから全射になりえない．

よって，$F$が全射なら$m=\#\{\alpha_1,\dots,\alpha_m\}$であることが必要である．また，

• $\C$上の線形空間$V_n$の次元は$n+1$
• $\C$上の線形空間$\C^m$の次元は$m$

だから，$n+1<m$のときは$F$は全射になりえず，$F$が全射であるためには$n+1\ge m$を満たすことが必要である．

逆に，$m=\#\{\alpha_1,\dots,\alpha_m\}$かつ$n+1\ge m$が成り立つとする．任意の$(\gamma_1,\dots,\gamma_m)\in\C^{m}$に対して，

\begin{align*}g(x)=\sum_{i=1}^{m}\gamma_i\prod_{\substack{j=1\\j\neq i}}^{m}\frac{x-\alpha_j}{\alpha_i-\alpha_j}\end{align*}

は$m-1$次の$\C$係数多項式で，$F(g)=(\gamma_1,\dots,\gamma_m)$を満たす．さらに，$m-1\le n$だから$g\in V_n$である．よって，$F$は全射である．

以上より，$F$が全射となるための必要十分条件は$\begin{cases}m=\#\{\alpha_1,\dots,\alpha_m\}\\n\ge m-1\end{cases}$である．

［１］問の極限を実軸上の積分を用いて書き換える．領域$\C\setminus\{\pm i\}$上の正則関数$f$を

\begin{align*}f(z)=\frac{\cos{z}}{z^2+1}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2(z^2+1)}\end{align*}

で定める．また，$R>1$に対して

• $R+2i$を始点，$R$を終点とする線分を$L_{R+}$
• $R$を始点，$-R$を終点とする線分を$\ell_{R}$
• $-R$を始点，$-R+2i$を終点とする線分を$L_{R-}$

とし，$\Gamma_R:=L_{R}\cup L_{R+}\cup\ell_R\cup L_{R-}$とする．$\Gamma_R$は閉曲線で，$L_R$の向きと整合するように$\Gamma_R$の向きを考えると，$\Gamma_R$は負方向となる．このとき，

\begin{align*}\int_{L_R}\frac{\cos{z}}{z^2+1}\,dz
=\bra{\int_{\Gamma_R}-\int_{L_{R+}}-\int_{\ell_R}-\int_{L_{R-}}}f(z)\,dz\end{align*}

である．閉曲線$\Gamma_R$の内部に存在する$f$の極は$i$のみで，これは１位の極である．よって，留数定理より

\begin{align*}\int_{\Gamma_R}f(z)\,dz
&=-2\pi i\cdot\operatorname{Res}(f,i)
=-\lim_{z\to i}2\pi i\cdot(z-i)f(z)
\\&=-\lim_{z\to i}\frac{2\pi i(e^{iz}+e^{-iz})}{2(z+i)}
=-\frac{2\pi i(e^{-1}+e)}{2\cdot2i}
\\&=-\frac{\pi(e^{-1}+e)}{2}\end{align*}

を得る．また，

\begin{align*}\int_{L_{R+}}f(z)\,dz=\frac{i}{2}\int_{2}^{0}\frac{e^{i(R+ti)}+e^{i(-R-ti)}}{(R+ti)^2+1}\,dt\end{align*}

であり，

\begin{align*}\abs{\frac{e^{i(R+ti)}+e^{i(-R-ti)}}{(R+ti)^2+1}}
&\le\frac{|e^{Ri-t}|+|e^{-Ri+t}|}{|R+ti|^2-1}
=\frac{e^{-t}+e^t}{R^2+t^2-1}
\\&=\frac{2\cosh{t}}{R^2+t^2-1}
\le\frac{2\cosh{2}}{R^2-1}\end{align*}

なので，

\begin{align*}&\abs{\int_{L_{R+}}f(z)\,dz}\le\frac{2\cosh{2}}{R^2-1}\xrightarrow[]{R\to\infty}0\end{align*}

が成り立つ．同様に，

\begin{align*}\abs{\int_{L_{R-}}f(z)\,dz}&=\abs{\frac{i}{2}\int_{0}^{2}\frac{e^{i(-R+ti)}+e^{i(R-ti)}}{(-R+ti)^2+1}\,dt}
\\&\le\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\frac{|e^{-Ri-t}|+|e^{Ri+t}|}{|-R+ti|^2-1}\,dt
\\&\le\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\frac{2\cosh{2}}{R^2-1}\,dt
\\&=\frac{2\cosh{2}}{R^2-1}\xrightarrow[]{R\to\infty}0\end{align*}

が成り立つ．よって，求める極限は

\begin{align*}-\frac{\pi(e^{-1}+e)}{2}-\lim_{R\to\infty}\int_{\ell_R}f(z)\,dz\end{align*}

に等しい．

［２］極限$\lim\limits_{R\to\infty}\int_{\ell_R}f(z)\,dz$を計算する領域$\C\setminus\{\pm i\}$上の正則関数$g$を

\begin{align*}g(z)=\frac{e^{iz}}{z^2+1}\end{align*}

で定める．また，$R>1$に対して，原点中心・半径$R$の上半円を曲線$C_R$とし，$\gamma_R:=C_R\cup \ell_R$とする．$\gamma_R$は閉曲線で，$\ell_R$の向きと整合するように$\gamma_R$の向きを考えると，$\gamma_R$は負方向となる．

このとき，$z\in\R$なら$f(z)=\operatorname{Re}g(z)$であることから，

\begin{align*}\int_{\ell_R}f(z)\,dz
&=\operatorname{Re}\int_{\ell_R}g(z)\,dz
\\&=\operatorname{Re}\bra{\int_{\gamma_R}g(z)\,dz-\int_{C_R}g(z)\,dz}\end{align*}

である．閉曲線$\gamma_R$の内部に存在する$g$の極は$i$のみで，これは１位の極である．よって，留数定理より

\begin{align*}\int_{\gamma_R}g(z)\,dz
&=-2\pi i\cdot\operatorname{Res}(g,i)
=-\lim_{z\to i}2\pi i\cdot(z-i)g(z)
\\&=-\lim_{z\to i}\frac{2\pi ie^{iz}}{(z+i)}
=-\frac{2\pi ie^{-1}}{2i}
=-\pi e^{-1}\end{align*}

を得る．また，

\begin{align*}\abs{\int_{C_R}g(z)\,dz}
&=\abs{\int_{0}^{\pi}\frac{e^{iRe^{i\theta}}}{(Re^{i\theta})^2+1}(Rie^{i\theta}\,d\theta)}
\\&\le R\int_{0}^{\pi}\frac{e^{-R\sin{\theta}}}{R^2-1}\,d\theta
\\&\le R\int_{0}^{\pi}\frac{1}{R^2-1}\,d\theta
\\&=\frac{\pi R}{R^2-1}\xrightarrow[]{R\to\infty}0\end{align*}

なので，

\begin{align*}\lim_{R\to\infty}\int_{\ell_R}f(z)\,dz=-\pi e^{-1}\end{align*}

が成り立つ．

［１］，［２］より，求める極限は

\begin{align*}\lim_{R\to\infty}\int_{L_R}\frac{\cos{z}}{z^2+1}\,dz
&=-\frac{\pi(e^{-1}+e)}{2}-(-\pi e^{-1})
\\&=\frac{\pi(e^{-1}-e)}{2}\end{align*}

である．

任意の$n\in\{2,3,\dots\}$に対して$\Z_n:=\Z/n\Z$と表す．$G$は可換群なので，任意の部分群が正規であることに注意する．

［１］$G$の指数３の部分群と，$G/3G$の指数３の部分群が全単射に対応することを示す．

$G$の指数３の部分群$H$を任意にとる．$|G/H|=3$は素数３なので$G/H\cong \Z_3$だから，$g\in G$なら$3g+H=3(g+H)=H$なので$3g\in H$が成り立つ．よって，$3G:=\set{3g\in G}{g\in G}\subset H$なので，同型定理より

\begin{align*}(G/3G)/(H/3G)\cong G/H\end{align*}

が成り立ち，$H/3G$は$G/3G$の指数３の部分群と分かる．

一方，$G/3G$の部分群は$3G\subset H$を満たす$G$の部分群$H$を用いて$H/3G$と表すことができる．$H/3G$が$G/3G$の指数３の部分群なら，再び同型定理より

\begin{align*}(G/3G)/(H/3G)\cong G/H\end{align*}

が成り立ち，$H$は$G$の指数３の部分群と分かる．

よって，$G$の指数３の部分群と，$G/3G$の指数３の部分群が全単射に対応する．

［２］$G/3G$の指数３の部分群の個数を求める．

自然な準同型$\phi:G\to\{0\}\times\Z_3\times\Z_3$は

\begin{align*}&\operatorname{Im}\phi=\{0\}\times\Z_3\times\Z_3,
\\&\operatorname{Ker}\phi=\Z_4\times\{0,3\}\times\{0,3,6\}=3G\end{align*}

を満たすから，準同型定理により$G/3G\cong\Z_3\times\Z_3$である．よって，$\Z_3\times\Z_3$の指数３の部分群の個数を求めればよく，$\Z_3\times\Z_3$の指数３の部分群の位数は$|\Z_3\times\Z_3|/3=3$である．

任意の$x\in\Z_3\times\Z_3\setminus\{(0,0)\}$に対して，$2x\neq(0,0)$, $3x=(0,0)$だから，$x$により生成される部分群$\anb{x}=\{(0,0),x,2x\}$の位数は３である．また，$\anb{x}=\anb{y}$となる$y\in\Z_3\times\Z_3\setminus\{(0,0)\}$は$y=2x$に限る．

したがって，求める個数は

\begin{align*}\frac{\abs{\Z_3\times\Z_3\setminus\{(0,0)\}}}{2}=\frac{3^2-1}{2}=4\end{align*}

である．

$f$が定値写像なら，任意の$p\in S^2$に対して$df_p=0$となるので成り立つ．以下，$f$は定値写像でないとする．

$S^2$は単連結だから，被覆写像$p:\R\to S^1;x\longmapsto(\cos{2\pi x},\sin{2\pi x})$に対して，$f$の持ち上げ$F:S^2\to\R$が存在する：$p\circ F=f$．被覆写像$p$は局所$C^{\infty}$級微分同相で，$f$が$C^{\infty}$級であることより$F$も$C^{\infty}$級である．

$F$は連続で$S^2$はコンパクトだから，$F(S^2)$は最大値$M$，最小値$m$をもつ．$a\in F^{-1}(M)$, $b\in F^{-1}(m)$をとる．$f$は定値写像でないから$F^{-1}(M)\cap F^{-1}(m)=\emptyset$なので$a\neq b$である．

$a\in S^2$の座標近傍$(U,\phi)$をひとつとり，この座標を$(u,v)$と表す．$M=F(a)=F\circ\phi^{-1}(\phi(a))$が最大値だから，$F$の$a\in S^2$での$(U,\phi)$に関するヤコビ行列$JF_a$は

\begin{align*}JF_a
=\brc{\pd{(F\circ\phi^{-1})}{u}(\phi(a)),\pd{(F\circ\phi^{-1})}{v}(\phi(a))}
=[0,0]\end{align*}

である．$f=p\circ F$だから$f$の$a\in S^2$での$(U,\phi)$に関するヤコビ行列は

\begin{align*}Jf_a=Jp_{F(a)}JF_a=0\end{align*}

である．$b\in S^2$でも同様にして，$b\in S^2$の座標近傍をひとつとると$JF_b=[0,0]$が従う．以上より，$S^2$上の少なくとも２点$a$, $b$において$f$の微分は零写像になる．

常微分方程式は

\begin{align*}&\frac{dx}{dt}(t)=ax(t)+p(t)
\\&\iff e^{-at}\frac{dx}{dt}(t)-ae^{-at}x(t)=e^{-at}p(t)
\\&\iff(e^{-at}x(t))’=e^{-at}p(t)
\\&\iff e^{-at}x(t)=x(0)+\int_{0}^{t}e^{-as}p(s)\,ds
\\&\iff x(t)=e^{at}x(0)+\int_{0}^{t}e^{a(t-s)}p(s)\,ds\end{align*}

と解け，この最後の等式の右辺は$\R$上で定義できるから，任意の$x_0\in\R$に対して，初期条件$x(0)=x_0$を満たす解が一意に存在する．

この解が周期$T$の周期関数となるには

\begin{align*}x(0)=x(T)
&\iff x_0=e^{aT}x_0+\int_{0}^{T}e^{a(T-s)}p(s)\,ds
\\&\iff x_0=\frac{1}{1-e^{aT}}\int_{0}^{T}e^{a(T-s)}p(s)\,ds\end{align*}

が成り立ち，初期値$x_0$が唯一つに定まる．ただし，$a\neq0$, $T>0$より$e^{aT}\neq1$に注意．逆にこのとき任意の$t\in\R$に対して

\begin{align*}e^{a(t+T)}x(0)-e^{at}x(0)
&=e^{at}(e^{aT}-1)x(0)
\\&=-e^{at}\int_{0}^{T}e^{a(T-s)}p(s)\,ds
\\&=-\int_{0}^{T}e^{a(t+T-s)}p(s)\,ds\end{align*}

なので，

\begin{align*}x(t+T)
&=e^{a(t+T)}x(0)+\int_{0}^{t+T}e^{a(t+T-s)}p(s)\,ds
\\&=e^{at}x(0)-\int_{0}^{T}e^{a(t+T-s)}p(s)\,ds+\int_{0}^{t+T}e^{a(t+T-s)}p(s)\,ds
\\&=e^{at}x(0)+\int_{T}^{t+T}e^{a(t+T-s)}p(s)\,ds
\\&=e^{at}x(0)+\int_{0}^{t}e^{a(t-s)}p(s+T)\,ds
\\&=e^{at}x(0)+\int_{0}^{t}e^{a(t-s)}p(s)\,ds
\\&=x(t)\end{align*}

が成り立つ．すなわち，$x$は周期$T$の周期関数である．

以上より，周期$T$の周期関数解が唯一つ存在する．

$A$は正則でないと仮定する．このとき，ある$\m{p}=\sbmat{p_1\\\vdots\\p_n}\in\R^n\setminus\{\m{0}\}$が存在して$A\m{p}=\m{0}$が成り立つ．$\{|p_1|,|p_2|,\dots,|p_n|\}$は有限集合なので，ある$k\in\{1,2,\dots,n\}$が存在して，

\begin{align*}|p_k|=\max\{|p_1|,|p_2|,\dots,|p_n|\}\end{align*}

が成り立つ．このとき，$A\m{p}=\m{0}$の第$k$成分より

\begin{align*}\sum_{j=1}^{n}a_{kj}p_j=0
\iff\sum_{\substack{1\le j\le n\\j\neq k}}a_{kj}p_j=-a_{kk}p_k\end{align*}

が成り立つので，

\begin{align*}|a_{kk}p_k|&=\biggl|\sum_{\substack{1\le j\le n\\j\neq k}}a_{kj}p_j\biggr|\le\sum_{\substack{1\le j\le n\\j\neq k}}|a_{kj}||p_j|
\\&\le|p_k|\sum_{\substack{1\le j\le n\\j\neq k}}|a_{kj}|
<|p_k||a_{kk}|\end{align*}

が成り立つ．ただし，最後の不等号は$|p_k|>0$に注意．$|a_{kk}p_k|=|p_k||a_{kk}|$だからこれは矛盾なので，仮定は誤りで$A$は正則である．