2014年度 院試解説|京都大学 数学・数理解析専攻|基礎科目I

京都大学|大学院入試
京都大学|大学院入試

2014年度入学の京都大学 理学研究科 数学・数理解析専の大学院入試問題の「基礎科目」の解答の方針と解答です.

問題は4問あり全4問を解答します.試験時間は2時間です.この記事では問4まで解答の方針とポイント・解答例を掲載しています.

採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得ます.ご注意ください.

また,十分注意して解答を作成していますが,論理の飛躍・誤りが残っている場合があります.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

過去の入試問題 | Department of Mathematics Kyoto University

第1問

開く問題の表示/非表示

(i) $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$は実数列で,任意の正整数$k$について

   \begin{align*}\lim_{n\to\infty}(a_{n+k}-a_n)=0\end{align*}

をみたすとする.このとき,この数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$は収束するか?理由をつけて答えよ.

(ii) 次の広義積分は収束するか?理由をつけて答えよ:

   \begin{align*}\int_{0}^{\infty}\bra{1-e^{-1/x}}\,dx.\end{align*}

微分積分学の小問集合ですね.

(i)の解答の方針とポイント

例えば$k=100$のとき,問の条件の極限は

   \begin{align*}a_{101}-a_{1},\quad a_{102}-a_{2},\quad a_{103}-a_{3},\quad\dots\end{align*}

が0に近付くということを言っています.

一般の$k$の場合に言えば「$k$項離れているふたつの項は添え字が大きくなるにつれ距離が0に近付く」というわけですね.

つまり,どんどん増大は弱くなるが発散するような数列$\{a_n\}$が存在するかどうか問われているわけですね.

(ii)の解答の方針とポイント

積分区間$[0,\infty)$は有界ではなく,$x\to\infty$で広義積分になっています.また,被積分関数$1-e^{-1/x}$は$x=0$で定義されないので,$x\to+0$でも広義積分となっています.

すなわち,問の積分は

   \begin{align*}\int_{0}^{\infty}\bra{1-e^{-1/x}}\,dx =\lim_{\substack{S\to+0,\\T\to\infty}}\int_{S}^{T}\bra{1-e^{-1/x}}\,dx\end{align*}

で定義されるわけですね.よって,被積分関数$1-e^{-1/x}$の

  • $x\to+0$での増大の強さ
  • $x\to\infty$での減衰の強さ

がどの程度強いかで広義積分の収束性が決まりますね.

ところが,$x>0$で$e^{-1/x}<1$なので$1-e^{-1/x}<1$と有界ですから,$x\to+0$での広義積分では問題がないことが分かります.

そのため,$x\to\infty$での減衰の強さだけを考えればよいですね.$x\ge1$でのテイラー展開

   \begin{align*}1-e^{-1/x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{2!x^2}+\dots\end{align*}

から$x\to\infty$で$1-e^{-1/x}$は$\dfrac{1}{x}$と減衰が等しく発散しそうですね.

Rendered by QuickLaTeX.com

解答例

(i) 収束しない例が存在する.実際,$a_{n}=\log{n}$により$\{a_{n}\}$を定めると,$\log$の連続性より任意の正整数$k$に対して

   \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\bra{a_{n+k}-a_n} &=\lim_{n\to\infty}\log\bra{\frac{n+k}{n}} \\&=\log\bra{\lim_{n\to\infty}\bra{\frac{n+k}{n}}} \\&=\log{1}=0\end{align*}

が成り立つが,$\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$である.

(ii) Taylor展開により,各$x\ge1$に対して

   \begin{align*}e^{-1/x}=1-\frac{1}{x}+\frac{1}{2!x^2}-\frac{1}{3!x^3}+\dots\end{align*}

だから,

   \begin{align*}1-e^{-1/x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{2!x^2}+\frac{1}{3!x^3}+\dots\end{align*}

が成り立つ.$x\ge1$なら右辺は交項級数だから,

   \begin{align*}1-e^{-1/x}\ge\frac{1}{x}-\frac{1}{2!x^2}\end{align*}

である.よって,

   \begin{align*}\int_{0}^{\infty}\bra{1-e^{-1/x}}\,dx &\ge\int_{1}^{\infty}\bra{1-e^{-1/x}}\,dx \\&\ge\int_{1}^{\infty}\bra{\frac{1}{x}-\frac{1}{2!x^2}}\,dx \\&=\brc{\log{x}+\frac{1}{2x}}_{1}^{\infty} =\infty\end{align*}

だから,$\dint_{0}^{\infty}\bra{1-e^{-1/x}}\ dx$は発散する.

もし(ii)の広義積分が収束するなら

   \begin{align*}\int_{0}^{1}\bra{1-e^{-1/x}}\,dx\end{align*}

が収束することを述べる必要もありますが,結果は発散なので$x\ge1$での発散のみ示せばよいですね.

第2問

開く問題の表示/非表示

$n$は2以上の整数とする.$\R^2$上の関数

   \begin{align*}f(x,y)=x^{2n}+y^{2n}-nx^2+2nxy-ny^2\end{align*}

について次の問に答えよ:

(i) $f$の最大値・最小値は存在するか?理由をつけて答えよ.

(ii) $f$が極大値・極小値をとる点をすべて求めよ.

微分積分学の最大値・最小値と極大値・極小値の問題ですね.

(i)の解答の方針とポイント

$f(x,y)$が偶数次の多項式なので,例えば$x=y$, $x\to\infty$とすることで最大値を持たないことは分かります.

問題は最小値ですが,やはり$f(x,y)$が偶数次の多項式なので,$(x,y)$が$(0,0)$から離れていれば$f(x,y)$はある程度大きな値をとりそうです.

$f(0,0)=0$なので,ある定数$R>0$が存在して$x^2+y^2\ge R^2$で$f(x,y)\ge1$となることを示せば,集合

   \begin{align*}\set{(x,y)\in\R^2}{x^2+y^2\le R^2}\end{align*}

のコンパクト性と$f$の連続性から最小値の存在を得られますね(ハイネ(Heine)の定理).

[ハイネの定理]距離空間$(X,d)$上と連続関数$f:X\to\R$を考える.$A\subset X$がコンパクトなら$f(A)\subset\R$は最大値と最小値を持つ.

(ii)の解答の方針とポイント

微分可能な2変数関数$f$が$(a,b)\in\R^2$で極値をもつなら,点$(a,b)$は$f$の停留点でなければなりません.すなわち,

   \begin{align*}\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=0\end{align*}

を満たします.

さらに$f$は$C^2$級なので,各停留点$(a,b)$での2階微分係数,ヘッセ行列式

   \begin{align*}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b),\quad \vmat{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)&\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(a,b)\\\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(a,b)&\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)}\end{align*}

の正負を調べればよいですね.

解答例

(i) 任意の$r\ge0$, $\theta\in[0,2\pi]$に対して,

   \begin{align*}f(r\cos{\theta},r\sin{\theta})&=r^{2n}\bra{\sin^{2n}\theta+\cos^{2n}\theta}+nr^2(\sin{2\theta}-1) \\&\ge r^{2n}\bra{\sin^{2n}\theta+\cos^{2n}\theta}-2nr^2\end{align*}

である.$\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$はともにコンパクト集合$[0,2\pi]$上で連続だから,同時に0にならないことと併せて

   \begin{align*}M:=\min_{\theta\in[0,2\pi]}\bra{\sin^{2n}\theta+\cos^{2n}\theta}>0\end{align*}

が存在する.よって,

   \begin{align*}\lim_{r\to\infty}f(r\cos{\theta},r\sin{\theta}) \ge\lim_{r\to\infty}\bra{Mr^{2n-2}-2n}r^2=\infty\end{align*}

となるから,$f$の最大値は存在せず,定数$R>0$が存在して$r\ge R$で$f(x,y)\ge1$をみたすことも分かる.

コンパクト集合$D_{R}:=\set{(x,y)\in\R^2}{x^2+y^2\le R^2}$上で$f$は連続だから,$\min_{x,y\in D_R}f(x,y)$が存在する.

また,$f(0,0)=0\le1$なので$f$の最小値は($D_R$上に)存在する.

(ii) $(a,b)\in\R^2$で$f$が極値をもつためには

   \begin{align*}\begin{cases}\pd{f}{x}(a,b)=0\\\pd{f}{y}(a,b)=0\end{cases} &\iff\begin{cases}2na^{2n-1}-2na+2nb=0\\2nb^{2n-1}-2nb+2na=0\end{cases} \\&\iff\begin{cases}a^{2n-1}-a+b=0\\b^{2n-1}-b+a=0\end{cases}\end{align*}

が成り立つことが必要である.2式の辺々を加えて

   \begin{align*}a^{2n-1}+b^{2n-1}=0\iff a=-b\end{align*}

が成り立つ.ただし,$a,b\in\R$に注意.$b^{2n-1}-b+a=0$に$b=-a$を代入して

   \begin{align*}b^{2n-1}-2b=0 \iff b\bra{b^{2n-2}-2}=0 \iff b=0,\pm2^{1/(2n-2)}\end{align*}

だから$(a,b)=(0,0),\bra{\pm2^{1/(2n-2)}, \mp2^{1/(2n-2)}}$を得る(複号同順).

[1]$|x|<1$なら

   \begin{align*}f(x,0)=&x^{2n}-nx^2=x^2\bra{x^{2n-2}-n}\le x^2(1-n)\le0, \\f(x,x)=&2x^{2n}\ge0\end{align*}

だから,$(0,0)$は極値をとらない.

[2]$(a,b)=\bra{\pm2^{1/(2n-2)}, \mp2^{1/(2n-2)}}$のとき,

   \begin{align*}\ppd{f}{x}(a,b)&=2n(2n-1)a^{2n-2}-2n \\&=4n(2n-1)-2n=2n(4n-3), \\\ppdd{f}{x}{y}(a,b)&=2n\end{align*}

である.同様に$\ppd{f}{x}(a,b)=2n(4n-3)$, $\ppdd{f}{y}{x}(a,b)=2n$である.$f$は$C^2$級であり,

   \begin{align*}\vmat{\ppd{f}{x}(a,b)&\ppdd{f}{x}{y}(a,b)\\\ppdd{f}{y}{x}(a,b)&\ppd{f}{y}(a,b)}&=\vmat{2n(4n-3)&2n\\2n&2n(4n-3)}=4n^2\vmat{4n-3&1\\1&4n-3} \\&=4n^2\{(4n-3)^2-1^2\}=4n^2(4n-4)(4n-2)>0\end{align*}

だから,$f_{xx}(a,b)>0$と併せて,$f$は点$(\pm2^{1/(2n-2)},\mp2^{1/(2n-2)})$で極小値をとる.

以上より,$f$が極小値をとる点は$(\pm2^{1/(2n-2)},\mp2^{1/(2n-2)})$であり,$f$が極大値をとる点は存在しない.

第3問

開く問題の表示/非表示

次の4次実正方行列$A$, $B$は正則か?正則ならば逆行列を求め,正則でないならば階数を求めよ.

   \begin{align*}A=\pmat{2&0&1&3\\0&8&2&4\\2&0&1&4\\0&4&0&1},\quad B=\pmat{1&1&1&0\\2&2&0&3\\3&4&2&4\\4&5&3&4}\end{align*}

線形代数学ランクの問題ですね.

解答の方針とポイント

正方行列正則行列であるための必要十分条件が階数(ランク)で表せることは当たり前にしておきたいですね.

また,正則行列の逆行列基本変形を用いて求められることもよく用いますね.

$n$次正方行列$X$に対して,次は同値である.

  • $X$は正則行列である.
  • $\rank{X}=n$

また,これらのいずれか一方(したがって両方)を満たすとき,$[X,I_n]\to[I_n,Y]$と行基本変形できて$Y=X^{-1}$が成り立つ.ただし,$I_n$は$n$次単位行列である.

解答例

行基本変形により

   \begin{align*}[A,I_4] &=\bmat{2&0&1&3&1&0&0&0\\0&8&2&4&0&1&0&0\\2&0&1&4&0&0&1&0\\0&4&0&1&0&0&0&1} \to\bmat{2&0&1&3&1&0&0&0\\0&0&2&2&0&1&0&-2\\0&0&0&1&-1&0&1&0\\0&4&0&1&0&0&0&1} \\&\to\bmat{2&0&1&0&4&0&-3&0\\0&0&2&0&2&1&-2&-2\\0&0&0&1&-1&0&1&0\\0&4&0&0&1&0&-1&1} \to\bmat{2&0&1&0&4&0&-3&0\\0&0&1&0&1&\frac{1}{2}&-1&-1\\0&0&0&1&-1&0&1&0\\0&4&0&0&1&0&-1&1} \\&\to\bmat{2&0&0&0&3&-\frac{1}{2}&-2&1\\0&0&1&0&1&\frac{1}{2}&-1&-1\\0&0&0&1&-1&0&1&0\\0&4&0&0&1&0&-1&1} \to\bmat{1&0&0&0&\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}&-1&\frac{1}{2}\\0&1&0&0&\frac{1}{4}&0&-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\0&0&1&0&1&\frac{1}{2}&-1&-1\\0&0&0&1&-1&0&1&0}\end{align*}

となる.よって,$\rank{A}=4$だから$A$は正則行列で,逆行列$A^{-1}$は

   \begin{align*}A^{-1}=\frac{1}{4}\bmat{6&-1&-4&2\\1&0&-2&1\\4&2&-4&-4\\-4&0&4&0}\end{align*}

である.

また,行基本変形により

   \begin{align*}B=\bmat{1&1&1&0\\2&2&0&3\\3&4&2&4\\4&5&3&4} \to\bmat{1&1&1&0\\2&2&0&3\\0&1&-1&4\\0&1&-1&4} \to\bmat{1&1&1&0\\2&2&0&3\\0&1&-1&4\\0&0&0&0}\end{align*}

だから,$B$は正則行列でなく階数は3である.

最初は$A$も正則行列であるかどうかは分かりませんから,計算用紙で$A$を行基本変形して正則行列であることを確かめておくのが良いですね.

そのあと,答案の中で$[A,I_4]$を行基本変形して,$\rank{A}=4$と逆行列$A^{-1}$を求めればよいです.

第4問

開く問題の表示/非表示

3次の複素正方行列

   \begin{align*}A=\pmat{3&0&-1\\-2&1&1\\2&0&0},\quad B=\pmat{1&x&0\\0&1&0\\-1&x&2}\end{align*}

に対して,$A$と$B$が相似となるような複素数$x$をすべて求めよ.ただし,行列$A$と$B$が相似とは,複素正則行列$P$で$A=P^{-1}BP$をみたすものが存在することをいう.

線形代数学の相似変換の問題ですね.

解答の方針とポイント

$n$次正方行列$X$と$n$次正則行列$P$に対して,$P^{-1}XP$を$X$の$P$による相似変換といいます.

この言葉を使えば,$A$と$B$が相似であるとは相似変換で移り合うことと言えます.

$A$と$B$が相似であることの必要十分条件は,次のようにジョルダン標準形を用いて述べることができます.

$n$次正方行列$A$, $B$に対して,次は同値である.

  • $A$と$B$は相似である
  • $A$のジョルダン標準形と$B$のジョルダン標準形がジョルダン細胞の順番の違いを除いて一致する

よって,本問では$A$と$B$のジョルダン標準形が一致するような$x$を求めればよいわけですね.

解答例

$A$, $B$が相似であることと,$A$のジョルダン標準形と$B$のジョルダン標準形がジョルダン細胞の順番の違いを除いて一致することは同値だから,$A$, $B$のジョルダン標準形をそれぞれ求める.

$I$を3次単位行列とする.

[1]$A$のジョルダン標準形を求める.

   \begin{align*}|tI-A|&=\vmat{t-3&0&1\\2&t-1&-1\\-2&0&t} \\&=\{(t-3)(t-1)t+0+0\}-\{-2(t-1)+0+0\} \\&=(t-1)\bra{t^2-3t+2} =(t-1)^2(t-2)\end{align*}

だから,$A$の固有値は1,1,2である.行基本変形により

   \begin{align*}|I-A|=\bmat{-2&0&1\\2&0&-1\\-2&0&1}\to\bmat{-2&0&1\\0&0&0\\0&0&0}\end{align*}

だから,固有値1の固有空間次元は2である.よって,$A$は$\bmat{1&0&0\\0&2&0\\0&0&2}$に対角化可能である.

[2]$B$のジョルダン標準形を求める.

   \begin{align*}|tI-B|&=\vmat{t-1&-x&0\\0&t-1&0\\1&-x&t-2} \\&=\{(t-1)^2(t-2)+0+0\}-\{0+0+0\} \\&=(t-1)^2(t-2)\end{align*}

だから,$A$の固有値は1,1,2である.行基本変形により

   \begin{align*}|I-B|=\bmat{0&-x&0\\0&0&0\\1&-x&-1}\to\bmat{0&-x&0\\0&0&0\\1&0&-1}\end{align*}

だから,固有値1の固有空間の次元は

  • $x\neq0$のとき1
  • $x=0$のとき2

である.よって,$x=0$のとき$B$は$\bmat{1&0&0\\0&2&0\\0&0&2}$に対角化可能だが,$x\neq0$のとき$B$は対角化可能でない.

[1][2]より,$A$と$B$が相似となる複素数$x$は$x=0$である.

対角行列はジョルダン行列ですから,同じ対角行列に対角化可能であればジョルダン標準形が一致していると言えますね.

参考文献

以下,私も使ったオススメの入試問題集を挙げておきます.

詳解と演習大学院入試問題〈数学〉

[海老原円,太田雅人 共著/数理工学社]

理工系の修士課程への大学院入試問題集ですが,基礎〜標準的な問題が広く大学での数学の基礎が復習できる総合問題集として利用することができます.

実際,まえがきにも「単なる入試問題の解説にとどまらず,それを通じて,数学に関する読者の素養の質を高めることにある」と書かれているように,必ずしも大学院入試を受験しない一般の学習者にとっても学びやすい問題集です.また,構成が読みやすいのも個人的には嬉しいポイントです.

第1章 数え上げと整数
第2章 線形代数
第3章 微積分
第4章 微分方程式
第5章 複素解析
第6章 ベクトル解析
第7章 ラプラス変換
第8章 フーリエ変換
第9章 確率

一方で,問題数はそれほど多くないので,多くの問題を解きたい方には次の問題集もオススメです.

なお,本書については,以下の記事で書評としてまとめています.

演習 大学院入試問題

[姫野俊一,陳啓浩 共著/サイエンス社]

上記の問題集とは対称的に問題数が多く,まえがきに「修士の基礎数学の問題の範囲は,ほぼ本書中に網羅されている」と書かれているように,広い分野から問題が豊富に掲載されています.

全2巻で,

1巻第1編 線形代数
1巻第2編 微分・積分学
1巻第3編 微分方程式
2巻第4編 ラプラス変換,フーリエ変換,特殊関数,変分法
2巻第5編 複素関数論
2巻第6編 確率・統計

が扱われています.

地道にきちんと地に足つけた考え方で解ける問題が多く,確かな「腕力」がつくテキストです.入試では基本問題は確実に解けることが大切なので,その意味で試験への対応力が養われると思います.

なお,私自身は受験生時代に計算力があまり高くなかったので,この本の問題で訓練したのを覚えています.

なお,本書については,以下の記事で書評としてまとめています.

コメント