距離空間の定義のイメージと具体例|ノルム空間との関係

大学数学において,「距離空間」は位相空間論で学ぶことになります.

大雑把に言えば,距離空間とは「2点間の離れ具合が数値で表される空間」のことであり,我々が中学・高校以来扱ってきた数直線,$xy$平面,$xyz$空間などは距離空間の1つです.

また,距離空間は位相空間の例としても重要で,良い位相的な性質をもちます.

この記事では,

  • 距離空間の定義のイメージ
  • 距離空間の具体例

を説明し,最後に距離空間に似たノルム空間との関係を説明します.

距離空間の基礎事項

まずは距離空間の基礎事項を説明します.

距離空間の定義

距離空間の定義は以下の通りです.

空でない集合$X$に対して,関数$d:X\times X\to\R$は

  • $d(x,y)=0 \iff x=y$ (非退化性)
  • 任意の$x,y\in X$に対して$d(x,y)=d(y,x)$ (対称性)
  • 任意の$x,y,z\in X$に対して$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ (劣加法性)

の全てを同時に満たすとする.このとき,$d$を$X$の距離関数または距離 (metrix)といい,組$(X,d)$を距離空間 (metric space)という.また,距離$d$が明らかな場合には,単に$X$を距離空間という.

なお,劣加法性の不等式を三角不等式という.

$d$は「$X$上の2点を与えるとその2点間の距離を返してくれる関数」で,定義の3つの条件を満たすものというわけですね.

そして,距離空間とは

  • どのような空間$X$に
  • どのような距離$d$が定まっているか

という2つの情報$(X,d)$を持つもの,ということができます.

距離の条件のイメージ

さて,距離の定義の3条件は以下のようなイメージを式にしたものとなっています:

  • 非退化性:$x$から$x$への距離は0で,逆に2点$x$と$y$の距離が0でなければ$x$と$y$は異なる点である
  • 対称性:「$x$から$y$への距離」と「$y$から$x$への距離」は一致する
  • 劣加法性:「$x$から$y$を通って$x$へ行く距離」より「$x$から$z$へ直接行く距離」の方が小さい

確かに,我々が日常的にも使う「距離」はこれらの性質を持っていますね.

数学では,関数$X\times X\to\R$がこれら3条件さえ満たしていれば,どんなものでも距離というわけですね.

距離の非負値性

さて,我々が日常的に「距離」というときには0以上の値をイメージするように,実は3つの条件から距離$d$は必ず0以上の値(非負値)をとることを示すことができます.

実際,任意の$x,y\in X$に対して,3条件から

\begin{align*} 0=d(x,x)\le d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y) \end{align*}

が成り立つので,両辺を2で割って確かに$0\le d(x,y)$が得られますね.

距離空間の例

それでは,距離空間の具体例を挙げます.以下,$\m{x},\m{y}\in\R^n$は

\begin{align*} \m{x}=\bmat{x_1\\\vdots\\x_n},\quad \m{y}=\bmat{y_1\\\vdots\\y_n} \end{align*}

とします.

以下の具体例が距離空間となっていることは当然のことながら証明できますので,時間のある方はぜひ練習のつもりで証明してみてください.

ユークリッド距離空間

$\R^n$に対して,関数$d:\R^n\times\R^n\to\R$を

\begin{align*} d(\m{x},\m{y})=|\m{x}-\m{y}|\bra{=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\dots+(x_n-y_n)^2}} \end{align*}

で定めると,組$(\R^n,d)$は距離空間となります.

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この距離空間$(\R^n,d)$は

  • $n=1$のときに数直線
  • $n=2$のときに$xy$平面
  • $n=3$のときに$xyz$空間

と同じものであり,この距離$d$をEuclid(ユークリッド)距離 (Euclid metric),$(\R^n,d)$はEuclid距離空間 (Euclid metric space)といいます.

マンハッタン距離空間

$\R^n$に対して,関数$d:\R^n\times\R^n\to\R$を

\begin{align*} d\bra{\m{x},\m{y}}=|x_1-y_1|+\dots+|x_n-y_n| \end{align*}

で定めると,組$(\R^n,d)$は距離空間となります.

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この距離$d$をManhattan(マンハッタン)距離 (Manhattan metric),$(\R^n,d)$はManhattan距離空間 (Manhattan metric space)といいます.

なお,この距離の名前に由来するニューヨークのマンハッタンはブロック型に区画されており,これが各軸に沿った方向の差を足し合わせた距離$d$のイメージに一致するので,$d$はマンハッタン距離とよばれています.

日本式に言えば「京都距離」といったところでしょうか.

フランス鉄道距離

$\R^n$に対して,関数$d:\R^n\times\R^n\to\R$を

\begin{align*} d(\m{x},\m{y})=\begin{cases}|\m{x}-\m{y}|&(\exists c\in\R\ \text{s.t.}\ \m{x}=c\m{y})\\|\m{x}|+|\m{y}|&(\text{other})\end{cases} \end{align*}

で定めると,組$(\R^n,d)$は距離空間となります.

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すなわち,

  • 原点Oと2点$x$, $y$が同一直線上にあるとき,ユークリッド距離と同じ$|\m{x}-\m{y}|$
  • 原点Oと2点$x$, $y$が同一直線上にないとき,「$\m{x}$と原点Oの距離」と「$\m{y}$と原点Oの距離」の和

と定められた距離空間となっています.

この距離$d$をフランス鉄道距離 (French metro metric),$(\R^n,d)$はフランス鉄道距離空間 (French metro metric space)といいます.

なお,この距離の名前に由来するフランスはパリを起点としてフランス全土に向かって鉄道が走っており,原点をパリに見立てて$d$はフランス鉄道距離とよばれています.

もしくは,“British Rail metric(イギリス鉄道距離)”や“post office metric(郵便局距離)”などの呼び名もあるようです.

球面距離空間

球面$S$に対して,2点$\m{x},\m{y}\in S$を通る大円$C$を考えたときの,円$C$の劣弧$\overline{\m{x}\m{y}}$の長さを$d(\m{x},\m{y})$とすることによって関数$d:S\times S\to\R$を定めると,組$(S,d)$は距離空間となります.

ただし,

  • 球$S$の大円とは,$S$の中心を通る平面による$S$の断面
  • 円$C$の劣弧$\overline{\m{x}\m{y}}$とは,$C$の弧$\overline{\m{x}\m{y}}$のうち長くない方

です.

この距離$d$を球面距離 (French metro metric),$(S,d)$は球面距離空間 (French metro metric space)といいます.

部分集合の距離空間

距離空間$(X,d)$に対して,空でない$Y\subset X$をとると$(Y,d|_{Y\times Y})$は距離空間となります.

ただし,$d|_{Y\times Y}$は元々の距離$d:X\times X\to\R$の定義域を$Y\times Y$に制限してできる関数,すなわち任意の$x,y\in Y$に対して

\begin{align*} d|_{Y\times Y}(x,y)=d(x,y) \end{align*}

を満たす関数です.

離散距離空間

空でない任意の集合$X$に対して,関数$d:X\times X\to\R$を

\begin{align*} d(x,y)=\begin{cases}0&(x=y)\\1&(x\neq y)\end{cases} \end{align*}

で定めると,組$(\R^n,d)$は距離空間となります.すなわち,異なる2点間の距離は全て1とするのがこの$d$です.

なお,この距離空間により誘導される位相空間は離散位相となり,この距離$d$を離散距離 (discrete metric),$(\R^n,d)$は離散距離空間 (discrete metric space)といいます.

ノルム空間との関係

最後に距離空間に似た「ノルム空間」との関係を説明します.

ノルム空間の定義

まずはノルム空間の定義を確認しておきましょう.

体$\K$上の線形空間$V$に対して,関数$f:V\to\R$は

  1. $f(\m{x})=0 \iff \m{x}=0$ (非退化性)
  2. 任意の$\alpha\in\K$, $x\in X$に対して$f(\alpha x)=|\alpha|f(x)$ (斉次性)
  3. 任意の$x,y,z\in X$に対して$f(x,z)\le f(x,y)+f(y,z)$ (劣加法性)

の全てを同時に満たすとする.このとき,$f$を$V$のノルム (norm)といい,組$(V,f)$をノルム空間 (norm space)という.また,$f(\m{x})$は$\|\m{x}\|_{V}$や単に$\|\m{x}\|$などと表すことが多い.

ノルムも距離と同じく

  • 非退化性
  • 劣加法性

を満たす必要があります.そのため,ノルムと距離はある程度「似たもの」ではあります.

一方で,距離空間$(X,d)$といった場合には$X$は単なる集合で構いませんが,ノルム空間$(V,\|\cdot\|)$といった場合には$V$は線形空間でなければならない点が大きく異なります.

ノルム空間に自然に定まる距離

さて,ノルム空間$(V,\|\cdot\|)$に対して,関数$d:V\times V\to\R$を

\begin{align*} d(x,y)=\|\m{x}-\m{y}\| \end{align*}

で定めると,組$(V,d)$は距離空間となります.

この意味で,ノルム空間$(V,\|\cdot\|)$は自然に距離空間とみなすことができます.

また,逆に

  • ユークリッド距離
  • マンハッタン距離

はそれぞれ

\begin{align*} &\|\m{x}\|=\sqrt{{x_1}^2+\dots+{x_n}^2}, \\&\|\m{x}\|=|x_1|+\dots+|x_n| \end{align*}

はノルムとなり,ノルム空間$(\R^n,\|\cdot\|)$が得られますね.

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