ルベーグ積分の基本性質｜非負値可測関数のルベーグ積分

リーマン積分に比べてルベーグ積分は良い性質を多く持ちますが，基本性質であっても証明は少し大変なものもあります．

ただ，ルベーグ積分は正成分と負成分に分けて定義されることから，非負値可測関数に対してルベーグ積分の性質を考えれば，非負とは限らない一般の可測関数のルベーグ積分でも同様の性質が成り立つことが多いです．

この記事では，非負値可測関数の性質を中心に

ルベーグ積分の定義の確認
可測単関数のルベーグ積分
ルベーグ積分の性質

を順に説明します．

以下ではルベーグ可測集合のことを単に「可測集合」と呼び，ルベーグ可測集合族を$\mathcal{L}$で表します．また，ルベーグ可測関数のことを単に「可測関数」と呼び，ルベーグ測度を$m$で表します．

「ルベーグ積分の基本」の一連の記事

ルベーグ積分入門
1. 0 ルベーグ積分の基礎｜リーマン積分の先へ！積分の歴史から紹介

ルベーグ測度

ルベーグ可測関数とルベーグ積分

ルベーグ積分の性質と項別積分

ルベーグ積分の参考文献
1. ルベグ積分入門
2. ルベーグ積分と関数解析
ルベーグ積分の定義の確認と記号
可測単関数のルベーグ積分
1. 非負値可測単関数のルベーグ積分
2. 一般の可測単関数のルベーグ積分
ルベーグ積分の性質

ルベーグ積分の参考文献

以下はルベーグ積分に関するオススメの教科書です．

ルベグ積分入門

ロングセラーの入門書です．専門書ですが，文庫なので安く購入できるのも魅力です．

ルベーグ積分と関数解析

ルベーグ積分から更なるステップに進みたい人向けの教科書です．

ルベーグ積分の定義の確認と記号

まずは非負値可測関数のルベーグ積分の定義を確認しておきましょう．

可測集合$A$上の非負値可測関数$f$と，$A$の分割

$A=A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n$
$A_i\cap A_j=\emptyset$（$i\neq j$）
$A_1,A_2,\dots,A_n\in\mathcal{L}$

を考え，$\alpha_k:=\inf\limits_{x\in A_k}f(x)$とする．このとき，$A$の分割をさまざまに取ったときの和$\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k m(A_k)$の集合の上限を$\dint_{A}f(x)\,dx$と表し，$f$の$A$上のルベーグ積分という．

以下，この記事では可測集合$A$に対して，「$A$の分割$\anb{A_1,A_2\dots,A_n}$」と書けば$A_1,A_2\dots,A_n$は集合で

$A=A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n$
$A_i\cap A_j=\emptyset$（$i\neq j$）
$A_1,A_2,\dots,A_n\in\mathcal{L}$

を満たすものとします．さらに，$A$上の非負値可測関数$f$に対して，$A$の分割$\anb{A_1,A_2\dots,A_n}$上の「近似和」を

$\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}\alpha_k m(A_k)\quad\bra{\alpha_k=\inf_{x\in A_k}f(x)}\end{align*}$

とします．非負値可測関数のルベーグ積分が上限で定義されていることから，一般にルベーグ積分は任意の近似和以上ですね：

$\begin{align*}\int_{A}f(x)\,dx\ge\sum_{k=1}^{n}\alpha_km(A_k).\end{align*}$

このことはこの記事でも頻繁に用いるので意識しておきましょう．

可測単関数のルベーグ積分

可測単関数のルベーグ積分が簡単に計算できることを証明しましょう．

非負値可測単関数のルベーグ積分

例えば，$[0,3]$上の単関数

$\begin{align*}f(x)=\begin{cases}2&(0\le x<\frac{3}{2})\\3&(\frac{3}{2}\le x<2)\\1&(2\le x\le3)\end{cases}\end{align*}$

の積分は

$\begin{align*}\int_{[0,3]}f(x)\,dx=2\times\frac{3}{2}+3\times\frac{1}{2}+1\times1=\frac{11}{2}\end{align*}$

とグラフと$x$軸に挟まれた部分の面積になって欲しいですね．

実際これは成り立ち，より一般に可測単関数のルベーグ積分は次のように得られます．

可測集合$A$上の非負値可測単関数$f$の値域が$\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$であるとき，

$\begin{align*}\int_{A}f(x)\,dx=\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\times m(\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k})\end{align*}$

が成り立つ．

単関数$f$が可測関数なら，全ての値$\alpha_k$に対して$\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k}$は可測集合でしたから，右辺の$m(\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k})$は問題なく定義されますね．

可測単関数$f$がとる全ての値$\alpha_k$に対して，縦$\alpha_k$×横$m(\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k})$を考えて，和を考えたものが$f$のルベーグ積分というわけですね．

両方向きの不等号を示せばよい．$A_k:=\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k}$ ($k=1,2,\dots,n$)とおく．

［$\ge$の証明］$\inf\limits_{x\in A_k}f(x)=\alpha_k$だから，この分割上の近似和は$\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k m(A_k)$である．よって，

$\begin{align*}\int_{A}f(x)\,dx\ge\sum_{k=1}^{n}\alpha_k m(A_k)\end{align*}$

が成り立つ（一般にルベーグ積分は任意の近似和以上）．

［$\le$の証明］任意に$A$の分割$\anb{B_1,B_2,\dots,B_m}$を考える．この分割上の近似和$\sum\limits_{\ell=1}^{m}\beta_\ell m(B_\ell)$は

$\begin{align*}&\sum_{\ell=1}^{m}\beta_\ell m(B_\ell) =\sum_{\ell=1}^{m}\beta_\ell \sum_{k=1}^{n}m(A_k\cap B_\ell) \\&=\sum_{k=1}^{n}\sum_{\ell=1}^{m}\beta_\ell m(A_k\cap B_\ell) \le\sum_{k=1}^{n}\sum_{\ell=1}^{m}\alpha_k m(A_k\cap B_\ell) \\&=\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\sum_{\ell=1}^{m} m(A_k\cap B_\ell) =\sum_{k=1}^{n}\alpha_k m(A_k)\end{align*}$

と上から評価できる．こうして得られた不等式

$\begin{align*}&\sum_{\ell=1}^{m}\beta_\ell m(B_\ell)\le\sum_{k=1}^{n}\alpha_km(A_k)\end{align*}$

であらゆる$A$の分割$\anb{B_1,B_2,\dots,B_m}$を考えたときの上限をとると，左辺は$f$の$A$上のルベーグ積分となり

$\begin{align*}\int_{A}f(x)\,dx\le\sum_{k=1}^{n}\alpha_k m(A_k)\end{align*}$

が成り立つ．

一般の可測単関数のルベーグ積分

非負値とは限らない可測単関数に対しては次の系が成り立ちます．

可測集合$A$上の可測単関数$f$の値域が$\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$であり，$f$のルベーグ積分が定義できるとき，

$\begin{align*}\int_{A}f(x)\,dx=\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\times m(\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k})\end{align*}$

が成り立つ．

「$f$のルベーグ積分が定義できるとき」という条件は，「正成分$f_+$の積分と負成分$f_-$の積分の少なくとも一方が有限であるとき」と言い換えても構いません．

非負値とは限らない可測関数の可測関数$f$のルベーグ積分は

$\begin{align*}\int_{A}f(x)\,dx=\int_{A}f_{+}(x)\,dx-\int_{A}f_{-}(x)\,dx\end{align*}$

で定義されるので，正成分$f_+$の積分と負成分$f_-$の積分の両方が無限大$\infty$であるときは差$\infty-\infty$となって定義できないので，この条件があるわけですね．

ルベーグ積分の性質

ここではルベーグ積分に関するいくつかの性質を示しましょう．

関数の大小とルベーグ積分の大小

積分領域上で常に大小関係がある２つの関数は，積分しても大小関係が保たれます．

可測集合$A$上の非負値ルベーグ可積分関数$f,g$が，$A$上で$f\le g$を満たすとき

$\begin{align*}\int_{A}f(x)\,dx\le\int_{A}g(x)\,dx\end{align*}$

が成り立つ．

$A$の任意の分割$\anb{A_1,A_2,\dots,A_n}$を考え，この分割上の$f$の近似和を$\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k m(A_k)$とする．

任意の$k=1,2,\dots,n$に対して，$A_k$上で$f\le g$を満たすことから$\alpha_k\le \beta_k$なので，

$\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}\alpha_k m(A_k)\le\sum_{k=1}^{n}\beta_k m(A_k)\end{align*}$

が成り立つ．一般にルベーグ積分は任意の近似和以上だから，

$\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}\beta_k m(A_k)\le\int_{A}g(x)\,dx\end{align*}$

であることを併せると，

$\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}\alpha_k m(A_k)\le\int_{A}g(x)\,dx\end{align*}$

が成り立つ．

あらゆる$A$の分割$\anb{A_1,A_2,\dots,A_n}$を考えたときの上限をとると，左辺は$f$の$A$上のルベーグ積分となり

$\begin{align*}\int_{A}g(x)\,dx\le\int_{A}g(x)\,dx\end{align*}$

が従う．

積分領域の大小とルベーグ積分の大小

いま示した命題から，積分領域を小さくすると積分も小さくなるという次の系が簡単に得られます．

$B\subset A$なる可測集合$A$, $B$と，$B$上の非負値ルベーグ可積分関数$f$に対して，

$\begin{align*}\int_{B}f(x)\,dx\le\int_{A}f(x)\,dx\end{align*}$

が成り立つ．

$A$上の関数$\tilde{f}$を

$\begin{align*}\tilde{f}(x):=\begin{cases}f(x)&(x\in B)\\0&(x\in A\setminus B)\end{cases}\end{align*}$

で定めると，$\tilde{f}$は非負値可測関数で，$A$上で$\tilde{f}\le f$が成り立つから，いま示した命題と併せて

$\begin{align*}\int_{B}f(x)\,dx=\int_{B}\tilde{f}(x)\,dx=\int_{A}\tilde{f}(x)\,dx\le \int_{A}f(x)\,dx\end{align*}$

が従う．

積分領域の分割

互いに素な２つの領域での積分の和は，２つの領域の和集合上での積分となります．

互いに素な可測集合$A$, $B$と，$A\cup B$上で定義された非負値関数$f$を考える．$f$を$A$上に制限した関数，$f$を$B$上に制限した関数がともに可測関数であるとき，$f$は$A\cup B$上の可測関数であり

$\begin{align*}\int_{A\cup B}f(x)\,dx=\int_{A}f(x)\,dx+\int_{B}f(x)\,dx\end{align*}$

が成り立つ．

任意に$\alpha\in\R$をとる．$f$は$A$上，$B$上それぞれで可測関数なので，可測関数の定義より

$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)>\alpha},\set{x\in B}{f(x)>\alpha}\in\mathcal{L}\end{align*}$

である．よって，仮定$A\cap B=\emptyset$と併せると，

$\begin{align*}&\set{x\in A\cup B}{f(x)>\alpha} \\&=\set{x\in A}{f(x)>\alpha}\cup \set{x\in B}{f(x)>\alpha}\in\mathcal{L}\end{align*}$

となるから，$f$は$C$上の可測関数である．

以下，両方向きの不等号を示すことで等式を示す．

［$\ge$の証明］$A$の分割$\anb{A_1,A_2,\dots,A_n}$, $B$の分割$\anb{B_1,B_2,\dots,B_m}$を考え，それぞれの分割上の$f$の近似和

$\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}\alpha_k m(A_k),\quad\sum_{\ell=1}^{m}\beta_\ell m(B_\ell)\quad\dots(*)\end{align*}$

を考える．このとき，$A\cup B$の分割として$\anb{A_1,\dots,A_n,B_1,\dots,B_m}$を考えると，この分割上の$f$の近似和は$(*)$の和だから，一般にルベーグ積分は任意の近似和以上であることより

$\begin{align*}\int_{A\cup B}f(x)\,dx\ge\sum_{k=1}^{n}\alpha_km(A_k)+\sum_{\ell=1}^{m}\beta_\ell m(B_\ell)\end{align*}$

である．あらゆる$A$の分割$\anb{A_1,A_2,\dots,A_n}$と$B$の分割$\anb{B_1,B_2,\dots,B_m}$を考えたときの上限をとると，右辺の第１項は$f$の$A$上のルベーグ積分，第２項は$f$の$B$上のルベーグ積分となり

$\begin{align*}\int_{A\cup B}f(x)\,dx\ge\int_{A}f(x)+\int_{B}f(x)\end{align*}$

を得る．

［$\le$の証明］$A\cup B$の分割$\anb{C_1,C_2,\dots,C_n}$を考え，この分割上の$f$の近似和$\sum\limits_{k=1}^{n}\gamma_km(C_k)$を考える．

また，$A_k:=A\cap C_k$, $B_k:=B\cap C_k$とする．このとき，$A$の分割として$\anb{A_1,\dots,A_n}$と$B$の分割として$\anb{B_1\cup\dots\cup B_n}$を考え，それぞれの分割上の$f$の近似和

$\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}\alpha_km(A_k),\quad\sum_{\ell=1}^{m}\beta_\ell m(B_\ell)\end{align*}$

を考える．

一般に$X\subset Y\subset\R$なら$\inf{X}\ge\inf{Y}$なので$\alpha_k,\beta_k\ge\gamma_k$であり，$A\cap B=\emptyset$より$C_k=A_k\cup B_k$, $A_k\cap B_k=\emptyset$が成り立つから，

$\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}\gamma_km(C_k) &=\sum_{k=1}^{n}\gamma_k m(A_k)+\sum_{\ell=1}^{m}\gamma_\ell m(B_\ell) \\&\le\sum_{k=1}^{n}\alpha_k m(A_k)+\sum_{\ell=1}^{m}\beta_\ell m(B_\ell) \\&\le\int_{A}f(x)\,dx+\int_{B}f(x)\,dx\end{align*}$