解析学

αの近くで微分可能な複素関数は「ローラン展開」することができ，ローラン展開はテイラー展開の拡張ということができます．また，複素解析の重要定理である「留数定理」を考えるためには欠かせないものとなっています．

複素解析では領域上で１回でも微分可能ならテイラー展開可能であることが証明できます．また，このテイラー展開を用いることで「領域上で１回でも微分可能なら無限回微分可能」という事実を証明することもできます．

複素関数を複素積分で表す「コーシーの積分公式」はテイラー展開とローラン展開のベースとなる重要な公式です．この記事ではコーシーの積分公式の直感的な考え方の説明をしたのち，公式を証明をしています．

コーシーの積分定理は「正則関数の閉曲線上の複素積分は0である」という定理で，複素解析の中でも重要なとても強力な定理です．この記事ではこのコーシーの積分定理を紹介し，基本的な使い方を紹介します．

複素積分は「複素変数zを複素平面上の曲線C上で動かして考える積分」であり，形式的にはリーマン積分と同様です．この記事では，複素積分の定義を解説したのち，具体例から複素積分の計算方法を解説します．

複素解析は複素関数の微分と積分を考える分野で，この記事では複素関数の微分法について説明します．複素関数の微分は実数の関数の微分と形式的には同じですが，性質は大きく異なるものになっています．

微分積分学は「実変数の実数値関数の微分積分」を考える分野でしたが，複素解析は「複素変数の複素数値関数の微分積分」を考える分野となります．複素解析の「複素変数の複素数値関数」は複素変数と呼ばれ，微分積分を考える複素解析の主役となります．