2014大学院入試｜京都大学 数学・数理解析専攻｜基礎科目II

部分積分を繰り返し行うことにより，

が分かる．ただし，$0^0=1$とする．

ここで，任意に$\epsilon>0$をとる．$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=1$より，$R>0$が存在して，$x\ge R$なら$\abs{f(x)-1}<\epsilon$が成り立つから，

なので，$\epsilon$の任意性より

が従う．また，$f$はコンパクト集合$[0,R]$で連続だから，$M:=\max\limits_{x\in[0,R]}\abs{f(x)}$が存在するので，

だから，

が従う．以上より，

が従う．

(i)　$r:=\#\{\alpha_1,\dots,\alpha_m\}$とし，$\alpha_1,\dots,\alpha_m$の等しいものを全てまとめて$\beta_1,\dots,\beta_r$とする．

$F$は線形だから，$F$が単射であることと，$\operatorname{Ker}F=\{0\}$であることが同値であることに注意する．

もし$n\ge r$なら

は$F(f)=(0,\dots,0)$をみたすから，$\operatorname{Ker}F\neq\{0\}$でない．よって，$F$が単射なら$n<r$を満たすことが必要である．

逆に$n<r$とすると，$f(x)\in V_n\setminus\{0\}$なら$\beta_1,\dots,\beta_r$の少なくとも1つを根にもたないので，$F(f)\neq(0,\dots,0)$である．

よって，$\operatorname{Ker}F=\{0\}$となり，$F$は単射である．

以上より，$F$が単射となるための必要十分条件は

である．

(ii)　もし$m>\#\{\alpha_1,\dots,\alpha_m\}$なら，$\alpha_i=\alpha_j$, $i<j$なる$i,j\in\{1,\dots,m\}$が存在するから，任意の$f\in V_n$に対し，$F(f)=(\dots,f(\alpha_i),\dots,f(\alpha_j),\dots)$は第$i$成分と第$j$成分が等しいから全射になりえない．

よって，$F$が全射なら$m=\#\{\alpha_1,\dots,\alpha_m\}$であることが必要である．

また，

• $\C$上の線形空間$V_{n}$の次元は$n+1$
• $\C$上の線形空間$\C^{m}$の次元は$m$

だから，$n+1<m$のときは$F$は全射になりえず，$F$が全射であるためには$n+1\ge m$を満たすことが必要である．

逆に，$m=\#\{\alpha_1,\dots,\alpha_m\}$かつ$n+1\ge m$が成り立つとする．任意の$(\gamma_1,\dots,\gamma_m)\in\C^{m}$に対して，

は$m-1$次の$\C$係数多項式で，$F(g)=(\gamma_1,\dots,\gamma_m)$を満たす．さらに，$m-1\le n$だから$g\in V_n$である．

よって，$F$は全射である．

以上より，$F$が全射となるための必要十分条件は

である．

$L_{R}$は

と表せ，以下$R>2$で考える．

とする．

$f$は$\Gamma,\Delta$上で連続だから，

である．ただし，$\theta\in[0,\pi]$より$-R\sin{(\pi-\theta)}<0$に注意．

$f$は$\Gamma,\Delta$上および$z=i$を除く$\Gamma,\Delta$の内部で正則で，$z=i$は$f$の1位の極である．

$\Gamma,\Delta$はその定め方からともに負の向きが定まる(向きが等しい)から，

が従う．以上より，

を得る．

$\Z_{n}:=\Z/n\Z$とおき，$G$の指数$3$の部分群を$H$とする．$G$は可換なので$H \lhd G$だから，$G/H$は剰余群である．

$|G/H|=3$は素数なので$G/H\cong \Z_{3}$だから，$g\in G$ならば$3g+H=3(g+H)=H$なので$3g\in H$となる．

よって，$3G:=\set{3g\in G}{g\in G} \subset H$を得る．

$(G/3G)/(H/3G)\cong G/H$なので，$G$の指数3の部分群と，$G/3G$の指数3の部分群は全単射に対応する．

自然な準同型$\phi:G\to\{0\}\times\Z_{3}\times\Z_{3}$は

をみたすから，準同型定理により$G/3G\cong\Z_{3}\times\Z_{3}$である．よって，$\Z_{3}\times\Z_{3}$の指数3の部分群の個数を求めればよい．

$\Z_{3}\times\Z_{3}$の指数3の部分群の位数は$|\Z_{3}\times\Z_{3}|/3=3$である．

また，素因数分解$\abs{\Z_{3}\times\Z_{3}}=3^2$により，$\Z_{3}\times\Z_{3}$の任意の真部分群の位数は3だから，$\Z_{3}\times\Z_{3}$の真部分群の数を求めれば良い．

任意の$x\in\Z_{3}\times\Z_{3}\setminus\{(0,0)\}$に対して$2x\neq(0,0)$, $3x=(0,0)$だから，$x$により生成される群$\anb{x}$は位数3の部分群となる．

$|\anb{x}|=3$は素数なので$\anb{x}$は巡回群で，$\anb{x}=\{(0,0),x,2x\}$なので，$\anb{x}=\anb{y}$となる$y\in\Z_{3}\times\Z_{3}\setminus\{(0,0)\}$は2個存在する．

したがって，求める個数は

である．

被覆空間$p:\R\to S^1;x\longmapsto(\cos{2\pi x},\sin{2\pi x})$は$\R$が単連結だから普遍被覆である．また，$S^2$は単連結だから$f$の持ち上げ$\tilde{f}:S^2\to\R$が存在する．

$p:\R\to S^1$は被覆空間で$C^{\infty}$級，$f$はもとより$C^{\infty}$級だから$\tilde{f}$は可微分写像である．

$\tilde{f}$は連続で$S^2$はコンパクトだから，$\tilde{f}(S^2)$は最大値$M$，最小値$m$をもつ．

$a\in\tilde{f}^{-1}(M),b\in\tilde{f}^{-1}(m)$をとる．

$a\in S^2$の座標近傍$(U,\phi),(u,v)\in U$をとり，$(u_0,v_0):=\phi(a)\in \phi(U)\subset\R$とすると，$M=\bra{\tilde{f}\circ\phi^{-1}}(u_0,v_0)$が最大値だから，$\tilde{f}\circ\phi^{-1}:U\to\R$の微分可能性より，

である．よって，$\tilde{f}$の$a\in S^2$でのJacobi行列は

である．$b\in S^2$でも同様にして，$\bra{J\tilde{f}}_b=[0,0]$である．

いま，$f=p\circ\tilde{f}$であるから，$f$の$a,b\in S^2$でのJacobi行列は

となって，$S^2$上の少なくとも2点において$f$の微分は零写像になる．