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H28院試/京都大学/数学・数理解析専攻/基礎科目II

  
   

平成28年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「基礎科目II」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

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問題と解答の方針

問題は7問あり,数学系志願者は問1~問5の5問を,数理解析系志願者は問1から問7から選択して5問を解答します.試験時間は3時間です.

この記事では問5まで掲載しています.

解答はこのページの下部にPDFで掲載しています.

問1

次の積分が収束するような実数\alphaの範囲を求めよ.

\displaystyle\iint_{D}\f{dxdy}{\bra{x^2+y^2}^{\alpha}}

ただし.D=\set{(x,y)\in\R^2}{-\infty<x<\infty,0<y<1}とする.

[解答の方針]

まず,重積分を累次積分に直したい.被積分関数が非負であることからTonelliの定理より,

\displaystyle\iint_{D}\dfrac{dxdy}{\bra{x^2+y^2}^{\alpha}}
=\dint_{0}^{1}\bra{\dint_{-\infty}^{\infty}\f{dx}{\bra{x^2+y^2}^{\alpha}}}\,dy
=2\dint_{0}^{1}\bra{\dint_{0}^{1}\dfrac{dx}{\bra{x^2+y^2}^{\alpha}}}\,dy +\dint_{1}^{\infty}\bra{\dint_{0}^{1}\dfrac{dy}{\bra{x^2+y^2}^{\alpha}}}\,dx

なお,積分を分けたのは原点近くと,絶対値が十分大きいところでの収束,発散が問題となるためである.

\dfrac{1}{t^{k}}0を含んだ区間の広義積分ではk<1のとき積分可能,無限区間の広義積分ではk>1のとき積分可能であることを用いて,それぞれ検証する.

問2

ABを複素3次正方行列とする.Aの最小多項式はx^3-1Bの最小多項式は(x-1)^3とする.このとき,

AB\neq BA

となることを示せ.

[解答の方針]

否定の証明なので,背理法を用いる.すなわち,AB=BAと仮定して矛盾を導く.

Aの固有多項式がx^3-1であることから,Aの固有値は1,\omega,\omega^2である.ただし,\omegaは1の原始3乗根である.

ここで,Aの固有値1,\omega,\omega^2に属する固有ベクトルをそれぞれx_1,x_2,x_3とする.異なる固有値に属する固有ベクトルだから,x_1,x_2,x_3は線形独立である.

背理法の仮定より,x_1,x_2,x_3Bの固有ベクトルであることが分かる.いま,x_1,x_2,x_3は線形独立だから,Bは対角化可能である.

一方,Bの固有多項式が(x-1)^3であることから,BのJordan標準系はJ_3(1)である.よって,Bは対角化可能でない.これは矛盾である.

問3

複素関数f(z)z=0の近傍で正則な関数でf(z)e^{f(z)}=zをみたすとする.以下の問に答えよ.

(i) 非負整数nと十分小さい正数\epsilonに対して次の式が成り立つことを示せ.

\f{f^{(n)}(0)}{n!}=\f{1}{2\pi i}\dint_{C_{\epsilon}}\f{1+u}{e^{nu}u^{n}}\,du.

ここで積分路C_{\epsilon}は円周C_{\epsilon}=\set{u\in\C}{|u|=\varepsilon}を正の向きに一周するものとする.

(ii) f(z)z=0におけるベキ級数展開を求め,その収束半径を求めよ.

[解答の方針]

(i) f(z)e^{f(z)}=zの両辺をzで微分すると,f'(z)e^{f(z)}\left(1+f(z)\right)=1である.u=f(z)とおけば,十分小さい\deltaが存在してf(C_{\delta})が原点の周りを正方向に1周する.

fz=0で正則だから,z=0においてベキ級数展開

f(z)=\dsum_{n=0}^{\infty}a_nz^n
a_n=\f{1}{2\pi i}\dint_{C_{\delta}}\f{f(z)}{\xi^{n+1}}\,dz

ができる.これから,

\dint_{C_{\epsilon}}\f{1+u}{e^{nu}u^{n}}\,du=\dint_{C_{\delta}}\f{f(z)}{\xi^{n+1}}\,dz

を示せば良いことが分かる.

(ii) (i)と留数定理を用いて,ベキ級数展開を求める.収束半径は\abs{\f{a_{n+1}}{a_{n}}}を計算して,逆数をとれば良い.

問4

正則な複素2次正方行列のなす群をGL_2(\C)とおく.行列

A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

で生成されるGL_2(\C)の部分群Gについて,以下の問に答えよ.

(i) 群Gの位数を求めよ.

(ii) 群Gの中心の位数を求めよ.

(iii) 群Gに含まれる位数2の元の個数を求めよ.

[解答の方針]

(i) Gは2面体群と同型であるが,そのことを示すよりも実際に書き出す方が速い.

\pm A,\pm A^2,\pm A^3=\mp I,\pm BA,\pm BA^2,\pm BA^3=\mp B

の他にないことを示し,これらが異なることを示せばよい.

(ii) i=1,2に対して

A^{i}B\neq BA^{i},\ B^{2}A^{i}\neq BA^{i}B

である.よって,A^{i},BA^{i},Bは中心に属さない.残る\pm A^3=\mp Iは中心に属する.

(iii) 2乗してもとに戻る元の個数を求めれば良い.

問5

3次元微分可能多様体M=\set{(x,y,z,w)\in\R^4}{xy-z^2=w}から\R^3への写像f=(f_1,f_2,f_3):M\to\R^3

f(x,y,z,w)=(x+y,z,w)

により定める.以下の問に答えよ.

(i) fの臨界点の集合Cを求めよ.ただしp\in Mfの臨界点であるとは,pの周りのMの座標系(u_1,u_2,u_3)に関するヤコビ行列

\bra{\pd{f_i}{u_j}(p)}_{1\le i,j\le 3}

が正則でないことである.

(ii) CMの部分多様体になることを証明せよ.

[解答の方針]

(i) \phi:M\to\R^3を第1成分,第2成分,第3成分への直交射影とすると,\{(M,\phi)\}Mの座標近傍系となる.これを利用してJacobi行列を計算し,臨界点を求める.

(ii) 正則値定理(沈め込み定理)を用いれば良い.

解答

解答は以下のPDFに掲載しています.

H28_基礎科目II_解答

以下は注意事項です.

  • 解答作成には万全を期していますが,論理の飛躍,誤りがあることは有り得ます.
  • 本PDFは私に著作権があります.
  • 無断複製,無断転載は一切禁止します.これらの行為が確認された場合は,止むを得ず法的手段に出ることがあります.

この解答が大学院受験生の一助になれば幸いです.

参考文献

以下の3冊は,実際に私が使用したものである.

  • 「演習大学院入試問題(数学I) 第3版」(姫野俊一/陳啓浩 共著,サイエンス社)
  • 「演習大学院入試問題(数学II) 第3版」(姫野俊一/陳啓浩 共著,サイエンス社)
  • 「詳解と演習大学院入試問題〈数学〉」(海老原円 著,数理工学社)

演習大学院入試問題

ところどころ誤植があったり,もう少しスッキリ解答できるところがあるのが残念.しかし,問題量は非常に豊富である.全2巻で,

1巻

第1編 線形代数
第2編 微分・積分学
第3編 微分方程式

2巻

第4編 ラプラス変換,フーリエ変換,特殊関数,変分法
第5編 複素関数論
第6編 確率・統計

が扱われている.

問題の種類としては発想問題よりも,ちゃんと地に足つけた考え方で解ける問題が多い.

計算量が多い問題,基本問題も多く扱われているが,試験では基本問題ほど手早く処理することが求められるので,その意味で試験への対応力が養われるであろう.(私自身,計算力があまり高くないので苦労した.)

詳解と演習大学院入試問題〈数学〉

上述の姫野氏の問題集とは対照的に,問題数はそこまで多くないが1問1問の解説が丁寧になされている.また,構成が読みやすい.

第1章 数え上げと整数
第2章 線形代数
第3章 微積分
第4章 微分方程式
第5章 複素解析
第6章 ベクトル解析
第7章 ラプラス変換
第8章 フーリエ変換
第9章 確率

典型的な問題でも複数の解法を紹介しているので,私は参考になることも多かった.個人的にはこの本には非常に好感が持てる.

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コメント

  1. 勉強中 より:

    こんにちは。私は今年度京都大学大学院を受験する者で、過去問の解答がこちらのサイトにしかないためいつも勉強に役立たせていただいています。恥ずかしながら一人で考えていてもちんぷんかんぷんで・・・本当にありがとうございます。
    今ある分でも既にかなり助かっているのですが、もしよろしければ他の年度の解答もあげてくださるととても嬉しいです。もしお時間がありましたらよろしくお願いいたします。

    1. yama-taku より:

      リクエストありがとうございます.
      現在,多忙につき更新が滞っております.
      他の解答はもうしばらくお待ちください.

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