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位相空間上の連続写像を矛盾なく定義する方法

  
   

位相空間上の写像に連続性を定義することを考える.

位相空間より狭い概念である距離空間における連続性は「\epsilon\delta論法」を用いて定義するのが普通であるため,位相空間での写像の連続性を定義する際には,距離空間での連続性の定義に矛盾しないように定義する必要がある.

しかし,「\epsilon\delta論法」は距離を用いた定義のため,一般に距離が定義されていない位相空間にそのまま「\epsilon\delta論法」は適用できない.

したがって,距離空間での写像の連続性の定義を距離を用いない同値な条件に言い換え,それを位相空間上での連続性の定義とする方法をとる.

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位相空間の定義

まずは位相空間の定義を確認しておく.

[定義1(位相空間)] 集合Xと,Xの部分集合族(部分集合の集合)\mathcal{O}の組(X,\mathcal{O})位相空間であるとは,次の(i)~(iii)を満たすことをいう.

  1. 空集合\emptysetと全体集合Xはともに\mathcal{O}に属する:\emptyset,X\in\mathcal{O}
  2. \mathcal{O}の有限個の元O_{1},\dots,O_{n}の共通部分\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_i\mathcal{O}に属する:\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_i\in\mathcal{O}
  3. \mathcal{O}の任意個(無限個も可)の元O_{\lambda} (\lambda\in\Lambda)の和集合\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\mathcal{O}に属する:\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O}

このとき,部分集合族\mathcal{O}は集合X開集合系であるという.また,位相空間(X,\mathcal{O})を単にXと書くこともある.

本来,位相とは開集合系を定めることによって定まる数学的構造のことを指すが,簡単に開集合系\mathcal{O}を指して位相と言うことも多くある.

注意として,3で\mathcal{O}の任意個(無限個も可)の元をO_{n} (n=1,2,\dots)ではなくO_{\lambda} (\lambda\in\Lambda)とするのは,この「任意個」が「たかだか可算個」ではないかもしれないからである.

つまり,O_{n} (n=1,2,\dots)と書いた時点で,元にn=1から順番に番号を付けて並べていることになっている.たとえば,実数の集合は自然数の集合より濃度が大きいため,「整数より濃度が大きい集合の元は(番号を付けて)一列に並べられない」という性質により,\Lambda=\mathbb{R}のときにはO_{n} (n=1,2,\dots)とは書けない.

このような理由で,3ではO_{\lambda} (\lambda\in\Lambda)という表記になっている.たとえば,実数と同じ濃度の集合をもってきたときにはO_{\lambda} (\lambda\in\mathbb{R})ということになります.

3では,このようにどんな濃度の\mathcal{O}の部分集合をとってきても,和集合は再び\mathcal{O}に属するということ述べている.

距離空間上の連続写像

一般の位相空間の連続写像を定義する前に,\mathbb{R}^n上の連続関数と距離空間上の連続写像の定義をみる.

一般の距離空間上の連続写像の話に移る前に,\Omega\subset\mathbb{R}^{n}上の関数の連続性についてみておく.これは,次のように定義するのが最もポピュラーであろう.

[定義2(\mathbb{R}^n上の連続関数)] \Omega\subset\mathbb{R}^nとする.関数f:\Omega\to\mathbb{R}^m a\in\Omegaで連続であるとは,次をみたすことをいう:

{}^{\forall}\epsilon>0\ {}^{\exists}\delta>0\ s.t.\ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon

また,f集合 \Omega'\subset\Omega上で連続であるとは,集合\Omega'上の任意の点でfが連続であることをいう.

ただし,x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^{n}に対して,|x|=\sqrt{{x_1}^2+\dots+{x_n}^2}である.

\mathbb{R}^n上の連続関数は距離空間の連続写像の特別な場合に過ぎないが,\mathbb{R}^n上の連続関数のイメージを距離空間の連続写像のイメージとして もっていることは決して損にはならない.

次に,距離空間の定義を確認しておく.

[定義3(距離空間)] 集合Xと写像d:X\times X\to \mathbb{R}の組(X,d)距離空間であるとは,写像dが次の1~3を満たすことをいう.

  1. d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y
  2. d(x,y)=d(y,x)
  3. d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)

このとき,写像dを距離空間(X,d)距離という.距離空間(X,d)を単にXと書くこともある.

また,a\in X,r>0に対し,集合U_{r}(a):=\{x\in X|d(a,x)<r\} a r開近傍(または単に近傍)という.

距離の定義に非負値性0\le d(x,y)を定義に含めることもあるが,非負値性は上の3性質から次のようにして導くことができる:任意のx,y\in Xに対して,

0=d(x,x)\le d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)

だから両辺2で割って0\le d(x,y)が従う.

通常,距離空間上の連続写像は次のように定義される.

[定義4(距離空間上の連続写像)] (X,d_1)(Y,d_2)を距離空間とする.写像f:X\to Y a\in Xで連続であるとは,次をみたすことをいう:

{}^{\forall}\epsilon>0\ {}^{\exists}\delta>0\ s.t.\ d_1(x,\ a)<\delta \Rightarrow d_2(f(x),\ f(a))<\epsilon

また,f X上で連続であるとはX上の任意の点でfが連続であることをいう.

写像d:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R};(x,y)\mapsto|x-y|を考えれば,(\mathbb{R},d)は距離空間である.すなわち,\mathbb{R}^n上の連続関数は距離空間(\mathbb{R},d)の連続写像の定義を適用したものと一致することが分かる.

なお,この距離空間(\mathbb{R},d)によって自然に定まる\mathbb{R}^nの位相を, \mathbb{R}^nの通常の位相」「自然な位相」などという.

また,通常の位相における開集合を通常の開集合自然な開集合ということもある.

距離空間の位相

次の命題5は距離空間と位相空間を繋ぐ重要な役割を果たす.

[命題5(距離空間の位相)] 距離空間Xは,次の性質(*)をみたすXの部分集合O全部の族\mathcal{O}を開集合系として位相空間になる.

(*)a\in Oなら,あるr>0が存在してU_{r}(a)\subset Oをみたす.

[証明]

位相空間の定義1~3を確認すれば良い.

[1の証明] U=\emptyset,Xは明らかに(*)をみたすから,\emptysetX\in\mathcal{O}が従う.(U=\emptysetに対しては,a\in Uが偽なので,(*)が真となることに注意)

[2の証明] \mathcal{O}の有限個の元O_{1},\dots,O_{n}をとり,a\in\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_iであるとすると,各i\in{1,\dots,n}に対して,U_{r_i}(a)\subset O_iをみたすr_i>0が存在する.よって,r:=\min{r_1,\dots,r_n}とすれば,U_{r}(a)\in\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_iをみたすから,\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_i\in\mathcal{O}が従う.

[3の証明] \mathcal{O}の任意個(無限個も可)の元O_{\lambda} (\lambda\in\Lambda)をとり,a\in\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}であるとすると,a\in O_{\lambda}をみたす\lambda\in\Lambdaが存在する.このとき,U_{r}(a)\subset O_\lambdaをみたすr>0が存在する.もとより,O_\lambda\subset\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}だから,\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O}が従う.

[証明終]

多くの場合,学部1年生で(*)のようにして\mathbb{R}^{n}上の「通常の開集合」の定義を習い,学部2年生の位相空間の授業で「実は1年生で\mathbb{R}^{n}上の『通常の開集合』といっていたものは位相の性質をみたす.だから,\mathbb{R}^{n}は『通常の開集合』により位相空間となっている.」と習う.

命題5は\mathbb{R}^{n}上ではなく一般の距離空間上でそれと同じ手順を踏んでいるのである.ですから,距離空間上の開集合のイメージは\mathbb{R}^{n}のイメージをもっていれば大体間に合う.

このように,距離空間(X,d)は自然に位相空間(X,\mathcal{O})となる.以降,命題5により定まる位相を距離空間の位相ということにする.

位相空間上の連続写像

一般の位相空間上の連続写像は定めることを考える.一般の位相空間には距離が定義されていないため,位相空間の連続性を定義する際に距離空間の連続性の定義をそのまま採用することはできない.

しかし,距離空間の連続性に矛盾しないように定めなければならない.そのために,次の定理6が重要である.

[定理6] 距離空間(X,d_1)(Y,d_2)と写像f:X\to Yに対し,次の1,2は同値である.

  1. fX上で連続.
  2. 任意の開集合U\subset Yに対し,f^{-1}(U)\subset Xは開集合.

定理6により,距離空間上の連続性を,開集合という位相的性質のみを用いて記述することができることが分かる.

したがって,位相空間上の写像の連続性の定義を定理6(ii)とすれば,距離空間上の写像の連続性と矛盾することなく位相空間上の写像に連続性を定義できる.

[定理6の証明]

[1\Rightarrow2の証明] 任意の開集合U \subset Yをとり,f^{-1}(U)が開集合であることを示す.

任意のa \in f^{-1}(U)に対して,f(a) \in Uであり,Uは開だから

{}^{\exists}\epsilon>0\ s.t.\ U_{\epsilon}(f(a))\subset U

をみたす.仮定1よりfX上で連続,したがって点aで連続なので,上の\epsilonに対して,

{}^{\exists}\delta>0\ s.t.\ d_1(x,a)<\delta\Rightarrow d_2(f(x),f(a))<\epsilon

が成り立つ.すなわち,任意のx\in U_{\delta}(a)\subset Xf(x)\in U_{\epsilon}(f(a))\subset Yをみたす.これは,

\left(U_{\delta}(a)\right)\subset U_{\epsilon}(f(a))

であることに他ならない.いま,U_{\epsilon}(f(a))\subset Uだから,f\left(U_{\delta}(a)\right)\subset Uである.よって,U_{\delta}(a)\subset f^{-1}(U)である.

U_{\delta}(a)は開集合だから,f^{-1}(U)が開集合であることが従う.したがって,(ii)が示された.

[2\Rightarrow1の証明] 任意のa\in Xをとり,afが連続であることを示す.

任意の\epsilon>0に対し,U_{\epsilon}(f(a)) \subset Yは開なので,仮定2よりf^{-1}\left(U_{\epsilon}(f(a))\right) \subset Xも開である.

さらに,もとよりa \in f^{-1}\left(U_{\epsilon}(f(a))\right)であるから,

{}^{\exists}\delta>0\ s.t.\ U_{\delta}(a) \subset f^{-1}(U_{\epsilon}(f(a)))

が成り立つ.これは,任意のx\in U_{\delta}(a)\subset Xf(x)\in U_{\epsilon}(f(a))\subset Yをみたすことに他ならず,すなわち

{}^{\exists}\delta>0\ s.t.\ f(U_{\delta}(a)) \subset U_{\epsilon}(f(a))

が従う.したがって,1が示された.

[証明終]

先にも述べたが,ここで重要なことは定理6-2は距離空間でない一般の位相空間にも通用するということです.つまり,一般の位相空間での連続の定義を定理6-2により定めれば,すでに距離空間で定めていた連続の定義と矛盾しない.

よって,一般の位相空間における連続写像の定義は次のようにすれば良いことが分かる.

[定義7(位相空間上の連続写像)] 位相空間XYに対し,写像f:X\rightarrow Yが連続であるとは次が成り立つことをいう:任意の開集合U \subset Yに対し,f^{-1}(U) \subset Xは開集合.

このことは,標語的に「開集合の連続写像による引き戻しは開集合」ということが多い.

また,証明は省略するが,この「開集合」を「閉集合」に変えた次の定理8「閉集合の連続写像による引き戻しは閉集合」も成り立つ.

[定理8] 距離空間(X,d_1),(Y,d_2)と写像f:X\to Yに対し,次の1,2は同値である.

  1. fX上で連続.
  2. 任意の閉集合O \subset Yに対し,f^{-1}(U) \subset Xは閉集合.

したがって,この定理8-2を連続写像の定義とすることもできる.

しかし,位相は開集合系を定めることによって定めることが多いため,開集合に関する定理6-2を連続の定義とするのが自然であろう.

参考文献

  • 「集合・位相入門」(松坂和夫 著,岩波書店)
  • 「集合と位相」(鎌田正良 著,現代数学ゼミナール)

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