2014年度｜京都大学 大学院入試｜数学・数理解析専攻｜専門科目

(1)の解答

$f$は有界閉集合$[-1,1]$上連続だから$M:=\max\limits_{x\in[-1,1]}|f(x)|$が存在するので，

\begin{align*}\int_{\R}f(x)^2\,dx
&=\int_{[-1,1]}f(x)^2\,dx+\int_{\R\setminus[-1,1]}f(x)^2\,dx
\\&\le2M^2+\int_{\R}x^2f(x)^2\,dx<\infty\end{align*}

である．また，コーシー-シュワルツの不等式から

\begin{align*}&\int_{\R}|xf(x)f'(x)|\,dx
\le\bra{\int_{\R}x^{2}f(x)^2\,dx}^{1/2}\bra{\int_{\R}f'(x)^2\,dx}^{1/2}<\infty\end{align*}

である．よって，$g'(x)=f(x)^{2}+2xf(x)f'(x)$の第１項も第２項も$\R$上可積分だから，$g’$は$\R$上可積分である．$f\in C^1(\R)$より$g\in C^1(\R)$なので，微分積分学の基本定理より

\begin{align*}g(x)&=\int_{0}^{x}g'(y)\,dy+g(0)\xrightarrow[]{x\to\infty}\int_{0}^{\infty}g'(y)\,dy+g(0)\end{align*}

と$x\to\infty$で$g(x)$は収束する．もし$\lim\limits_{x\to\infty}g(x)\neq0$なら，ある$\epsilon>0$と$R>0$が存在して，$x>R$のとき$|g(x)|>\epsilon$が成り立つから，

\begin{align*}\int_{\R}x^2f(x)^2\,dx=\int_{\R}xg(x)\,dx\ge\int_{[R,\infty)}xg(x)\,dx\ge\epsilon\int_{R}^{\infty}x\,dx=\infty\end{align*}

となって仮定に矛盾する．よって，$\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=0$が従う．同様に$\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=0$が従う．

(2)の解答

$\lim\limits_{x\to\pm\infty}g(x)=0$とコーシー-シュワルツの不等式より

\begin{align*}\int_{\R}f(x)^{2}\,dx
&=\int_{\R}(g'(x)-2xf(x)f'(x))\,dx
\\&=-\int_{\R}2xf(x)f'(x)\,dx
\\&\le2\int_{\R}|xf(x)f'(x)|\,dx
\\&\le2\bra{\int_{\R}|xf(x)|^2\,dx}^{1/2}\bra{\int_{\R}|f'(x)|^2\,dx}^{1/2}\end{align*}

が従う．

$T^0$は恒等作用素$H\to H$であると定める．

(1)の解答

点列$\{T^n x\}_{n=1}^{\infty}$が０に強収束しないと仮定する．このとき，ある$\epsilon>0$と部分列$\{T^{n(k)}x\}_{k=1}^{\infty}$が存在して，任意の$k\in\{1,2,\dots\}$に対し$\|T^{n(k)}x\|_H\ge\epsilon$が成り立つ．

一般に弱収束列は有界だから点列$\{\|T^{n(k)-1}x\|_H\}$は有界なので，$T$のコンパクト性より$\{T^{n(k)}x\}_{k=1}^{\infty}$は０に強収束する部分列をもつ．

しかし，これは任意の$k\in\{1,2,\dots\}$に対し$\|T^{n(k)}x\|_H\ge\epsilon$が成り立つことに矛盾する．よって，$\{T^nx\}$は０に強収束する．

(2)の解答

$S$を$H$上の単位球面とする：$S=\set{u\in H}{\|u\|_{H}=1}$．このとき，

\begin{align*}\|T^{n+1}\|_{H\to H}
=\sup_{u\in S}\|T^{n+1}u\|_H
=\sup_{x\in T(S)}\|T^n x\|_H
\le\sup_{x\in\overline{T(S)}}\|T^n x\|_H\end{align*}

である．ただし，$\|\cdot\|_{H\to H}$は作用素ノルムである．

ここで，$n\in\N$に対して$f_n(x)=\|T^n x\|_H$で定まる汎関数$f_n:\overline{T(S)}\to\R$を定め，関数列$\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$は０に一様収束しないと仮定する．

このとき，ある$\epsilon>0$と部分列$\{f_{n(k)}\}_{k=1}^{\infty}$が存在して，任意の$k\in\{1,2,\dots\}$に対し$\sup\limits_{x\in\overline{T(S)}}|f_{n(k)}(x)|\ge\epsilon$が成り立つ．また，

• 任意の$x\in H$に対して$\{T^{n(k)}x\}_{k=1}^{\infty}$が弱収束列だから有界列なので，一様有界性原理より$M_1:=\sup\limits_{k\in\N}\|T^{n(k)}\|_{H\to H}<\infty$
• $T$はコンパクト作用素で$S$は有界集合だから$\overline{T(S)}$はコンパクト集合で有界だから，$M_2:=\sup\limits_{x\in\overline{T(S)}}\|x\|_H<\infty$

である．以下で$\{f_{n(k)}\}_{k=1}^{\infty}$が同程度連続かつ一様有界であることを示す．

［１］任意の$\epsilon>0$に対して，$x,x’\in\overline{T(S)}$が$\|x-x’\|_H<\epsilon/M_1$を満たせば，

\begin{align*}\sup_{k\in\N}|f_{n(k)}(x)-f_{n(k)}(x’)|&=\sup_{k\in\N}\abs{\|T^{n(k)}x\|_H-\|T^{n(k)}x’\|_H}
\\&\le\sup_{k\in\N}\|T^{n(k)}x-T^{n(k)}x’\|_H
\\&=\sup_{k\in\N}\|T^{n(k)}(x-x’)\|_H
\\&\le\sup_{k\in\N}\|T^{n(k)}\|_{H\to H}\|x-x’\|_H
\\&<M_1\cdot\frac{\epsilon}{M_1}=\epsilon\end{align*}

が成り立つから，$\{f_{n(k)}\}_{k=1}^{\infty}$は同程度連続．

［２］任意の$x\in\overline{T(S)}$に対して，

\begin{align*}\sup_{k\in\N}|f_{n(k)}(x)|&=\sup_{k\in\N}\|T^{n(k)}x\|_H
\\&\le\sup_{k\in\N}\|T^{n(k)}\|_{H\to H}\|x\|_H\le M_1M_2\end{align*}

が成り立つから，$\{f_{n(k)}\}_{k=1}^{\infty}$は一様有界．

［１］［２］と$T$のコンパクト性より$\overline{T(S)}$がコンパクトであることから，$\{f_{n(k)}\}_{k=1}^{\infty}$にアスコリ-アルツェラの定理を適用できて，一様収束する部分列$\{f_{n(k(\ell))}\}_{\ell=1}^{\infty}$が存在する．

(1)より$\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$は０に各点収束するから$\{f_{n(k(\ell))}\}_{\ell=1}^{\infty}$も０に各点収束する．一般に，一様収束極限が存在すれば各点収束極限に一致するから，$\{f_{n(k(\ell))}\}_{\ell=1}^{\infty}$は０に一様収束する．

しかし，これは任意の$\ell\in\{1,2,\dots\}$に対し$\sup\limits_{x\in\overline{T(S)}}|f_{n(k(\ell))}(x)|\ge\epsilon$が成り立つことに矛盾する．よって，$\{f_n\}$は０に一様収束するから，作用素列$\{T^n\}_{n=1}^{\infty}$は０に作用素ノルムで収束する．

以下では全て複号同順とする．$v_{\pm}$は$C^2$級関数$u$と$C^{\infty}$級関数$\R\to\R^2;t\mapsto(t,\pm t)$の合成なので$C^2$級関数である．また，$C^1$級関数$w:\R^2\to\R$を

\begin{align*}w:=u_t^2+u_x^2+u^2\end{align*}

で定める．

(1)の解答

関数$f:\R^2\to\R$, $g:\R\to\R^2$を

\begin{align*}f(p,q)=\int_{-p}^{p}w(q,x)\,dx,\quad
g(t)=(t,t)\end{align*}

で定めると$E=f\circ g$である．$w$は連続なので，任意の$p,q\in\R$に対して，微分積分学の基本定理より

\begin{align*}\frac{\partial f}{\partial p}(p,q)=w(q,p)-(-1)w(q,-p)=w(q,p)+w(q,-p)\end{align*}

である．また，任意の$p,R>0$に対して，

• $w_t$は有界閉集合$[-R,R]\times[-p,p]$上で連続だから有界なので，ある$M>0$が存在して，任意の$x\in[-p,p]$に対して$\sup\limits_{q\in[-R,R]}|w_t(q,x)|\le M$
• $\int_{-p}^{p}M\,dx=2Mp<\infty$

が成り立つから，任意の$q\in[-R,R]$に対して，平均値の定理とルベーグの収束定理より，

\begin{align*}\frac{\partial f}{\partial q}(p,q)=\int_{-p}^{p}w_t(q,x)\,dx\end{align*}

である．$R>0$は任意なので，$\R$上でもこの微分と積分の順序交換が成り立つ．よって，$E$は$\R$上微分可能で

\begin{align*}E'(t)&=f_p\circ g(t)\cdot\frac{dt}{dt}+f_q\circ g(t)\cdot\frac{dt}{dt}
\\&=w(t,t)+w(t,-t)+\int_{-t}^{t}w_t(t,x)\,dx\end{align*}

が成り立つ．また，与えられた微分方程式$u_{tt}+u=u_{xx}$より

\begin{align*}w_t&=2(u_tu_{tt}+u_xu_{tx}+uu_t)
\\&=2\bra{u_tu_{xx}+u_xu_{tx}}=2(u_tu_x)_x(t,x)\end{align*}

なので，微分積分学の基本定理と併せて，

\begin{align*}E'(t)&=2(u_t(t,t)u_x(t,t)-u_t(t,-t)u_x(t,-t))+w(t,t)+w(t,-t)
\\&=\bra{u_t(t,t)^2+2u_t(t,t)u_x(t,t)+u_x(t,t)^2}
\\&\quad+\bra{u_t(t,-t)^2-2u_t(t,-t)u_x(t,-t)+u_x(t,-t)^2}
\\&\quad+u(t,t)^2+u(t,-t)^2
\\&=(u_t(t,t)+u_x(t,t))^2+(u_t(t,-t)-u_x(t,-t))^2+v_+(t)^2+v_-(t)^2
\\&=v’_+(t)^2+v’_-(t)^2+v_+(t)^2+v_-(t)^2\ge0\end{align*}

だから，$E$は$\R$上単調増加である．

(2)の解答

仮定$\sup\limits_{t\ge0}E(t)<\infty$と(1)より極限$\lim\limits_{t\to\infty}E(t)$が存在する．また，$E$は$\R$上$C^1$級だから，微分積分学の基本定理より

\begin{align*}&\lim_{t\to\infty}E(t)=\lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t}E'(s)\,ds+E(0)
\\&=\|v’_+\|_{L^2[0,\infty)}^2+\|v’_-\|_{L^2[0,\infty)}^2+\|v_+\|_{L^2[0,\infty)}^2+\|v_-\|_{L^2[0,\infty)}^2\end{align*}

なので$v_+,v’_+\in L^2([0,\infty))$である． よって，コーシー-シュワルツの不等式より

\begin{align*}\int_{0}^{\infty}|v_{\pm}(s)v’_{\pm}(s)|\,ds\le\|v_{\pm}\|_{L^2([0,\infty))}\|v’_{\pm}\|_{L^2([0,\infty))}\end{align*}

だから，$\int_{0}^{\infty}v’_{\pm}(s)v_{\pm}(s)\,ds$は絶対収束するので収束する．よって，

\begin{align*}v_{\pm}(t)^2&=\int_{0}^{t}(v_{\pm}^2)'(s)\,ds+v_{\pm}(0)^2
\\&\xrightarrow[]{t\to\infty}2\int_{0}^{\infty}v_{\pm}(s)v’_{\pm}(s)\,ds+v_{\pm}(0)^2\end{align*}

と$t\to\infty$で$v_{\pm}(t)^2$は収束する．もし$\lim\limits_{t\to\infty}v_{\pm}^2(t)\neq0$なら，$v_{\pm}^2$が$[0,\infty)$上可積分であることに矛盾するから$\lim\limits_{t\to\infty}v_{\pm}^{2}(t)=0$が分かり，$\lim\limits_{t\to\infty}v_{\pm}(t)=0$が従う．

以下，複号同順とする．$\sup\limits_{t\ge0}E(t)<\infty$と(1)より極限$\lim\limits_{t\to\infty}E(t)$が存在する．また，$E$は$\R$上$C^1$級だから，微分積分学の基本定理より

\begin{align*}&\lim_{t\to\infty}E(t)=\lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t}E'(s)\,ds+E(0)
\\&=\|v’_+\|_{L^2[0,\infty)}^2+\|v’_-\|_{L^2[0,\infty)}^2+\|v_+\|_{L^2[0,\infty)}^2+\|v_-\|_{L^2[0,\infty)}^2\end{align*}

なので$v_+,v’_+\in L^2([0,\infty))$である．

ここで，任意に$R>0$をとる．$|v_{\pm}|$は有界閉区間$[R,R+1]$上で連続だから，ある$t_{\pm}\in[R,R+1]$で最小値をとる．任意の$t\in[R,R+1]$に対して，微分積分学の基本定理より

\begin{align*}|v_{\pm}(t)|&=\abs{v_{\pm}(t_{\pm})+\int_{t_{\pm}}^{t}v’_{\pm}(s)\,ds}
\\&\le|v_{\pm}(t_{\pm})|+\int_{R}^{R+1}|v’_{\pm}(s)|\,ds\end{align*}

が成り立つ．第１項は

\begin{align*}|v_{\pm}(t_{\pm})|=\bra{\int_{R}^{R+1}|v_{\pm}(t_{\pm})|^2\,ds}^{1/2}\le\|v_{\pm}\|_{L^2[R,R+1]}\end{align*}

と評価でき，第２項はコーシー-シュワルツの不等式より

\begin{align*}\int_{R}^{R+1}|v’_{\pm}(s)|\,ds\le\|1\|_{L^2[R,R+1]}\|v’_{\pm}\|_{L^2[R,R+1]}=\|v’_{\pm}\|_{L^2[R,R+1]}\end{align*}

と評価できるから，$\|v_{\pm}\|_{L^\infty[R,R+1]}\le\|v_{\pm}\|_{L^2[R,R+1]}+\|v’_{\pm}\|_{L^2[R,R+1]}$が成り立つ．よって，

\begin{align*}\lim_{t\to\infty}|v_{\pm}(t)|&=\lim_{t\to\infty}\sup_{s\in[t,t+1]}|v_{\pm}(s)|
\\&\le\lim_{t\to\infty}\bra{\|v_{\pm}\|_{L^2([t,t+1])}+\|v’_{\pm}\|_{L^2([t,t+1])}}=0\end{align*}

だから，$\lim\limits_{t\to\infty}v_{\pm}(t)=0$が従う．