本質的有界な可測関数｜本質的上限(ess sup)・下限(ess inf)

関数の上限は１点の値を変えることでどこまでも大きくすることができます．例えば，関数 $f : R \to R$ を

$\begin{array}{r} f (x) = {\begin{cases} - x^{2} + 1 & (x \neq 0), \\ 2 & (x = 0) \end{cases} \end{array}$

で定めると，この関数の値域の上限は $sup_{x \in R} f (x) = 2$ ですね．

しかし，この関数は $x = 0$ での値が飛び跳ねているだけで， $f$ の「本質的な上限」は

$\begin{array}{r} sup_{x \in R} (- x^{2} + 1) = 1 \end{array}$

と言えそうです．このように考える上限を本質的上限といいます．

この記事では

本質的上限・本質的下限の定義
本質的上限・本質的下限の具体例
本質的上限・本質的下限の性質

を順に説明します．

以下の積分はルベーグ積分として考え， $m$ をルベーグ測度としていますが，より一般に測度空間上でも同様に成り立ちます．

「ルベーグ空間 $L^{p}$ の基本」の一連の記事

ルベーグ空間（ $L^{p}$ 空間）の参考文献
本質的上限・本質的下限の定義
1. 本質的上限の定義
2. 本質的下限の定義
本質的上限・本質的下限の具体例
本質的上限・本質的下限の性質

ルベーグ空間（ $L^{p}$ 空間）の参考文献

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本質的上限・本質的下限の定義

冒頭の例のように，零集合上で値が「跳ねて」いるような部分を無視したときの上界を本質的上界といいます．

通常の上限と同様に，本質的上限は本質的上界の最小のものとして定義されます．

本質的上限の定義

可測集合 $A \subset R$ 上の可測関数 $f$ に対して， $S \in R$ が $f$ の本質的上界（essential upper bound）であるとは

$\begin{array}{r} m ({x \in A | f (x) > S}) = 0 \end{array}$

が成り立つことをいう． $f$ の本質的上界が存在するとき， $f$ は本質的に上に有界であるという．

言葉で説明すれば，関数 $f$ の値が $S$ より大きくなるような $x$ の集合の測度が０であるとき $S$ を本質的上界という，ということですね．

例えば，冒頭の関数

$\begin{array}{r} f (x) = {\begin{cases} - x^{2} + 1 & (x \neq 0), \\ 2 & (x = 0) \end{cases} \end{array}$

を考えると，

$\begin{array}{r} m ({x \in R | f (x) > \frac{3}{2}}) = m ({0}) = 0 \end{array}$

なので， $\frac{3}{2}$ は $f$ の本質的上界のひとつですね．

このような本質的上界全部の集合の下限を本質的上限といいます．

可測集合 $A \subset R$ 上の本質的に上に有界な可測関数 $f$ に対して， $f$ の本質的上界全部の集合の下限を $f$ の本質的上限（essential supremum）といい， $\underset{x \in A}{ess \sup} f (x)$ と表す：

$\begin{array}{r} \underset{x \in A}{ess \sup} f (x) := inf {S \in R | m ({x \in A | f (x) > S}) = 0} \end{array}$

ただし，本質的上界が存在しないときは $\underset{x \in A}{ess \sup} f (x) = \infty$ と定める．

本質的下限の定義

本質的下限も本質的上限と同様に以下のように定義されます．

可測集合 $A \subset R$ 上の可測関数 $f$ に対して， $s \in R$ が $f$ の本質的下界（essential under bound）であるとは

$\begin{array}{r} m ({x \in A | f (x) < s}) = 0 \end{array}$

が成り立つことをいう． $f$ の本質的下界が存在するとき， $f$ は本質的に下に有界であるという．

また， $f$ の本質的下界の上限を $f$ の本質的下限（essential infimum）といい， $\underset{x \in A}{ess \inf} f (x)$ と表す：

$\begin{array}{r} \underset{x \in A}{ess \inf} f (x) := sup {s \in R | m ({x \in A | f (x) < s}) = 0} \end{array}$

ただし，本質的上界が存在しないときは $\underset{x \in A}{ess \inf} f (x) = - \infty$ と定める．

$f$ が本質的に上に有界かつ本質的に下に有界であるとき， $f$ は本質的有界であるといいます．

本質的上限・本質的下限の具体例

いくつか具体例を考えましょう．

例１（１点集合を無視する場合）

まずは冒頭の関数の本質的上限・本質的下限を求めましょう．

関数 $f : R \to R$ を

$\begin{array}{r} f (x) = {\begin{cases} - x^{2} + 1 & (x \neq 0), \\ 2 & (x = 0) \end{cases} \end{array}$

と定める． $f$ の本質的上限と本質的下限を求めよ．

この問題の関数 $f$ は $- x^{2} + 1$ とほとんど至る所で等しく，本質的上限は $1$ と言えそうですね．

また，本質的下界は存在しそうになく，本質的下限は $- \infty$ と言えそうですね．

［本質的上界］一般に一点集合は零集合なので，

$\begin{array}{r} m ({x \in R | f (x) > 1}) = m ({0}) = 0 \end{array}$

だから， $1$ は $f$ の本質的上界である．また，任意の $a < 1$ に対して

$\begin{aligned} m ({x \in R | f (x) > a}) \\ = m ((- \sqrt{1 - a}, \sqrt{1 - a})) \\ = 2 \sqrt{1 - a} > 0 \end{aligned}$

だから， $a$ は $f$ の本質的上界でない．よって， $\underset{x \in R}{ess \sup} f (x) = 1$ を得る．

［本質的下界］任意の $a \in R$ に対して

$\begin{aligned} m ({x \in R | f (x) < a}) \\ = m ((- \infty, - \sqrt{1 - a}) \cup (\sqrt{1 - a}, \infty)) = \infty \end{aligned}$

だから， $a$ は $f$ の本質的下界でない．よって， $\underset{x \in R}{ess \inf} f (x) = - \infty$ を得る．

例２（可算集合を無視する場合）

関数 $f : R \to R$ を

$\begin{array}{r} f (x) = {\begin{cases} \cos x & (x \neq 0, \pm π, \pm 2 π, \dots), \\ 2 & (x = 0, \pm π, \pm 2 π, \dots) \end{cases} \end{array}$

と定める． $f$ の本質的上限と本質的下限を求めよ．

$x = n π$ で飛び抜けていますが，一般に可算集合は零集合なので，可算集合 ${n π | n \in Z}$ はルベーグ測度においては無視されます．

そのため，この問題の関数 $f$ は $\cos x$ とほとんど至る所で等しく，本質的上限は１となりそうです．

また，本質的下限は通常の下限と一致して $- 1$ となりそうです．

［本質的上界］一般に可算集合は零集合なので，

$\begin{array}{r} m ({x \in R | f (x) > 1}) = m ({n π | n \in Z}) = 0 \end{array}$

だから， $1$ は $f$ の本質的上界である．また，任意の $a \in (0, 1)$ に対して

$\begin{aligned} {x \in R | f (x) > a} \\ = ⋃_{n \in Z} (- \cos^{- 1} a + 2 n π, \cos^{- 1} a + 2 n π) \end{aligned}$

なので $m ({x \in R | f (x) > a}) = \infty > 0$ だから， $a$ は $f$ の本質的上界でない．よって， $\underset{x \in R}{ess \sup} f (x) = 1$ を得る．

［本質的下界］空集合は零集合なので，

$\begin{array}{r} m ({x \in R | f (x) < - 1}) = m (\emptyset) = 0 \end{array}$

だから， $- 1$ は $f$ の本質的上界である．また，任意の $a \in (- 1, 0)$ に対して

$\begin{aligned} {x \in R | f (x) < a} \\ = ⋃_{n \in Z} (- \cos^{- 1} a + (2 n + 3) π, \cos^{- 1} a + (2 n + 1) π) \end{aligned}$

なので $m ({x \in R | f (x) < a}) = \infty > 0$ だから， $a$ は $f$ の本質的下界でない．よって， $\underset{x \in R}{ess \inf} f (x) = - 1$ を得る．

例３（可算集合を無視する場合）

関数 $f : R \to R$ を

$\begin{array}{r} f (x) = {\begin{cases} x & (x \in Q), \\ 0 & (x \in R ∖ Q) \end{cases} \end{array}$

と定める． $f$ の本質的上限と本質的下限を求めよ．

有理数全部の集合 $Q$ は $R$ 上で稠密ですが， $Q$ は可算集合なのでルベーグ測度では無視されます．

よって，この問題の関数 $f$ は０とほとんど至る所で等しく，本質的下限は０となりそうです．

［本質的上界］一般に可算集合は零集合なので，

$\begin{aligned} m ({x \in R | f (x) < 0}) = m ({x \in Q | x < 0}) = 0 \end{aligned}$

だから $0$ は $f$ の本質的上界である．また，任意の $a < 0$ に対して

$\begin{array}{r} {x \in R | f (x) > a} \supset (a, \infty) \end{array}$

だから， $m$ の単調性と併せて

$\begin{aligned} m ({x \in R | f (x) > a}) \geq m ((a, \infty)) > 0 \end{aligned}$

だから， $a$ は $f$ の本質的上界でない．よって， $\underset{x \in R}{ess \sup} f (x) = 0$ を得る．

［本質的下界］一般に可算集合は零集合なので，

$\begin{array}{r} m ({x \in R | f (x) > 0}) = m ({x \in Q | x > 0}) = 0 \end{array}$

だから， $0$ は $f$ の本質的下界でもある．また，任意の $a > 0$ に対して

$\begin{array}{r} {x \in R | f (x) < a} \supset (- \infty, a) \end{array}$

だから， $m$ の単調性と併せて

$\begin{aligned} m ({x \in R | f (x) < a}) \geq m ((- \infty, a)) > 0 \end{aligned}$

だから， $a$ は $f$ の本質的下界でない．よって， $\underset{x \in R}{ess \inf} f (x) = 0$ を得る．

本質的上限・本質的下限の性質

本質的上限・本質的下限の性質をいくつか紹介します．

本質的上限の最小性・本質的下限の最大性

上の定義では本質的上限 $\underset{x \in A}{ess \sup} f (x)$ は本質的上界全部の集合の「下限」と定義しましたが，本質的上界全部の集合は必ず最小値をもちます．また，本質的下限についても同様です．

［命題１］可測集合 $A \subset R$ 上の可測関数 $f$ が本質的に上に有界なら，本質的上限 $\underset{x \in A}{ess \sup} f (x)$ は $f$ の本質的上界である．また， $f$ が本質的に下に有界なら，本質的下限 $\underset{x \in A}{ess \inf} f (x)$ は $f$ の本質的下界である．

正の整数 $n$ に対して

$\begin{array}{r} A_{n} := {x \in A | f (x) > \underset{x \in A}{ess \sup} f (x) + \frac{1}{n}} \end{array}$

とおく． $\underset{x \in A}{ess \sup} f (x) + \frac{1}{n}$ は $f$ の本質的上界だから，任意の $n$ に対して $m (A_{n}) = 0$ である．

さらに， $A_{1} \subset A_{2} \subset \dots$ なので，測度の単調収束定理より

$\begin{aligned} m ({x \in A | f (x) > \underset{x \in A}{ess \sup} f (x)}) \\ = m (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = lim_{n \to \infty} m (A_{n}) = 0 \end{aligned}$

が成り立つ．よって， $\underset{x \in A}{ess \sup} f (x)$ は $f$ の本質的上界である．同様に

$\begin{array}{r} A_{n}^{'} := {x \in A | f (x) < \underset{x \in A}{ess \inf} f (x) - \frac{1}{n}} \end{array}$

を考えれば， $\underset{x \in A}{ess \inf} f (x)$ は本質的下界である．

本質的上限・本質的下限と零集合

本質的上限・本質的下限はうまく零集合を取り除いたときの上限・下限と言えるので以下が成り立ちます．

［命題２］可測集合 $A \subset R$ 上の可測関数 $f$ を考える．ある零集合 $N \subset A$ が存在して，任意の $x \in A ∖ N$ に対して

$\begin{array}{r} \underset{x \in A}{ess \inf} f (x) \leq f (x) \leq \underset{x \in A}{ess \sup} f (x) \end{array}$

が成り立つ．

証明には［命題１］を使いましょう．

$\underset{x \in A}{ess \sup} f (x) = \infty$ なら右の不等式は常に成り立ち， $\underset{x \in A}{ess \inf} f (x) = \infty$ なら左の不等式は常に成り立つから，以下では $f$ が本質的有界な場合を示す．

$N_{1}, N_{2} \subset A$ を

$\begin{aligned} N_{1} := {x \in A | f (x) > \underset{x \in A}{ess \sup} f (x)}, \\ N_{2} := {x \in A | f (x) < \underset{x \in A}{ess \inf} f (x)} \end{aligned}$

とおく．［命題１］より $m (N_{1}) = m (N_{2}) = 0$ が成り立つので， $N := N_{1} \cup N_{2}$ とおくと $m$ の劣加法性より

$\begin{array}{r} m (N) \leq m (N_{1}) + m (N_{2}) = 0 + 0 = 0 \end{array}$

である．また， $N_{1}$ と $N_{2}$ の定義より，任意の $x \in A ∖ N$ に対して

$\begin{array}{r} \underset{x \in A}{ess \inf} f (x) \leq f (x) \leq \underset{x \in A}{ess \sup} f (x) \end{array}$

が従う．

この［命題２］から次の系が従います．

可測集合 $A \subset R$ 上の可測関数 $f$ に対して

$\begin{array}{r} inf_{x \in A} f (x) \leq \underset{x \in A}{ess \inf} f (x) \leq \underset{x \in A}{ess \sup} f (x) \leq sup_{x \in A} f (x) \end{array}$

が成り立つ．

［命題２］より $\underset{x \in A}{ess \inf} f (x) \leq \underset{x \in A}{ess \sup} f (x)$ が成り立つ．

上界は本質的上界だから， $sup f$ の最小性より $\underset{x \in A}{ess \sup} f (x) \leq sup_{x \in A} f (x)$ が成り立つ．同様に $inf_{x \in A} f (x) \leq \underset{x \in A}{ess \inf} f (x)$ が成り立つ．

和の本質的上限・本質的下限

最後に $ess \sup$ の劣加法性と $ess \inf$ の優加法性を証明しておきます．

可測集合 $A \subset R$ 上の可測関数 $f$ に対して

$\begin{aligned} \underset{x \in A}{ess \sup} (f (x) + g (x)) \leq \underset{x \in A}{ess \sup} f (x) + \underset{x \in A}{ess \sup} g (x), \\ \underset{x \in A}{ess \inf} (f (x) + g (x)) \geq \underset{x \in A}{ess \inf} f (x) + \underset{x \in A}{ess \inf} g (x) \end{aligned}$

が成り立つ．

［命題２］より，ある零集合 $N_{f}, N_{g} \subset A$ が存在して，

任意の $x \in A ∖ N_{f}$ に対して $f (x) \leq \underset{x \in A}{ess \sup} f (x)$
任意の $x \in A ∖ N_{g}$ に対して $g (x) \leq \underset{x \in A}{ess \sup} g (x)$

が成り立つ．よって， $N := N_{f} \cup N_{g}$ とおくと，任意の $x \in A ∖ N$ に対して

$\begin{array}{r} f (x) + g (x) \leq \underset{x \in A}{ess \sup} f (x) + \underset{x \in A}{ess \sup} g (x) \end{array}$

が成り立つ（零集合の和集合である $N$ も零集合であることに注意）．よって，本質的上限の最小性より

$\begin{array}{r} \underset{x \in A}{ess \sup} (f (x) + g (x)) \leq \underset{x \in A}{ess \sup} f (x) + \underset{x \in A}{ess \sup} g (x) \end{array}$