ペロン・フロベニウスの定理｜成分が正の行列の最大固有値の性質

具体的に構成する．${\mathit{u}}_0:=\left[\begin{array}{c}1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^N$とおき，${\mathit{u}}_1,{\mathit{u}}_2,\dots$を

で帰納的に定義する．このときの点列$\{{\mathit{u}}_n\}$が条件を満たすことを，数学的帰納法により示す．

［１］${\mathit{u}}_0$は全ての成分が１なので正ベクトルであり，$\Vert \cdot \Vert$は最大値ノルムとしているから$\Vert {\mathit{u}}_0\Vert =1$を満たす．

［２］${\mathit{u}}_k$は正ベクトルであり，$n=k$で条件$(\star )$を満たすとする（$k=1,2,\dots$）．

このとき，${\mathit{u}}_k$は正ベクトルなので，$A$が正行列であることと併せて$A{\mathit{u}}_k$は正行列である．よって，

も正ベクトルである．また，ノルムの斉次性より

をみたす．

［１］と［２］より，正ベクトルの点列$\{{\mathit{u}}_n{\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$で，任意の$n\in \{0,1,2,\dots \}$に対し$(\star )$を満たすものが存在する．

数列$\{f({\mathit{u}}_n)\}$で単調有界実数列の収束定理を用いるために，数列$\{f({\mathit{u}}_n)\}$が単調増加し，上に有界であることを示す．

$(A-f({\mathit{u}}_n)I){\mathit{u}}_{n+1}$が非負ベクトルであることの証明

任意の$n\in \{0,1,2,\dots \}$に対して，

ベクトル$(A-f({\mathit{u}}_n)I){\mathit{u}}_n$の第$i$成分（$i=1,\dots ,N$）は

である．よって，$(A-f({\mathit{u}}_n)I){\mathit{u}}_n$は非負ベクトルである．よって，これに左から成分が正の行列$\frac{A}{\Vert {\mathit{u}}_n\Vert }$をかけてできる

も非負ベクトルである．

数列$\{f({\mathit{u}}_n)\}$が単調増加することの証明

任意に$n\in \{0,1,2,\dots \}$と$i=1,\dots ,N$をとる．$0<[{\mathit{u}}_{n+1}{]}_i\le 1$なので

なので，$(A-f({\mathit{u}}_n)I){\mathit{u}}_{n+1}$が非負ベクトルであることと併せて

となるから，両辺で$\underset{i\in \{1,\dots ,N\}}{min}$をとって$f({\mathit{u}}_{n+1})\ge f({\mathit{u}}_n)$が成り立つ．すなわち，数列$\{f({\mathit{u}}_n)\}$は（広義）単調増加する．

数列$\{f({\mathit{u}}_n)\}$が上に有界であることの証明

関数$F:({\mathbb{R}}_{>0}{)}^N\to \mathbb{R}$を

で定める．このとき，数列$\{f({\mathit{u}}_n)\}$が単調増加することの証明と同様に，数列$\{f({\mathit{u}}_n)\}$は（広義）単調減少することが証明できる．

よって，$f({\mathit{u}}_n)\le F({\mathit{u}}_n)$に注意すれば

が成り立つので，実数列$\{f({\mathit{u}}_n)\}$は上に有界である（$F({\mathit{u}}_0)$が上界のひとつ）．

単調有界実数列の収束定理を数列$\{f({\mathit{u}}_n)\}$に適用

数列$\{f({\mathit{u}}_n)\}$は単調増加し，上に有界であると分かったから，単調有界実数列の収束定理より極限

が存在する．

また，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して$0<f({\mathit{u}}_0)\le f({\mathit{u}}_n)$だから，$\alpha >0$である．

任意に$n\in \mathbb{N}$をとる．

$\Vert (A-f({\mathit{u}}_n)I){\mathit{u}}_n\Vert$の評価

ステップ２で示した不等式

と漸化式${\mathit{u}}_{n+1}=\frac{A{\mathit{u}}_n}{\Vert A{\mathit{u}}_n\Vert }$と併せると，

を得る．この分母と分子をそれぞれ評価する．

を定めると，行列の積の定義と$A$が正行列であることより

であり，行列の積の定義と$m$の定義より

である．よって，

を得る．

$(A-f({\mathit{u}}_n)I){\mathit{u}}_n$の極限

の左辺で極限$n\to \mathrm{\infty }$をとると

なので，$\frac{m}{M}\Vert (A-f({\mathit{u}}_n)I){\mathit{u}}_n\Vert \ge 0$と併せると，はさみうちの原理より

が成り立つ．よって，ノルム$\Vert \cdot \Vert$の連続性から

が成り立つ．

$\alpha$が$A$の固有値で，$\alpha$に属する正の固有ベクトルが存在することの証明

点列$\{{\mathit{u}}_n{\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$は有界だから，ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理より収束部分列$\{{\mathit{u}}_{n(k)}{\}}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}$をもつ．この極限を$\mathit{u}$とする．

$\Vert {\mathit{u}}_{n(k)}\Vert =1$の両辺で極限$k\to \mathrm{\infty }$をとると，ノルムの連続性から$\Vert \mathit{u}\Vert =1$となるので$\mathit{u}\ne \mathbf{0}$である．

また，${\left\{(A-f({\mathit{u}}_n)I){\mathit{u}}_n\right\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$の部分列$\{(A-f({\mathit{u}}_{n(k)})I){\mathit{u}}_{n(k)}{\}}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}$の極限は

となる．一般にもとの点列の極限が存在すれば任意の部分列の極限と一致するから，$(\ast )$と$(\ast \ast )$より

となる．よって，$\alpha$は$A$の固有値であり，$\mathit{u}$は$A$の固有値$\alpha$の固有ベクトルであることが示された．

$\{{\mathit{u}}_n\}$は正ベクトルの列だから$\mathit{u}$は非負ベクトルである．また，$\mathit{u}\ne \mathbf{0}$だから，$A$が正行列であることと併せて，$A\mathit{u}$は正ベクトルである．

よって，$\alpha \mathit{u}$は正ベクトルだから，$\alpha >0$と併せて$\mathit{u}$は正ベクトルであることが分かる．

$\mathit{x},\mathit{y}\in {\mathbb{R}}^N$の標準内積を$⟨\mathit{x},\mathit{y}⟩$で表す．

$A$の転置行列$A^T$も正行列だから，ステップ３までの結果が使えて，$A^T$の正固有値$\lambda$と，固有値$\lambda$に属する正の固有ベクトル$\mathit{v}$が存在する．このとき，

であり，$\mathit{u}$, $\mathit{v}$は共に正ベクトルだから，$⟨\mathit{v},\mathit{u}⟩>0$なので$⟨\mathit{v},\mathit{u}⟩\ne 0$である．よって，$\alpha =\lambda$が成り立つ．

ここで，固有値$\alpha$の固有空間の次元が１でないと仮定すると，固有値$\alpha$の固有ベクトル$\mathit{u}$, ${\mathit{u}}^{\prime }$が存在して任意$a\in \mathbb{R}$に対して$\mathit{u}-a{\mathit{u}}^{\prime }\ne \mathbf{0}$となる．

$\mathit{u}-0\times {\mathit{u}}^{\prime }=\mathit{u}$が正ベクトルであることとスカラー倍の連続性から，ある$k\in \mathbb{R}$が存在して$\mathit{u}-k{\mathit{u}}^{\prime }$は成分の少なくとも１つが０の非負ベクトルとなり，仮定から$\mathit{u}-k{\mathit{u}}^{\prime }$は零ベクトルではない．

一方，$A$が成分が正の行列であることから$A(\mathit{u}-k{\mathit{u}}^{\prime })=\alpha (\mathit{u}-k{\mathit{u}}^{\prime })$は正ベクトルとなって，$\mathit{u}-k{\mathit{u}}^{\prime }$の成分に０があることに矛盾する．

よって，$\alpha$の固有空間の次元は１だから，$A$のジョルダン標準形の固有値$\alpha$に関するジョルダン細胞$J(\alpha )$の個数は１である．

もし，$J(\alpha )$の次数が２以上であれば，$\mathit{u}$が$A$の固有値$\alpha$に属する固有ベクトルであることから，$\mathit{w}\in {\mathbb{R}}^N$が存在して$A\mathit{w}=\alpha \mathit{w}+\mathit{u}$が成り立つ．よって，

となって矛盾するから，$J(\alpha )$の次数は１である．すなわち，$\alpha$の重複度は１である．

$A$の固有値$\mu$が正の固有ベクトル${\mathit{v}}^{\prime }$を持つとする．ステップ４での$A^T$の固有値$\alpha$の固有ベクトル$\mathit{v}$を考えると

である．$\mathit{v}$, ${\mathit{v}}^{\prime }$は共に正ベクトルだから，$⟨\mathit{v},{\mathit{v}}^{\prime }⟩>0$なので$⟨\mathit{v},{\mathit{v}}^{\prime }⟩\ne 0$である．よって，$\alpha =\mu$が成り立つ．

$\mathit{z}$を$A$の固有値$\beta$に属する固有ベクトルとする：$A\mathit{z}=\beta \mathit{z}$, $\mathit{z}\ne \mathbf{0}$．

このとき，$A\mathit{z}=\beta \mathit{z}$の第$i$成分について，三角不等式を用いると

だから，$A^T$の固有値$\alpha$に属する正の固有ベクトル$\mathit{v}$を用いると，

となる．$\mathit{z}\ne \mathbf{0}$と$\mathit{v}$が正ベクトルであることから$\sum _{i=1}^N[\mathit{v}{]}_i\left|[\mathit{z}{]}_i\right|\ne 0$なので$\alpha \ge |\beta |$が従う．

よって，あとは$\alpha \ne |\beta |$を示せばよく，これを背理法により示す．

もし$\alpha =|\beta |$であれば，$(\ast \ast )$で等号が成り立つから$(\ast )$でも等号が成り立つ．

一般に，複素数${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$に対して三角不等式$\left|\sum _{k=1}^n{\xi }_k\right|\le \sum _{k=1}^n|{\xi }_k|$で等号が成り立つのは$\arg {\xi }_1=\cdots =\arg {\xi }_n$の場合に限るから，$\mathit{z}$の各成分の偏角は全て等しい（ただし，偏角は$[-\pi ,pi)$の範囲で定めている）．

$\mathit{z}$の各成分の偏角を$\theta$とすると

だから，$\beta$は固有ベクトル$e^{-i\theta }\mathit{z}$を持つ．

また，$A$は成分が正の行列だから$A(e^{-i\theta }\mathit{z})$は正ベクトルなので，$e^{-i\theta }\mathit{z}$は正ベクトルだからステップ５から$\beta =\alpha$となる．

これは仮定$\beta \ne \alpha$に矛盾するから$\alpha =|\beta |$は誤りで$\alpha >|\beta |$が従う．