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Riesz-Thorinの複素補間定理とその証明

作用素の中でも,有界作用素は様々な良い性質をもつ.

作用素の有界性を保証する定理の一つとして,[Riesz(リース)-Thorin(ソリン,トーリン)の複素補間定理]がある.

[Riesz-Thorinの複素補間定理]は以下のように述べられる.

作用素$T$が$L^{p_0}$から$L^{q_0}$への有界作用素,かつ$L^{p_1}$から$L^{q_1}$への有界作用素でもあるとき,$T$は$L^{p_{\theta}}$から$L^{q_{\theta}}$への有界作用素となる.

ここに,$p_{\theta}$, $q_{\theta}$は次の通りである.

\begin{align*} p_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}}^{-1},\quad q_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1}}^{-1} \end{align*}

なお,座標平面上の点$(p_{\theta},q_{\theta})$は2点$(p_0,q_0)$, $(p_1,q_1)$を結ぶ線分の内分点である.

すなわち,ある2点$(p,q)=(p_0,q_0),(p_1,q_1)$で作用素$T$が$L^p$から$L^q$への有界作用素であれば,その2点を結ぶ線分上の任意の点$(p’,q’)$においても,$T$が$L^{p’}$から$L^{q’}$への有界作用素となる.

このように,ある2つの状況で成り立っており,それらの間でも成り立つことを保証する定理を補間定理という.

[Riesz-Thorinの複素補間定理]の証明には,[Hadamard-Phragmén-Lindelöfの三線定理]を用いる.

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三線定理

次の定理を[Hadamard-Phragmén-Lindelöfの三線定理]という.

[Hadamard-Phragmén-Lindelöfの三線定理] 複素関数$F$を

\begin{align*} S:=\set{x+yi\in\C}{x\in[0,1],y\in\R} \end{align*}

で連続かつ有界で,$S$の内部$S^{\circ}$で正則であるとする.$M_0,M_1>0$が

\begin{align*} M_0\le\sup_{y\in\R}|F(iy)|,\quad M_1\le\sup_{y\in\R}|F(1+iy)| \end{align*}

を満たすとすると,任意の$z=x+iy\in S^{\circ}$に対して,$|F(z)|\le M_0^{1-x}M_1^{x}$が成り立つ.

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$G(z):=\frac{F(z)}{M_0^{1-z}M_1^{z}}$とし,$n\in\N_{>0}$に対して,$G_n(z):=G(z)e^{(z^2-1)/n}$とする.

$G$が有界であることに注意すると,

\begin{align*} \sup_{x\in[0,1]}|G_n(x+iy)| =&\sup_{x\in[0,1]}|G(x+iy)|e^{-y^2/n} \\\to&0\quad(|y|\to\infty) \end{align*}

だから,$R>0$が存在して,$|y|\ge R$なら$\sup\limits_{x\in[0,1]}|G_n(x+iy)|\le1$を満たす.また,任意の$z=x+iy\in S$に対して,

\begin{align*} |G_n(z)| =&|G(z)e^{(x^2+ixy-y^2-1)/n}| \\=&|G(z)|e^{-y^2/n} \le|G(z)| \end{align*}

だから,

\begin{align*} \sup_{y\in\R}|G_n(iy)| \le&\sup_{y\in\R}|G(iy)| \\\le&\abs{\frac{F(iy)}{M_0}}\le1, \\\sup_{y\in\R}|G_n(1+iy)| \le&\sup_{y\in\R}|G(1+iy)| \\\le&\abs{\frac{F(1+iy)}{M_1}}\le1 \end{align*}

である.$G_n$は$S’:=\set{x+yi\in\C}{x\in[0,1],y\in[-R,R]}$上で連続,$S’$の内部で正則だから,最大絶対値の原理から

\begin{align*} \sup_{z\in S'}|G_n(z)|\le\sup_{z\in\partial S'}|G_n(z)|\le1 \end{align*}

を得る.以上より,任意の$z\in S$に対して,$|G_n(z)|\le1$だから,$|G(z)|=\lim\limits_{n\to\infty}|G_n(z)|\le1$が従う.よって,

\begin{align*} \abs{\frac{F(z)}{M_0^{1-z}M_1^{z}}}\le1 \iff |F(z)|\le M_0^{1-x}M_1^{x} \end{align*}

が従う.

Riesz-Thorinの補間定理

[三線定理]を用いて,次の[Riesz-Thorinの補間定理]を示す.

[Riesz-Thorinの補間定理] $p_0,q_0,p_0,q_0\ge1$は$p_0\neq p_1$, $q_0\neq q_1$を満たすとし,$(X,\mathcal{A},\mu)$, $(Y,\mathcal{B},\nu)$を測度空間とする.

さらに,

  • 作用素$T$は$L^{p_0}(X)$から$L^{q_0}(Y)$への有界作用素で,このときの作用素ノルムは$M_0$
  • 作用素$T$は$L^{p_1}(X)$から$L^{q_1}(Y)$への有界作用素で,このときの作用素ノルムは$M_1$

を満たすとする.このとき,任意の$\theta\in(0,1)$に対して,$p_{\theta}$, $q_{\theta}$を

\begin{align*} p_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}}^{-1},\quad q_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1}}^{-1} \end{align*}

と定めると,$T$は$L^{p_{\theta}}(X)$から$L^{q_{\theta}}(Y)$への有界作用素で,このときの作用素ノルム$M_{\theta}$は$M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}$以下である.

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[Riesz-Thorinの補間定理]は自由Schrödinger発展作用素の[分散型評価]や[Strichartz評価]の証明に[Riesz-Thorinの補間定理]の応用がある.

任意に$\theta\in(0,1)$をとる.$X$上の単関数$f$と$Y$上の単関数$g$で,$\|f\|_{p_{\theta}}=\|g\|_{q_{\theta}}=1$を満たすものをそれぞれ$f=\dsum_{j} a_jI_{X_j}$, $g=\dsum_{k} a_kI_{Y_k}$とする.

また,$p_{\theta}’,q_{\theta}’,p_{z},q_{z}’\ge1$を

\begin{align*} &p_{\theta}':=\bra{1-\frac{1}{p_{\theta}}}^{-1},\quad q_{\theta}':=\bra{1-\frac{1}{q_{\theta}}}^{-1}, \\&p_{z}:=\bra{\frac{1-z}{p_0}+\frac{z}{p_1}}^{-1},\quad q_{z}':=\bra{\frac{1-z}{q_0'}+\frac{z}{q_1'}}^{-1} \end{align*}

で定める.さらに,$S:=\{z\in\C|\Re{z}\in[0,1]\}$とし,$X\times S$上の関数$\phi$と$Y\times S$上の関数$\psi$をそれぞれ

\begin{align*} &\phi(x,z):=\sum_j|a_j|^{p_{\theta}/p_{z}}e^{i\arg{a_j}}I_{X_j}(x), \\&\psi(y,z):=\sum_k|b_k|^{q_{\theta}'/q_{z}'}e^{i\arg{b_k}}I_{Y_k}(y) \end{align*}

で定め,$S$上の関数$F$を

\begin{align*} F(z):=\anb{T(\phi(\cdot,z)),\psi(\cdot,z)}=\dint_{Y}T(\phi(\cdot,z))(y)\psi(y,z)\,dy \end{align*}

で定める.このとき,$T$と積分の線型性より,

\begin{align*} F(z):=\sum_{j,k}|a_j|^{p_{\theta}/p_{z}}|b_k|^{q_{\theta}'/q_{z}'}e^{i(\arg{a_j}+\arg{b_k})}\anb{TI_{X_j},I_{Y_k}} \end{align*}

であって,各$k,j$に対して

\begin{align*} &|a_j|^{p_{\theta}/p_{z}}=|a_j|^{p_{\theta}\bra{\frac{1-z}{p_0}+\frac{z}{p_1}}}, \\&|b_k|^{q_{\theta}'/q_{z}'}=|b_j|^{q_{\theta}'\bra{\frac{1-z}{q_0'}+\frac{z}{p_1'}}} \end{align*}

だから,$F$は$S$上連続で,$S$の内部で正則である.また,任意の$y\in\R$に対して,

\begin{align*} \|\phi(\cdot,iy)\|_{p_0} =&\Big\|\sum_j|a_j|^{p_{\theta}/p_{iy}}I_{X_j}\Big\|_{p_0} \\=&\Big\||f|^{p_{\theta}\left(\frac{1-iy}{p_0}+\frac{iy}{p_1}\right)}\Big\|_{p_0} \\=&\||f|^{p_{\theta}/p_0}\|_{p_0} =\|f\|_{p_{\theta}}^{p_{\theta}/p_0} =1, \\\|\psi(\cdot,iy)\|_{q_0'} =&\Big\|\sum_k|b_k|^{q_{\theta}'/q_{iy}'}I_{Y_j}\Big\|_{q_0'} \\=&\Big\||f|^{q_{\theta}'\left(\frac{1-iy}{q_0'}+\frac{iy}{q_1'}\right)}\Big\|_{q_0'} \\=&\||f|^{q_{\theta}'/q_0'}\|_{q_0'} =\|f\|_{q_{\theta}'}^{q_{\theta}'/q_0'} =1, \\\|\phi(\cdot,1+iy)\|_{p_1} =&\Big\|\sum_j|a_j|^{p_{\theta}/p_{1+iy}}I_{X_j}\Big\|_{p_1} \\=&\Big\||f|^{p_{\theta}\left(\frac{1-(1+iy)}{p_0}+\frac{1+iy}{p_1}\right)}\Big\|_{p_1} \\=&\||f|^{p_{\theta}/p_1}\|_{p_1} =\|f\|_{p_{\theta}}^{p_{\theta}/p_1} =1 \\\|\psi(\cdot,1+iy)\|_{q_1'} =&\Big\|\sum_k|b_k|^{q_{\theta}'/q_{1+iy}'}I_{Y_j}\Big\|_{q_1'} \\=&\Big\||f|^{q_{\theta}'\left(\frac{1-(1+iy)}{q_0'}+\frac{1+iy}{q_1'}\right)}\Big\|_{q_1'} \\=&\||f|^{q_{\theta}'/q_1'}\|_{q_1'} =\|f\|_{q_{\theta}'}^{q_{\theta}'/q_1'} =1 \end{align*}

だから,

\begin{align*} |F(iy)| \le&\|T\phi(\cdot,iy)\|_{q_0}\|\psi(\cdot,iy)\|_{q_0'} \\\le& M_0\|\phi(\cdot,iy)\|_{p_0}\|\psi(\cdot,iy)\|_{q_0'} \\=& M_0, \\|F(1+iy)| \le&\|T\phi(\cdot,1+iy)\|_{q_1}\|\psi(\cdot,1+iy)\|_{q_1'} \\\le& M_1\|\phi(\cdot,1+iy)\|_{p_1}\|\psi(\cdot,1+iy)\|_{q_1'} \\=& M_1 \end{align*}

が成り立つ.よって,三線定理から,任意の$z=x+iy\in S^{\circ}$に対して,

\begin{align*} |\anb{Tf,g}| =&|\anb{T\phi(\cdot,\theta),\psi(\cdot,\theta)}| \\=&|F(\theta)| \le M_0^{1-\theta}M_1^{\theta} \end{align*}

が従う.単関数近似により,$\|f\|_{p_{\theta}}=\|g\|_{q_{\theta}}=1$を満たす任意の$f\in L^{p_{\theta}},g\in L^{q_{\theta}}$に対しても,$|\anb{Tf,g}|\le M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}$が成り立つ.

したがって,双対性より

\begin{align*} \|T\| =&\sup\limits_{\|f\|_{p_{\theta}}=1}\|Tf\|_{q_{\theta}} \\=&\sup\limits_{\|f\|_{p_{\theta}}=\|g\|_{q_{\theta}}=1}|\anb{Tf,g}| \\\le& M_0^{1-\theta}M_1^{\theta} \end{align*}

が従う.

参考文献

「非線形発展方程式の実解析的方法」(小川卓克 著,丸善出版(シュプリンガー現代数学シリーズ))

非線形発展方程式について議論するには,Lebesgue空間$L^p(\R^d)$,Sobolev空間$W^{k,p}(\R^d)$, $H^{s}_p(\R^d)$,Besov空間$B^{s}_{p,\sigma}$といった解を考えるための種々の関数空間を理解することが重要です.

本書は関数空間に関する予備知識をじっくりと準備し,

  • 波動方程式
  • 熱方程式
  • Schrödinger方程式
  • Navier-Stokes方程式

といった非線形発展方程式を考えていきます.

本書の特徴は,様々な非線形発展方程式を広く扱っている点と,証明へのアプローチを説明して直感的な理解を促しているです.

本書が全19章と多くの章から構成されていることからも,広くトピックを扱っていることが見てとれますね.

誤植が多いのが1つ残念な点ではありますが,これほどに広く丁寧に非線形発展方程式を扱っている和書は他に見当たらず,この分野の基礎や考え方をカバーするには良い教科書と言えます.

最後までありがとうございました!

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