【SPONSORED LINK】

リース-ソリンの複素補間定理とその証明

      

作用素の中でも,有界作用素は様々な良い性質をもつ.

作用素の有界性を保証する定理の一つとして,[Riesz(リース)-Thorin(ソリン)の複素補間定理]がある.

[Riesz-Thorinの複素補間定理]は以下のように述べられる.

作用素TL^{p_{0}}からL^{q_{0}}への有界作用素,かつL^{p_{1}}からL^{q_{1}}への有界作用素でもあるとき,TL^{p_{\theta}}からL^{q_{\theta}}への有界作用素となる.

ここに,p_{\theta},q_{\theta}は次の通りである.

p_{\theta}:=\left(\dfrac{1-\theta}{p_{0}}+\dfrac{\theta}{p_{1}}\right)^{-1}q_{\theta}:=\left(\dfrac{1-\theta}{q_{0}}+\dfrac{\theta}{q_{1}}\right)^{-1}

[Riesz-Thorinの複素補間定理]の証明には,[Hadamard-Phragmén-Lindelöfの三線定理]を用いる.

【SPONSORED LINK】

三線定理

次の定理を[Hadamard-Phragmén-Lindelöfの三線定理]という.

[Hadamard-Phragmén-Lindelöfの三線定理] FS:=\set{z\in\C}{\mrm{Re}z\in[0,1]}で連続かつ有界で,Sの内部S^{\circ}で正則な関数とする.M_{0},M_{1}>0

M_{0}\le\sup\limits_{y\in\R}|F(iy)|M_{1}\le\sup\limits_{y\in\R}|F(1+iy)|

を満たすとすると,任意のz=x+iy\in S^{\circ}に対して,|F(z)|\le M_{0}^{1-x}M_{1}^{x}が成り立つ.

[証明]

G(z):=\f{F(z)}{M_{0}^{1-z}M_{1}^{z}}とし,n\in\N_{>0}に対して,G_{n}(z):=G(z)e^{(z^{2}-1)/n}とする.

Gが有界であることに注意すると,

\sup\limits_{x\in[0,1]}|G_{n}(x+iy)| =\sup\limits_{x\in[0,1]}|G(x+iy)|e^{-y^{2}/n} \xrightarrow[]{|y|\to\infty}0

だから,R>0が存在して,|y|\ge Rなら\sup\limits_{x\in[0,1]}|G_{n}(x+iy)|\le1を満たす.また,任意のz=x+iy\in Sに対して,

|G_{n}(z)|=|G(z)e^{(x^{2}+ixy-y^{2}-1)/n}|=|G(z)|e^{-y^{2}/n}\le|G(z)|

だから,

\sup\limits_{y\in\R}|G_{n}(iy)|\le\sup\limits_{y\in\R}|G(iy)|\le\abs{f{F(iy)}{M_{0}}}\le1
\sup\limits_{y\in\R}|G_{n}(1+iy)|\le\sup\limits_{y\in\R}|G(1+iy)|\le\abs{\f{F(1+iy)}{M_{1}}}\le1

である.G_{n}S':=\set{z\in\C}{\mrm{Re}z\in[0,1],\mrm{Im}z\in[-R,R]}上で連続,S'の内部で正則だから,最大絶対値の原理から

\sup\limits_{z\in S'}|G_{n}(z)|\le\sup\limits_{z\in\partial S'}|G_{n}(z)|\le1

を得る.以上より,任意のz\in Sに対して,|G_{n}(z)|\le1だから,|G(z)|=\li_{n\to\infty}|G_{n}(z)|\le1が従う.よって,

|F(z)|\le M_{0}^{1-z}M_{1}^{z}=M_{0}^{1-x}M_{1}^{x}

が従う.

[証明終]

Riesz-Thorinの補間定理

[三線定理]を用いて,次の[Riesz-Thorinの補間定理]を示す.

[Riesz-Thorinの補間定理] p_{i},q_{i}\ge1\ (i=0,1)p_{0}\neq p_{1},q_{0}\neq q_{1}を満たすとし,(X,\mathcal{A},\mu),(Y,\mathcal{B},\nu)を測度空間とする.さらに,i=0,1に対して,TL^{p_{i}}(X)からL^{q_{i}}(Y)への有界作用素とし,作用素ノルムをM_{i}とする.

このとき,任意の\theta\in(0,1)に対して,p_{\theta},q_{\theta}

p_{\theta}:=\bra{\dfrac{1-\theta}{p_{0}}+\dfrac{\theta}{p_{1}}}^{-1}q_{\theta}:=\bra{\dfrac{1-\theta}{q_{0}}+\dfrac{\theta}{q_{1}}}^{-1}

と定めると,TL^{p_{\theta}}(X)からL^{q_{\theta}}(Y)への有界作用素で,このときの作用素ノルムM_{\theta}M_{0}^{1-\theta}M_{1}^{\theta}以下である.

例えば,自由Schrödinger発展作用素の[分散型評価]や[Strichartz評価]の証明に[Riesz-Thorinの補間定理]の応用がある.

【参考記事:シュレディンガー発展作用素の分散評価とストリッカーツ評価

[証明]

任意に\theta\in(0,1)をとる.X上の単関数fY上の単関数gで,\|f\|_{p_{\theta}}=\|g\|_{q_{\theta}}=1を満たすものをそれぞれf=\displaystyle\sum_{j}a_{j}I_{X_{j}}g=\displaystyle\sum_{k}a_{k}I_{Y_{k}}とする.

また,p_{\theta}',q_{\theta}',p_{z},q_{z}'\ge1

p_{\theta}':=\bra{1-\f{1}{p_{\theta}}}^{-1}q_{\theta}':=\bra{1-\f{1}{q_{\theta}}}^{-1}
p_{z}:=\bra{\f{1-z}{p_{0}}+\f{z}{p_{1}}}^{-1}q_{z}':=\bra{\f{1-z}{q_{0}'}+\f{z}{q_{1}'}}^{-1}

で定める.さらに,S:=\{z\in\C|\mathrm{Re}z\in[0,1]\}とし,X\times S上の関数\phiY\times S上の関数\psiをそれぞれ

\phi(x,z):=\dsum_{j}|a_{j}|^{p_{\theta}/p_{z}}e^{i\arg{a_{j}}}I_{X_{j}}(x)
\psi(y,z):=\dsum_{k}|b_{k}|^{q_{\theta}'/q_{z}'}e^{i\arg{b_{k}}}I_{Y_{k}}(y)

で定め,S上の関数F

F(z):=\anb{T(\phi(\cdot,z)),\psi(\cdot,z)}=\dint_{Y}T(\phi(\cdot,z))(y)\psi(y,z)\,dy

で定める.このとき,Tと積分の線型性より,

F(z):=\dsum_{j,k}|a_{j}|^{p_{\theta}/p_{z}}|b_{k}|^{q_{\theta}'/q_{z}'}e^{i(\arg{a_{j}}+\arg{b_{k}})} \anb{TI_{X_{j}},I_{Y_{k}}}

であって,各k,jに対して

|a_{j}|^{p_{\theta}/p_{z}}=|a_{j}|^{p_{\theta}\bra{\frac{1-z}{p_{0}}+\f{z}{p_{1}}}}|b_{k}|^{q_{\theta}'/q_{z}'}=|b_{j}|^{q_{\theta}'\bra{\frac{1-z}{q_{0}'}+\f{z}{p_{1}'}}}

だから,FS上連続で,Sの内部で正則である.また,任意のy\in\Rに対して,

\|\phi(\cdot,iy)\|_{p_{0}}
=\Big\|\sum_{j}|a_{j}|^{p_{\theta}/p_{iy}}I_{X_{j}}\Big\|_{p_{0}} =\Big\||f|^{p_{\theta}\left(\frac{1-iy}{p_{0}}+\frac{iy}{p_{1}}\right)}\Big\|_{p_{0}}
=\||f|^{p_{\theta}/p_{0}}\|_{p_{0}} =\|f\|_{p_{\theta}}^{p_{\theta}/p_{0}} =1

\|\psi(\cdot,iy)\|_{q_{0}'}
=\Big\|\sum_{k}|b_{k}|^{q_{\theta}'/q_{iy}'}I_{Y_{j}}\Big\|_{q_{0}'} =\Big\||f|^{q_{\theta}'\left(\frac{1-iy}{q_{0}'}+\frac{iy}{q_{1}'}\right)}\Big\|_{q_{0}'}
=\||f|^{q_{\theta}'/q_{0}'}\|_{q_{0}'} =\|f\|_{q_{\theta}'}^{q_{\theta}'/q_{0}'} =1

\|\phi(\cdot,1+iy)\|_{p_{1}}
=\Big\|\sum_{j}|a_{j}|^{p_{\theta}/p_{1+iy}}I_{X_{j}}\Big\|_{p_{1}} =\Big\||f|^{p_{\theta}\left(\frac{1-(1+iy)}{p_{0}}+\frac{1+iy}{p_{1}}\right)}\Big\|_{p_{1}}
=\||f|^{p_{\theta}/p_{1}}\|_{p_{1}} =\|f\|_{p_{\theta}}^{p_{\theta}/p_{1}} =1

\|\psi(\cdot,1+iy)\|_{q_{1}'}
=\Big\|\sum_{k}|b_{k}|^{q_{\theta}'/q_{1+iy}'}I_{Y_{j}}\Big\|_{q_{1}'} =\Big\||f|^{q_{\theta}'\left(\frac{1-(1+iy)}{q_{0}'}+\frac{1+iy}{q_{1}'}\right)}\Big\|_{q_{1}'}
=\||f|^{q_{\theta}'/q_{1}'}\|_{q_{1}'} =\|f\|_{q_{\theta}'}^{q_{\theta}'/q_{1}'} =1

だから,

|F(iy)|
\le\|T\phi(\cdot,iy)\|_{q_{0}}\|\psi(\cdot,iy)\|_{q_{0}'}
\le M_{0}\|\phi(\cdot,iy)\|_{p_{0}}\|\psi(\cdot,iy)\|_{q_{0}'} \le M_{0}

|F(1+iy)|
\le\|T\phi(\cdot,1+iy)\|_{q_{1}}\|\psi(\cdot,1+iy)\|_{q_{1}'}
\le M_{1}\|\phi(\cdot,1+iy)\|_{p_{1}}\|\psi(\cdot,1+iy)\|_{q_{1}'} \le M_{1}

が成り立つ.よって,三線定理から,任意のz=x+iy\in S^{\circ}に対して,

|\anb{Tf,g}| =|\anb{T\phi(\cdot,\theta),\psi(\cdot,\theta)}|
=|F(\theta)| \le M_{0}^{1-\theta}M_{1}^{\theta}

が従う.単関数近似により,\|f\|_{p_{\theta}}=\|g\|_{q_{\theta}}=1を満たす任意のf\in L^{p_{\theta}},g\in L^{q_{\theta}}に対しても,|\anb{Tf,g}|\le M_{0}^{1-\theta}M_{1}^{\theta}が成り立つ.

したがって,双対性より

\|T\| =\sup\limits_{\|f\|_{p_{\theta}}=1}\|Tf\|_{q_{\theta}}
=\sup\limits_{\|f\|_{p_{\theta}}=\|g\|_{q_{\theta}}=1}|\anb{Tf,g}|
\le M_{0}^{1-\theta}M_{1}^{\theta}

が従う.

[証明終]

参考文献

以下は参考文献である.

  • 「非線形発展方程式の実解析的方法」(小川卓克 著,丸善出版(シュプリンガー現代数学シリーズ))
  • “Introduction to Nonlinear Dispersive Equations”(Felipe Linares, Gustavo Ponce 著,Springer)

関連記事

【良いと思ったらシェアを!】

最後まで読んでいただきありがとうございました!

良ければシェアボタンから共有をお願いします!

コメント

コメントを残す

*

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください