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リース・ソリンの複素補間定理とその証明

作用素の中でも,有界作用素は様々な良い性質をもつ.

作用素の有界性を保証する定理の一つとして,[Riesz(リース)-Thorin(ソリン)の複素補間定理]がある.

[Riesz-Thorinの複素補間定理]は以下のように述べられる.

作用素TL^{p_0}からL^{q_0}への有界作用素,かつL^{p_1}からL^{q_1}への有界作用素でもあるとき,TL^{p_{\theta}}からL^{q_{\theta}}への有界作用素となる.

ここに,p_{\theta}, q_{\theta}は次の通りである.

\begin{align*} p_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}}^{-1},\quad q_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1}}^{-1} \end{align*}

なお,座標平面上の点(p_{\theta},q_{\theta})は2点(p_0,q_0), (p_1,q_1)を結ぶ線分の内分点である.

すなわち,ある2点(p,q)=(p_0,q_0),(p_1,q_1)で作用素TL^pからL^qへの有界作用素であれば,その2点を結ぶ線分上の任意の点(p',q')においても,TL^{p'}からL^{q'}への有界作用素となる.

このように,ある2つの状況で成り立っており,それらの間でも成り立つことを保証する定理を補間定理という.

[Riesz-Thorinの複素補間定理]の証明には,[Hadamard-Phragmén-Lindelöfの三線定理]を用いる.

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三線定理

次の定理を[Hadamard-Phragmén-Lindelöfの三線定理]という.

[Hadamard-Phragmén-Lindelöfの三線定理] FS:=\set{z\in\C}{\mrm{Re}z\in[0,1]}で連続かつ有界で,Sの内部S^{\circ}で正則な関数とする.M_0,M_1>0

\begin{align*} M_0\le\sup_{y\in\R}|F(iy)|,\quad M_1\le\sup_{y\in\R}|F(1+iy)| \end{align*}

を満たすとすると,任意のz=x+iy\in S^{\circ}に対して,|F(z)|\le M_0^{1-x}M_1^{x}が成り立つ.

[証明]

G(z):=\frac{F(z)}{M_0^{1-z}M_1^{z}}とし,n\in\N_{>0}に対して,G_n(z):=G(z)e^{(z^2-1)/n}とする.

Gが有界であることに注意すると,

\begin{align*} \sup_{x\in[0,1]}|G_n(x+iy)| =\sup_{x\in[0,1]}|G(x+iy)|e^{-y^2/n} \xrightarrow[]{|y|\to\infty}0 \end{align*}

だから,R>0が存在して,|y|\ge Rなら\sup\limits_{x\in[0,1]}|G_n(x+iy)|\le1を満たす.また,任意のz=x+iy\in Sに対して,

\begin{align*} |G_n(z)| =|G(z)e^{(x^2+ixy-y^2-1)/n}| =|G(z)|e^{-y^2/n} \le|G(z)| \end{align*}

だから,

\begin{align*} &\sup_{y\in\R}|G_n(iy)|\le\sup_{y\in\R}|G(iy)|\le\abs{f{F(iy)}{M_0}}\le1, \\&\sup_{y\in\R}|G_n(1+iy)|\le\sup_{y\in\R}|G(1+iy)|\le\abs{\frac{F(1+iy)}{M_1}}\le1 \end{align*}

である.G_nS':=\set{z\in\C}{\Re{z}\in[0,1],Im{z}\in[-R,R]}上で連続,S'の内部で正則だから,最大絶対値の原理から

\begin{align*} \sup_{z\in S'}|G_n(z)|\le\sup_{z\in\partial S'}|G_n(z)|\le1 \end{align*}

を得る.以上より,任意のz\in Sに対して,|G_n(z)|\le1だから,|G(z)|=\lim\limits_{n\to\infty}|G_n(z)|\le1が従う.よって,

\begin{align*} |F(z)|\le M_0^{1-z}M_1^{z}=M_0^{1-x}M_1^{x} \end{align*}

が従う.

[証明終]

Riesz-Thorinの補間定理

[三線定理]を用いて,次の[Riesz-Thorinの補間定理]を示す.

[Riesz-Thorinの補間定理] p_i,q_i\ge1 (i=0,1)はp_0\neq p_1, q_0\neq q_1を満たすとし,(X,\mathcal{A},\mu), (Y,\mathcal{B},\nu)を測度空間とする.さらに,i=0,1に対して,TL^{p_i}(X)からL^{q_i}(Y)への有界作用素とし,作用素ノルムをM_iとする.

このとき,任意の\theta\in(0,1)に対して,p_{\theta}, q_{\theta}

\begin{align*} p_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}}^{-1},\quad q_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1}}^{-1} \end{align*}

と定めると,TL^{p_{\theta}}(X)からL^{q_{\theta}}(Y)への有界作用素で,このときの作用素ノルムM_{\theta}M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}以下である.

例えば,自由Schrödinger発展作用素の[分散型評価]や[Strichartz評価]の証明に[Riesz-Thorinの補間定理]の応用がある.

【参考記事:シュレディンガー発展作用素の分散評価とストリッカーツ評価

[証明]

任意に\theta\in(0,1)をとる.X上の単関数fY上の単関数gで,\|f\|_{p_{\theta}}=\|g\|_{q_{\theta}}=1を満たすものをそれぞれf=\dsum_{j} a_jI_{X_j}, g=\dsum_{k} a_kI_{Y_k}とする.

また,p_{\theta}',q_{\theta}',p_{z},q_{z}'\ge1

\begin{align*} &p_{\theta}':=\bra{1-\frac{1}{p_{\theta}}}^{-1},\quad q_{\theta}':=\bra{1-\frac{1}{q_{\theta}}}^{-1}, \\&p_{z}:=\bra{\frac{1-z}{p_0}+\frac{z}{p_1}}^{-1},\quad q_{z}':=\bra{\frac{1-z}{q_0'}+\frac{z}{q_1'}}^{-1} \end{align*}

で定める.さらに,S:=\{z\in\C|\Re{z}\in[0,1]\}とし,X\times S上の関数\phiY\times S上の関数\psiをそれぞれ

\begin{align*} &\phi(x,z):=\sum_j|a_j|^{p_{\theta}/p_{z}}e^{i\arg{a_j}}I_{X_j}(x), \\&\psi(y,z):=\sum_k|b_k|^{q_{\theta}'/q_{z}'}e^{i\arg{b_k}}I_{Y_k}(y) \end{align*}

で定め,S上の関数F

\begin{align*} F(z):=\anb{T(\phi(\cdot,z)),\psi(\cdot,z)}=\dint_{Y}T(\phi(\cdot,z))(y)\psi(y,z)\,dy \end{align*}

で定める.このとき,Tと積分の線型性より,

\begin{align*} F(z):=\sum_{j,k}|a_j|^{p_{\theta}/p_{z}}|b_k|^{q_{\theta}'/q_{z}'}e^{i(\arg{a_j}+\arg{b_k})}\anb{TI_{X_j},I_{Y_k}} \end{align*}

であって,各k,jに対して

\begin{align*} &|a_j|^{p_{\theta}/p_{z}}=|a_j|^{p_{\theta}\bra{\frac{1-z}{p_0}+\frac{z}{p_1}}}, \\&|b_k|^{q_{\theta}'/q_{z}'}=|b_j|^{q_{\theta}'\bra{\frac{1-z}{q_0'}+\frac{z}{p_1'}}} \end{align*}

だから,FS上連続で,Sの内部で正則である.また,任意のy\in\Rに対して,

\begin{align*} \|\phi(\cdot,iy)\|_{p_0} =&\Big\|\sum_j|a_j|^{p_{\theta}/p_{iy}}I_{X_j}\Big\|_{p_0} \\=&\Big\||f|^{p_{\theta}\left(\frac{1-iy}{p_0}+\frac{iy}{p_1}\right)}\Big\|_{p_0} \\=&\||f|^{p_{\theta}/p_0}\|_{p_0} =\|f\|_{p_{\theta}}^{p_{\theta}/p_0} =1, \\\|\psi(\cdot,iy)\|_{q_0'} =&\Big\|\sum_k|b_k|^{q_{\theta}'/q_{iy}'}I_{Y_j}\Big\|_{q_0'} \\=&\Big\||f|^{q_{\theta}'\left(\frac{1-iy}{q_0'}+\frac{iy}{q_1'}\right)}\Big\|_{q_0'} \\=&\||f|^{q_{\theta}'/q_0'}\|_{q_0'} =\|f\|_{q_{\theta}'}^{q_{\theta}'/q_0'} =1, \\\|\phi(\cdot,1+iy)\|_{p_1} =&\Big\|\sum_j|a_j|^{p_{\theta}/p_{1+iy}}I_{X_j}\Big\|_{p_1} \\=&\Big\||f|^{p_{\theta}\left(\frac{1-(1+iy)}{p_0}+\frac{1+iy}{p_1}\right)}\Big\|_{p_1} \\=&\||f|^{p_{\theta}/p_1}\|_{p_1} =\|f\|_{p_{\theta}}^{p_{\theta}/p_1} =1 \\\|\psi(\cdot,1+iy)\|_{q_1'} =&\Big\|\sum_k|b_k|^{q_{\theta}'/q_{1+iy}'}I_{Y_j}\Big\|_{q_1'} \\=&\Big\||f|^{q_{\theta}'\left(\frac{1-(1+iy)}{q_0'}+\frac{1+iy}{q_1'}\right)}\Big\|_{q_1'} \\=&\||f|^{q_{\theta}'/q_1'}\|_{q_1'} =\|f\|_{q_{\theta}'}^{q_{\theta}'/q_1'} =1 \end{align*}

だから,

\begin{align*} |F(iy)| \le&\|T\phi(\cdot,iy)\|_{q_0}\|\psi(\cdot,iy)\|_{q_0'} \\\le& M_0\|\phi(\cdot,iy)\|_{p_0}\|\psi(\cdot,iy)\|_{q_0'} \\=& M_0, \\|F(1+iy)| \le&\|T\phi(\cdot,1+iy)\|_{q_1}\|\psi(\cdot,1+iy)\|_{q_1'} \\\le& M_1\|\phi(\cdot,1+iy)\|_{p_1}\|\psi(\cdot,1+iy)\|_{q_1'} \\=& M_1 \end{align*}

が成り立つ.よって,三線定理から,任意のz=x+iy\in S^{\circ}に対して,

\begin{align*} |\anb{Tf,g}| =&|\anb{T\phi(\cdot,\theta),\psi(\cdot,\theta)}| \\=&|F(\theta)| \le M_0^{1-\theta}M_1^{\theta} \end{align*}

が従う.単関数近似により,\|f\|_{p_{\theta}}=\|g\|_{q_{\theta}}=1を満たす任意のf\in L^{p_{\theta}},g\in L^{q_{\theta}}に対しても,|\anb{Tf,g}|\le M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}が成り立つ.

したがって,双対性より

\begin{align*} \|T\| =&\sup\limits_{\|f\|_{p_{\theta}}=1}\|Tf\|_{q_{\theta}} \\=&\sup\limits_{\|f\|_{p_{\theta}}=\|g\|_{q_{\theta}}=1}|\anb{Tf,g}| \\\le& M_0^{1-\theta}M_1^{\theta} \end{align*}

が従う.

[証明終]

参考文献

以下は参考文献である.

  • 「非線形発展方程式の実解析的方法」(小川卓克 著,丸善出版(シュプリンガー現代数学シリーズ))
  • “Introduction to Nonlinear Dispersive Equations”(Felipe Linares, Gustavo Ponce 著,Springer)

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