2016大学院入試｜京都大学 数学・数理解析専攻｜専門科目

$A\subset X$に対して$\mathbb{I}_A:X\to\R$を$A$の定義関数とする．すなわち，

\begin{align*}\mathbb{I}_A(x)=\begin{cases}1,&x\in A,\\0,&x\notin A\end{cases}\end{align*}

とする．

(1)の解答

$\epsilon>0$を任意にとる．条件(A)より，ある$R>0$が存在して

\begin{align*}\sup_{n\in\N}\int_{\{|f_n|\ge R\}}|f_n(x)|\,d\mu<\epsilon\end{align*}

が成り立つ．また，条件(B)より，$\mu(E_*)<\infty$を満たす$E_*\in\mathcal{F}$が存在して

\begin{align*}\sup_{n\in\N}\int_{X\setminus E_*}|f_n(x)|\,d\mu<\epsilon\end{align*}

が成り立つ．また，上の$R$に対して$E_n:=\set{x\in E_*}{|f_n(x)|<R}$と定める．このとき，$n\in\N$として

• 仮定$(*)$より，$\mu$に関して$E_*$上ほとんど至るところで$\lim\limits_{n\to\infty}|f_n\mathbb{I}_{E_n}|=0$
• $E_*$上で$|f_n\mathbb{I}_{E_n}|\le R$
• $\dint_{E_*}R\,d\mu=R\mu(E_*)<\infty$

が成り立つから，ルベーグの収束定理が適用できて

\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\int_{E_n}|f_n(x)|\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_{E_*}|f_n(x)\mathbb{I}_{E_n}(x)|\,d\mu=0\end{align*}

が成り立つ．したがって，

\begin{align*}&\limsup_{n\to\infty}\int_{X}|f_n(x)|\,d\mu
\\&=\limsup_{n\to\infty}\bra{\int_{X\setminus E_n}|f_n(x)|\,d\mu+\int_{E_n}|f_n(x)|\,d\mu}
\\&=\limsup_{n\to\infty}\int_{X\setminus E_n}|f_n(x)|\,d\mu
\\&=\limsup_{n\to\infty}\bra{\int_{X\setminus E_*}|f_n(x)|\,d\mu+\int_{E_*\setminus E_n}|f_n(x)|\,d\mu}
\\&\le\sup_{n\in\N}\int_{X\setminus E_*}|f_n(x)|\,d\mu+\sup_{n\in\N}\int_{E_*\setminus E_n}|f_n(x)|\,d\mu
\\&<\epsilon+\epsilon =2\epsilon\end{align*}

となるから，$\epsilon$の任意性より$\limsup\limits_{n\to\infty}\dint_{X}|f_n(x)|\,d\mu=0$を得る．よって，$|f_{n}|\ge0$と併せて

\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\dint_{X}|f_n(x)|\,d\mu=0\end{align*}

を得る．

(2)の解答

任意に$\epsilon>0$をとる．条件(C)より，ある$N\in\N$が存在して，$n>N$なら

\begin{align}\label{eq:(ii)}\tag{$\star$}
\int_{X}|f_n(x)|\,d\mu<\epsilon\end{align}

が成り立つ．

［１］$n>N$のとき，不等式\eqref{eq:(ii)}より，任意の$\lambda>0$に対して

\begin{align*}\int_{\{|f_{n}|\ge\lambda\}}|f_n(x)|\,d\mu\le\int_{X}|f_n(x)|\,d\mu<\epsilon\end{align*}

が成り立つ．

［２］$n\le N$のとき，$\lambda>0$として

• 条件$(*)$より$f_n\in L^{1}(X)$だから，$\mu$に関して$X$上ほとんど至るところで$\lim\limits_{\lambda\to\infty}|f_n|\mathbb{I}_{\{|f_n|\ge\lambda\}}=0$
• $X$上で$|f_n|\mathbb{I}_{\{|f_n|\ge\lambda\}}\le|f_n|$
• 条件$(*)$より$|f_n|$は$X$上可積分

が成り立つから，ルベーグの収束定理が適用できて

\begin{align*}\lim_{\lambda\to\infty}\int_{\{|f_n|\ge\lambda\}}|f_n(x)|\,d\mu
=\lim_{\lambda\to\infty}\int_{X}|f_n(x)|\mathbb{I}_{\{|f_n|\ge\lambda\}}\,d\mu =0\end{align*}

が成り立つ．すなわち，ある$R_n>0$が存在して，$\lambda>R_n$なら

\begin{align*}\int_{\{|f_n|\ge\lambda\}}|f_n(x)|\,d\mu<\epsilon\end{align*}

が成り立つ．

［１］，［２］を併せて，$\lambda>\max\{R_1,\dots,R_N\}$なら

\begin{align*}\sup_{n\in\N}\int_{\{|f_n|\ge\lambda\}}|f_n(x)|\,d\mu<\epsilon\end{align*}

が従う．すなわち，条件(A)が成り立つ．

(3)の解答

任意に$\epsilon>0$をとる．条件(C)より，ある$N\in\N$が存在して，$n>N$なら(2)と同じ不等式\eqref{eq:(ii)}が成り立つ．また，$(X,\mathcal{F},\mu)$が$\sigma$-有限測度空間だから，$\mathcal{F}$上の列$\{X_k\}_{k\in\N}$が存在して

\begin{align*}X_k\subset X_{k+1},\quad
\mu(X_k)<\infty,\quad
X=\bigcup_{k\in\N}X_k\end{align*}

をみたす．

［１］$n>N$のとき，不等式\eqref{eq:(ii)}より，任意の$k\in\N$に対して

\begin{align*}\int_{X\setminus X_k}|f_n(x)|\,d\mu\le\int_{X}|f_n(x)|\,d\mu<\epsilon\end{align*}

が成り立つ．

［２］$n\le N$のとき，$k\in\N$として

• $X$上で$\lim\limits_{k\to\infty}|f_n|\mathbb{I}_{X\setminus X_k}=0$
• $X$上で$|f_n|\mathbb{I}_{X\setminus X_k}\le|f_n|$
• 条件$(*)$より$|f_n|$は$X$上可積分

が成り立つから，ルベーグの収束定理が適用できて

\begin{align*}\lim_{k\to\infty}\int_{X\setminus X_k}|f_n(x)|\,d\mu =\lim_{k\to\infty}\int_{X}|f_n(x)|\mathbb{I}_{X\setminus X_k}(x)\,d\mu =0\end{align*}

が成り立つ．すなわち，ある$k_n\in\N$が存在して，$k>k_n$なら

\begin{align*}\int_{X\setminus X_k}|f_n(x)|\,d\mu<\epsilon\end{align*}

が成り立つ．

［１］，［２］を併せて，$k>\max\{k_1,\dots,k_N\}$なら

\begin{align*}\sup_{n\in\N}\int_{X\setminus X_k}|f_n(x)|\,d\mu<\epsilon\end{align*}

が従う．すなわち，条件(B)が成り立つ．

$u=0$のときは，$T$の第１変数に関する線形性より$T(u,v)=0$だから，目的の不等式は成り立つ．

$u\in U$, $v\in V$に対して，作用素$R_u$, $S_v$をそれぞれ

\begin{align*}&R_u:V\to W;v\mapsto T(u,v),
\\&S_v:U\to W;u\mapsto T(u,v)\end{align*}

により定める．条件(A)より，任意の$u\in U$, $v\in V$に対して，$R_u$, $S_v$は線形である．また，任意の$u\in U$に対して，$\mathcal{D}(R_u)=V$上の点列$\{v_n\}$が極限$v\in V$をもち，$\{R_u v_n\}$も極限$w\in W$をもつとすると，

\begin{align*}&\lim_{n\to\infty}u=u\in U,
\\&\lim_{n\to\infty}T(u,v_n)=\lim_{n\to\infty}R_u v_n=w\in W\end{align*}

なので，条件(B)より

\begin{align*}R_u v=T(u,v)=w\end{align*}

が成り立つ．これにより$R_u$は閉作用素なので，閉グラフ定理より$R_u$は有界作用素である．同様に，任意の$v\in V$に対して$S_v$は有界作用素である．

ここで，任意の$v\in V$に対して，

\begin{align*}\sup_{\|u\|_U=1}\|R_u v\|_W=\sup_{\|u\|_U=1}\|S_v u\|_W\le\sup_{\|u\|_U=1}\|S_v\|\|u\|_U=\|S_v\|<\infty\end{align*}

だから，一様有界性原理より$M:=\sup\limits_{\|u\|_U=1}\|R_u\|<\infty$が成り立つ．ノルムの斉次性と併せて，任意の$u\in U\setminus\{0\}$, $v\in V$に対して，$u’:=\frac{u}{\|u\|_U}$とおくと

\begin{align*}\|T(u,v)\|_W&=\nor{\|u\|_U T(u’,v)}_W
=\|u\|_U\nor{R_{u’}v}_W
\\&\le\|u\|_U\nor{R_{u’}}\|v\|_V
=M\|u\|_U\|v\|_V\end{align*}

を得る．

(1)の解答

微分積分学の基本定理，コーシー-シュワルツの不等式より，$g(0)=0$のとき

\begin{align*}|g(x)|&=\abs{\int_{0}^{x}g'(t)\,dt}\le\int_{0}^{x}|g'(t)|\,dt\le\int_{0}^{1}|g'(t)|\,dt
\\&\le\bra{\int_{0}^{1}|g'(t)|^2\,dt}^{1/2}\bra{\int_{0}^{1}1^2\,dt}^{1/2}=\|g’\|\end{align*}

が得られ，$g(1)=0$のとき

\begin{align*}|g(x)|&=\abs{-\int_{x}^{1}g'(t)\,dt}\le\int_{x}^{1}|g'(t)|\,dt\le\int_{0}^{1}|g'(t)|\,dt
\\&\le\bra{\int_{0}^{1}|g'(t)|^2\,dt}^{1/2}\bra{\int_{0}^{1}1^2\,dt}^{1/2}=\|g’\|\end{align*}

が得られる．よって，題意が従う．

(2)の解答

積分$\int_{0}^{1}f(x,t)\,dx$を$\int_{0}^{1}f$と略記する．

任意に$R>0$をとる．$u\in C^2([0,1]\times[0,\infty))$より，有界閉集合$[0,1]\times[0,R]$上で$u$と$u$の２階までの全ての偏導関数は連続だから有界なので，$(u_x^2)_t$は有界である．

よって，平均値の定理とルベーグの収束定理より，任意の$t\in[0,R]$に対して

\begin{align*}E'(t)=\frac{d}{dt}\int_{0}^{1}u_x^2=2\int_{0}^{1}u_xu_{xt}\end{align*}

と微分と積分の順序交換ができる．$R>0$は任意なので，結局この等式は任意の$t\ge0$に対して成り立つ．

$u$は$C^2$級なので$u_{xt}=u_{tx}$だから，部分積分，境界条件$u_x(0,t)=u(1,t)=0$，微分方程式$u_t-u_{xx}+u_x=0$を併せて

\begin{align*}E'(t)&=2[u_x(x,t)u_t(x,t)]_{x=0}^{x=1}-2\int_{0}^{1}u_{xx}u_t
\\&=-2\|u_{xx}\|^2+2\int_{0}^{1}u_{xx}u_x\end{align*}

が成り立つ．ただし，境界条件$u(1,t)=0$より$u_t(1,t)=0$であることに注意する．境界条件と(1)を併せて

\begin{align*}2\int_{0}^{1}u_{xx}u_x&=\int_{0}^{1}(u_x^2)_x=[u_x(x,t)^2]_{x=0}^{x=1}=u_x(1,t)^2
\\&\le\bra{\sup_{0\le x\le1}|u_x(x,t)|}^2\le\|u_{xx}(\cdot,t)\|^2\end{align*}

なので，$E'(t)\le-\|u_{xx}(\cdot,t)\|^2$を得る．また，

\begin{align*}E(t)&=\|u_x(\cdot,t)\|^2\le\int\bra{\sup_{0\le x\le1}|u_x|}^2
\\&=\bra{\sup_{0\le x\le1}|u_x(x,t)|}^2\le\|u_{xx}\|^2\end{align*}

なので，$E'(t)+E(t)\le0$を得る．

(3)の解答

境界条件$u(1,t)=0$と(1)から

\begin{align*}\sup_{0\le x\le1}|u(x,t)|\le\|u_x(\cdot,t)\|=\sqrt{E(t)}\end{align*}

が成り立ち，(2)より$e^tE(t)$は$C^1$級で任意の$t\ge0$に対して

\begin{align*}e^tE(t)&=\int_{0}^{t}(e^sE(s))’\,ds+e^0E(0)
\\&=\int_{0}^{t}e^s(E(s)’+E(s))\,ds+E(0)
\le E(0)\end{align*}

が成り立つから，

\begin{align*}\lim_{t\to\infty}\sup_{0\le x\le1}|u(x,t)|\le\lim_{t\to\infty}\sqrt{E(0)e^{-t}}=0\end{align*}

が従う．