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H29院試/京都大学/数学・数理解析専攻/基礎科目

平成29年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「基礎科目」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

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大学院入試の解答に関する記事一覧はこちら

【<a href=”https://math-note.xyz/list-of-graduate-school-entrance-examination/”>大学別 大学院入試 数学解答一覧</a>】

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問題と解答の方針

問題は7問あり,数学系志願者は問1~問6の6問を,数理解析系志願者は問1〜問5の5問と問6,問7から1問選択して全6問を解答します.試験時間は3時間30分です.

この記事では問7まで掲載しています.

なお,解答作成には万全を期していますが,論理の飛躍,誤りがあることは有り得ます.

問1

次の重積分を求めよ.

\begin{align*} \iint_{D}e^{-\max\{x^2,y^2\}}\,dxdy \end{align*}

ここで,D=\set{(x,y)\in\R^2}{0\le x\le1,0\le y\le1}とする.

解答の方針

\max\{x^2,y^2\}を処理するために,x^2y^2の大小に応じてDを分割すれば良い.

分けた後は積分順序に気を付ける.

解答例

D_{1}=\set{(x,y)\in D}{x\ge y}, D_{2}=\set{(x,y)\in D}{x\le y}とする.

\begin{align*} \iint_{D}e^{-\max\{x^2,y^2\}}\,dxdy =&\iint_{D_{1}}e^{-x^2}\,dxdy+\iint_{D_{2}}e^{-y^2}\,dxdy \\=&\int_{0}^{1}\bra{\int_{0}^{x}e^{-x^2}\,dy}\,dx+\int_{0}^{1}\bra{\int_{0}^{y}e^{-x^2}\,dx}\,dy \\=&2\int_{0}^{1}\bra{\int_{0}^{x}e^{-x^2}\,dy}\,dx =\int_{0}^{1}2xe^{-x^2}\,dx \\=&\brc{-e^{-x^2}}_{0}^{1} =1-e^{-1} \end{align*}

を得る.

問2

実行列

\begin{align*} A=\pmat{ 1&-2&-1&1&0\\ -2&5&3&-2&1\\ 1&1&2&0&-1\\ 5&0&5&3&2} \end{align*}

について,以下の問に答えよ.

(i) 連立1次方程式

\begin{align*} A\pmat{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\pmat{0\\0\\0\\0} \end{align*}

の解を全て求めよ.

(ii) 連立1次方程式

\begin{align*} A\pmat{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\pmat{0\\-1\\1\\c} \end{align*}

が解を持つような実数cを全て求めよ.

解答の方針

(i) 係数行列Aを行基本変形することにより求められる.

(ii) 係数行列Aと連立方程式の拡大係数行列のrankが等しいことが,解を持つための必要十分条件である.

rankは行基本変形により求められる.

解答例

(i) 行基本変形により,

\begin{align*} A \to&\bmat{1&-2&-1&1&0\\0&1&1&0&1\\0&3&3&-1&-1\\0&10&10&-2&2} \\\to&\bmat{1&0&1&1&2\\0&1&1&0&1\\0&0&0&-1&-4\\0&0&0&-2&-8} \\\to&\bmat{1&0&1&0&-2\\0&1&1&0&1\\0&0&0&-1&-4\\0&0&0&0&0} \end{align*}

だから,与えられた連立1次方程式の解は,

\begin{align*} \bmat{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5} =\bmat{-t+2s\\-t-s\\t\\-4s\\s} \quad (t,s\in\R) \end{align*}

で与えられる.

(i) 与えられた連立1次方程式が解を持つための必要十分条件は,

\begin{align*} \operatorname{rank}\brc{A,\bmat{0\\-1\\1\\c}} =\operatorname{rank}A \end{align*}

である.(i)から\operatorname{rank}A=3で,

\begin{align*} 3=&\operatorname{rank}\brc{A,\bmat{0\\-1\\1\\c}} \\=&\operatorname{rank}\bmat{1&-2&-1&1&0&0\\0&1&1&0&1&-1\\0&3&3&-1&-1&1\\0&10&10&-2&2&c} \\=&\operatorname{rank}\bmat{1&0&1&1&2&-2\\0&1&1&0&1&-1\\0&0&0&-1&-4&4\\0&0&0&-2&-8&c+10} \\=&\operatorname{rank}\bmat{1&0&1&0&-2&2\\0&1&1&0&1&-1\\0&0&0&-1&-4&4\\0&0&0&0&0&c+2} \end{align*}

である.よって,求める実数cc+2=0\iff c=-2である.

問3

m, nを正の整数とし,Aを複素(n,m)行列,Bを複素(m,n)行列とする.複素数\lambda\neq0について,以下の問に答えよ.

(i) \lambdaBAの固有値ならば,\lambdaABの固有値でもあることを示せ.

(ii) \C^{m}, \C^{n}の部分空間V, Wをそれぞれ

  • V=\{\m{x}\in\C^{m}|ある正の整数kに対して(BA-\lambda I_m)^{k}\m{x}=\m{0}が成り立つ\}
  • W=\{\m{y}\in\C^{n}|ある正の整数lに対して(BA-\lambda I_n)^{l}\m{y}=\m{0}が成り立つ\}

で定める.ただし,I_m, I_nは単位行列,\m{0}は零ベクトルを表す.このとき,\dim{V}=\dim{W}であることを示せ.

解答の方針

(i) vBAの固有値\lambdaに関する固有ベクトルとすると,AvABの固有値\lambdaに属する固有ベクトルとなる.

(ii) (i)から,v\in Vに対してAv\in Wであることが予想できる.すなわち,行列Aを左からかける写像V\to Wが定義できることが予想できる.

さらに,この写像が単射であることを示せば,\dim{V}\le\dim{W}が得られる.

同様にして,この逆の不等号も同様にして得られるから題意が従う.

解答例

(i) BAの固有値\lambdaに属する固有ベクトルの1つを\m{v}とすると,

\begin{align*} BA\m{v}=\lambda\m{v} \end{align*}

だから,両辺に左からAをかけることで,

\begin{align*} AB(A\m{v})=\lambda(A\m{v}) \end{align*}

となる.したがって,A\m{v}は固有値\lambdaをもつ.

(ii) \m{v}\in Vとすると,ある正の整数kが存在して(BA-\lambda I_m)^{k}\m{v}=\m{0}をみたすから,

\begin{align*} &(AB-\lambda I_n)^{k}A\m{v} \\=&\brb{\sum_{m=0}^{k}\pmat{k\\m}(AB)^{k}(-\lambda I_{m})^{k-m}}A\m{v} \\=&\brb{\sum_{m=0}^{k}\pmat{k\\m}(AB)^{k}A(-\lambda I_{m})^{k-m}}\m{v} \\=&A\brb{\sum_{m=0}^{k}\pmat{k\\m}(BA)^{k}(-\lambda I_{m})^{k-m}}\m{v} \\=&A(BA-\lambda I_{m})^{k}\m{v} =\m{0} \end{align*}

だから,A\m{v}\in Wである.よって,線形写像f:V\to W;\m{v}\mapsto A\m{v}が定義できる.

\m{v}\in\operatorname{Ker}fなら

\begin{align*} \m{0} =&(BA-\lambda I_{m})^{k}\m{v} \\=&\brb{\sum_{m=0}^{k}\pmat{k\\m}(BA)^{k}(-\lambda I_{m})^{k-m}}\m{v} \\=&\brb{\sum_{m=1}^{k}\pmat{k\\m}(BA)^{k}(-\lambda I_{m})^{k-m}}\m{v}+(-\lambda)^{k}\m{v} \\=&\brb{\sum_{m=1}^{k}\pmat{k\\m}(BA)^{k-1}B(-\lambda I_{m})^{k-m}}A\m{v}+(-\lambda)^{k}\m{v} \\=&\brb{\sum_{m=1}^{k}\pmat{k\\m}(BA)^{k-1}B(-\lambda I_{m})^{k-m}}\m{0}+(-\lambda)^{k}\m{v} \\=&(-\lambda)^{k}\m{v} \end{align*}

だから,\m{v}=\mathbf{0}となって,\operatorname{Ker}f=\{\m{0}\}が従う.よって,fは単射なので,\dim{V}\le\dim{W}が成り立つ.

同様に\dim{W}\le\dim{V}だから,

\[\dim{V}=\dim{W}\]

が従う.

問4

fI=\set{x\in\R}{x\ge0}上の実数値連続関数とする.正の整数nに対し,I上の関数f_n

\begin{align*} f_n(x)=f(x+n) \end{align*}

で定める.関数列\{f_n\}_{n=1}^{\infty}I上で一様収束するとき,以下の問に答えよ.

(i) I上の関数g

\begin{align*} g(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x) \end{align*}

で定める.このときgI上で一様連続であることを示せ.

(ii) fI上で一様連続であることを示せ.

解答の方針

(i) f_nfnだけ負方向に平行移動した関数である.

関数列\{f_n\}_{n=1}^{\infty}I上で一様収束することから,f\Rが十分大きいところでは周期1の関数に近付くことが予想でき,したがってgは周期1の関数であることが予想できる.

これが示されれば,g[0,2]上で一様連続であることを示せば十分で,これはgの連続性と[0,2]のコンパクト性から直ちに得られる(Heine-Cantorの定理).

ただし,gの連続性は連続関数列\{f_n\}_{n=1}^{\infty}の一様収束極限がgであることから得られる.

(ii) fは,\Rが十分大きいところではgに近付くから一様連続で,\Rがそこまで大きくないところではHeine-Cantorの定理から一様連続である.

解答例

(i) 任意に\epsilon>0をとる.任意のx\in Iに対して,

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}f_{n}(x+1) =&\lim_{n\to\infty}f(x+1+n) \\=&\lim_{n\to\infty}f_{n+1}(x) \\=&g(x) \end{align*}

である.また,

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}f_{n}(x+1)=g(x+1) \end{align*}

でもあるから,極限の一意性よりg(x)=g(x+1)である.

fの連続性からf_{n}は連続で,関数列\{f_n\}_{n=1}^{\infty}I上でgに一様収束するからgは連続である.したがって,gは閉区間[0,2]上でも連続だから,g[0,2]上で一様連続である.

すなわち,ある\delta>0が存在して,x,y\in[0,2]|x-y|<\deltaを満たすなら,|g(x)-g(y)|<\epsilonが成り立つ.

よって,|x-y|<\deltaをみたす任意のx,y\in Iに対して,x-k,y-k\in[0,2]なるk\in\Zが存在するから,

\begin{align*} |g(x)-g(y)| =&|g(x-1)-g(y-1)| \\=&|g(x-2)-g(y-2)| \\=&\dots \\=&|g(x-k)-g(y-k)| <\epsilon \end{align*}

が成り立つ.よって,gI上一様連続である.

(ii) 任意に\epsilon>0をとる.関数列\{f_n\}_{n=1}^{\infty}I上でgに一様収束する.

すなわち,あるN\in\Nが存在して,n>Nなら

\begin{align*} \sup_{x\in I}|f_{n}(x)-g(x)|<\epsilon \end{align*}

が成り立つ.

[1] [N,\infty)上のfの一様連続性を示す.

(i)からgI上一様連続である.すなわち,ある\delta\in(0,1)が存在して,|x-y|<\deltaなら|g(x)-g(y)|<\epsilonが成り立つ.

よって,x,y\in[N,\infty)|x-y|<\deltaを満たせば,

\begin{align*} &|f(x)-f(y)| \\=&|f_{N}(x-N)-f_{N}(y-N)| \\\le&|f_{N}(x-N)-g(x-N)| \\&+|g(x-N)-g(y-N)| +|g(y-N)-f_{N}(y-N)| \\\le&2\sup_{x\in I}|f_{N}(x-N)-g(x-N)| +|g(x-N)-g(y-N)| \\<&3\epsilon \end{align*}

が従う.

[2] [1,N+1)上のfの一様連続性を示す.

fは閉区間[0,N+1]上連続だから,f[0,N+1]上一様連続である.すなわち,ある\delta'\in(0,1)が存在して,|x-y|<\delta'なら|f(x)-f(y)|<\epsilonが成り立つ.

[1], [2]より,x,y\in I|x-y|<\min\{\delta,\delta'\}を満たすなら,|f(x)-f(y)|<\epsilonが成り立つ.よって,fは一様連続である.

問5

pを正の実数とし,f(t)\R上の実数値連続関数で

\begin{align*} \int_0^{\infty}|f(t)|\,dt<\infty \end{align*}

を満たすものとする.このとき\R上の常微分方程式

\begin{align*} \od{x}{t}=-px+f(t) \end{align*}

の任意の解x(t)に対し\lim\limits_{t\to\infty}x(t)=0が成り立つことを示せ.

解答の方針

与えられた常微分方程式は両辺にe^{pt}をかけ,任意のS>0に対して[0,S]で積分することで,

\begin{align*} x(S)=e^{-pS}\bra{x(0)+\dint_0^{S}e^{pt}f(t)\,dt} \end{align*}

が従う.S\to\inftyのとき,e^{-pS}x(0)oに収束することは明らかで,問題は\dint_0^{S}e^{p(t-S)}f(t)\,dtの極限である.

e^{p(t-S)}f(t)Sが大きくなるほど”ズレ”が大きくなる.また,区間[0,S]上でe^{p(t-S)}\le 1である.

このことから,\Rの十分大きいところでの積分は十分小さく(Cauchyの条件),\Rがそこまで大きくないところではSを十分大きくとることによって積分を小さくできることによって,題意が示せそうである.

なお,条件から\lim\limits_{t\to\infty}f(t)=0は言えないことに注意.反例が存在する.

解答例

任意に\epsilon>0をとる.\dint_{0}^{\infty}|f(t)|\,dt<\inftyだから,Cauchyの条件より,あるR>0が存在して

\begin{align*} \int_{R}^{\infty}|f(t)|\,dt<\epsilon \end{align*}

が成り立つ.与えられた常微分方程式は

\begin{align*} &\od{x}{t}=-px+f(t) \\\iff&e^{pt}\bra{\od{x}{t}(t)+px(t)}=e^{pt}f(t) \\\iff&\od{}{t}\bra{e^{pt}x(t)}=e^{pt}f(t) \end{align*}

であり,最後の式は任意のS>Rに対して[0,S]で積分できて,

\begin{align*} &e^{pS}x(S)-e^{0}x(0)=\int_{0}^{S}e^{pt}f(t)\,dt \\\iff&x(S)=e^{-eS}x(0)+\int_{0}^{S}e^{p(t-S)}f(t)\,dt \end{align*}

となる.よって,

\begin{align*} \lim_{S\to\infty}|x(S)| \le&\lim_{S\to\infty}\abs{e^{-eS}x(0)+\int_{0}^{S}e^{p(t-S)}f(t)\,dt} \\\le&\lim_{S\to\infty}\bra{\abs{e^{-eS}x(0)}+\abs{\int_{0}^{S}e^{p(t-S)}f(t)\,dt}} \\=&\lim_{S\to\infty}\abs{\int_{0}^{S}e^{p(t-S)}f(t)\,dt} \\\le&\lim_{S\to\infty}\int_{0}^{S}e^{p(t-S)}|f(t)|\,dt \\=&\lim_{S\to\infty}\bra{\int_{0}^{R}e^{p(t-S)}|f(t)|\,dt+\int_{R}^{S}e^{p(t-S)}|f(t)|\,dt} \\\le&\lim_{S\to\infty}\bra{\int_{0}^{R}e^{p(t-S)}|f(t)|\,dt+\int_{R}^{\infty}|f(t)|\,dt} \\\le&\lim_{S\to\infty}e^{p(R-S)}\int_{0}^{R}|f(t)|\,dt+\epsilon =\epsilon \end{align*}

である.\epsilonの任意性から\lim\limits_{t\to\infty}|x(t)|=0が従う.

問6

X, Yを位相空間とし,直積集合X\times Yを積位相によって位相空間とみなす.写像f:X\times Y\to Yf(x,y)=yで定める.Xがコンパクトならば,X\times Yの任意の閉集合Zに対し,f(Z)Yの閉集合であることを示せ.

解答の方針

Y\setminus f(Z)が開であることを示せば良い.そのために,任意のp\in Y\setminus f(Z)に対して,Yにおけるpの開近傍でf(Z)と共通部分を持たないものが存在すれば良い.

任意のx\in Xに対して(x,p)\notin Zで,(X\times Y)\setminus Zは開だから,Zと共通部分を持たない(x,p)の開近傍U_{x}\times V_{x}が存在する.ただし,U_{x}x\in Xの開近傍,V_{x}p\in Yの開近傍である.

ここで,\bigcap_{x\in X}V_{x}p\in YY\setminus f(Z)と共通部分を持たない近傍となっていそうではあるが,有限個のXが有限集合でなければ無限個の開集合の共通部分となるため開であるとは限らない.

そこで,x\in U_{x}よりX=\bigcup_{x\in X}U_{x}だから,Xのコンパクト性から有限個のx_1,\dots,x_nが存在してX=\bigcup_{k=1}^{n}U_{x_k}となることを用いると,このとき\bigcap_{k=1}^{n}V_{x_k}は有限個の開集合の共通部分だから開である.

この\bigcap_{k=1}^{n}V_{x_k}pf(Z)と共通部分を持たない開近傍になっていることを示せば良い.

解答例

Y\setminus f(Z)Yの開集合であることを示せばよい.そのためには,任意にp\in Y\setminus f(Z)をとり,

  • Yにおけるpの開近傍Vが存在して
  • V\cap f(Z)=\emptysetが成り立つ

ことを示せば良い.

[1] Yにおけるpの開近傍Vの構成する.

もし,あるx\in Xが存在して(x,p)\in Zならf(x,p)=p\in f(Z)となって矛盾するから,任意のx\in Xに対して(x,p)\notin Zである.

Zは閉だから,X\times Y\setminus Zは開である.

よって,積位相の定義より,各x\in Xに対して,x\in Xのある開近傍U_{x}p\in Yのある開近傍V_{x}が存在して,U_{x}\times V_{x}(x,p)\in X\times Yの開近傍となり,(U_{x}\times V_{x})\cap Z=\emptysetが成り立つ.

x\in Xに対してx\in U_{x}だから,当然X=\bigcup_{x\in X}U_{x}なので,\{U_{x}\}_{x\in X}Xの開被覆である.Xはコンパクトだから,有限個のx_{1},\dots,x_{n}\in Xが存在して,X=\bigcup_{k=1}^{n}U_{x_{k}}が成り立つ.

ここで,

\begin{align*} V:=\bigcap_{k=1}^{n}V_{x_{k}} \end{align*}

とすると,Vは有限個の開集合の和集合だから開であり,任意のk\in\{1,\dots,n\}に対してp\in V_{x_{k}}だからp\in Vである.

よって,VYにおけるpの開近傍である.

[2] V\cap f(Z)=\emptysetであることを示す.

任意にq\in f(Z)をとる.fの定義から,あるr\in Xが存在して(r,q)\in Zが成り立つ.

また,\{U_{x_{k}}\}_{k=1}^{n}Xの被覆だから,あるK\in\{1,\dots,n\}が存在してr\in U_{x_{K}}となる.このとき,(U_{x_{K}}\times V_{x_{K}})\cap Z=\emptysetだから,q\notin V_{x_{K}}が成り立つ.

よって,q\notin V=\bigcap_{k=1}^{n}V_{x_{k}}となり,V\cap f(Z)=\emptysetが従う.

問7

nを正の整数とし,\R^{n}の2点x=(x_1,\dots,x_n), y=(y_1,\dots,y_n)の距離d(x,y)

\begin{align*} d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\dots+(x_n-y_n)^2} \end{align*}

と定める.\R^{n}の空でない部分集合Aに対し,関数f:\R^n\to\R^n

\begin{align*} f(x)=\inf_{z\in A}d(x,z) \end{align*}

で定めるとき,\R^{n}の任意の2点x, yに対して|f(x)-f(y)|\le d(x,y)が成り立つことを示せ.

解答の方針

xyの対象性から,f(x)\ge f(y)としても一般性を失わない.

もしf(x)=d(x,z_1), f(y)=d(y,z_2)を満たすz_1,z_2\in Aが存在し,さらにz:=z_1=z_2でもあれば,示すべき式は|d(x,z)-d(y,z)|\le d(x,y)であり,これは三角不等式そのものである.

この問題では,このようなz_1, z_2が存在するとは限らず,存在してもz_1=z_2とは限らない.しかし,f(y)=\inf\limits_{z\in A}d(y,z)\le d(y,z_1)であることから,結局は三角不等式を用いて解くことができそうである.

つまり,もしこのようなz_1だけでも存在した場合は,

\begin{align*} |f(x)-f(y)|=f(y)-f(x)\le d(y,z_1)-d(x,z_1)\le d(x,y) \end{align*}

となって題意が従う.

z_1が存在しない場合でも,fの定義から任意の\epsilon>0に対して|f(x)-d(x,z_x)|<\epsilonを満たすz_x\in Aが存在するから,このz_x\in Az_1と思えば同様に考えられる.

解答例

任意に\epsilon>0をとる.fの定義から,各x\in\R^{n}に対して,あるz_{x}\in Aが存在して

\begin{align*} |f(x)-d(x,z_{x})|<\epsilon \end{align*}

が成り立つ.

f(x)\ge f(y)を満たす任意のx,y\in\R^{n}に対して,三角不等式d(x,z_{y})\le d(x,y)+d(y,z_{y})に注意すると,

\begin{align*} |f(x)-f(y)| =&f(x)-f(y) \\=&(f(x)-d(y,z_{y}))+(d(y,z_{y})-f(y)) \\\le&\bra{\inf_{z\in A}d(x,z)-d(y,z_{y})}+|d(y,z_{y})-f(y)| \\\le&(d(x,z_{y})-d(y,z_{y}))+\epsilon \\\le&d(x,y)+\epsilon \end{align*}

を得る.よって,\epsilon>0の任意性から|f(x)-f(y)|\le d(x,y)が従う.

f(x)\le f(y)を満たす任意のx,y\in\R^{n}に対しても同様に考えられるから,任意のx,y\in\R^{n}に対して|f(x)-f(y)|\le d(x,y)が従う.

参考文献

演習 大学院入試問題

ところどころ誤植があったり,もう少しスッキリ解答できるところがあるのが残念.しかし,問題量は非常に豊富である.

全2巻で,

  • 1巻 第1編 線形代数
    1巻 第2編 微分・積分学
    1巻 第3編 微分方程式
  • 2巻 第4編 ラプラス変換,フーリエ変換,特殊関数,変分法
    2巻 第5編 複素関数論
    2巻 第6編 確率・統計

が扱われている.

問題の種類としては発想問題よりも,ちゃんと地に足つけた考え方で解ける問題が多い.

計算量が多い問題,基本問題も多く扱われているが,試験では基本問題ほど手早く処理することが求められるので,その意味で試験への対応力が養われるであろう.(私自身,計算力があまり高くないので苦労した.)

詳解と演習大学院入試問題〈数学〉

上述の姫野氏の問題集とは対照的に,問題数はそこまで多くないが1問1問の解説が丁寧になされている.また,構成が読みやすい.

第1章 数え上げと整数
第2章 線形代数
第3章 微積分
第4章 微分方程式
第5章 複素解析
第6章 ベクトル解析
第7章 ラプラス変換
第8章 フーリエ変換
第9章 確率

典型的な問題でも複数の解法を紹介しているので,私は参考になることも多かった.

個人的に,この本は非常に好感が持てる良書であった.

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コメント

  1. oppa より:

    問6の解答は誤りでは?
    最後直前までは良いとは思いますが,Y/f(Z)と共通部分を持たないことが言えていないと思います。
    このままでは∪V_xでも議論が成立してしまうところからしておかしいとわかります。(コメントでは,開ではないとなっていますが、これは開集合です)

    • yama-taku より:

      ご指摘ありがとうございます.

      記事中で次の2点は誤植でしたので,修正しました.

      • \bigcup_{x\in X}V_xは開ではない」ではなく,「\bigcap_{x\in X}V_xは開ではない」
      • Y\setminus f(Z)と共通部分を持たない」ではなく,「f(Z)と共通部分を持たない」

      また,PDFにおいても,V\cap f(Z)=\emptysetの証明が抜けており,示せていませんでした.
      こちらも修正してアップロードしました.

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