本質的有界な可測関数|本質的上限(ess sup)・下限(ess inf)

ルベーグ空間
ルベーグ空間

関数の上限は1点の値を変えることでどこまでも大きくすることができます.例えば,関数$f:\R\to\R$を

    \begin{align*}f(x)=\begin{cases}-x^2+1&(x\neq0),\\2&(x=0)\end{cases}\end{align*}

で定めると,この関数の値域の上限は$\sup\limits_{x\in\R}{f(x)}=2$ですね.

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しかし,この関数は$x=0$での値が飛び跳ねているだけで,$f$の「本質的な上限」は

    \begin{align*}\sup\limits_{x\in\R}(-x^2+1)=1\end{align*}

と言えそうです.このように考える上限を本質的上限といいます.

この記事では

  • 本質的上限・本質的下限の定義
  • 本質的上限・本質的下限の具体例
  • 本質的上限・本質的下限の性質

を順に説明します.

以下の積分はルベーグ積分として考え,$m$をルベーグ測度としていますが,より一般に測度空間上でも同様に成り立ちます.

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本質的上限・本質的下限の定義

冒頭の例のように,零集合上で値が「跳ねて」いるような部分を無視したときの上界本質的上界といいます.

通常の上限と同様に,本質的上限は本質的上界の最小のものとして定義されます.

本質的上限の定義

可測集合$A\subset\R$上の可測関数$f$に対して,$S\in\R$が$f$の本質的上界(essential upper bound)であるとは

    \begin{align*}m(\set{x\in A}{f(x)>S})=0\end{align*}

が成り立つことをいう.$f$の本質的上界が存在するとき,$f$は本質的に上に有界であるという.

言葉で説明すれば,関数$f$の値が$S$より大きくなるような$x$の集合の測度が0であるとき$S$を本質的上界という,ということですね.

例えば,冒頭の関数

    \begin{align*}f(x)=\begin{cases}-x^2+1&(x\neq0),\\2&(x=0)\end{cases}\end{align*}

を考えると,

    \begin{align*}m\bra{\set{x\in\R}{f(x)>\frac{3}{2}}}=m(\{0\})=0\end{align*}

なので,$\frac{3}{2}$は$f$の本質的上界のひとつですね.

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このような本質的上界全部の集合の下限本質的上限といいます.

可測集合$A\subset\R$上の本質的に上に有界な可測関数$f$に対して,$f$の本質的上界全部の集合の下限を$f$の本質的上限(essential supremum)といい,$\esssup\limits_{x\in A}{f(x)}$と表す:

    \begin{align*}\esssup_{x\in A}{f(x)}:=\inf\set{S\in\R}{m(\set{x\in A}{f(x)>S})=0}\end{align*}

ただし,本質的上界が存在しないときは$\esssup\limits_{x\in A}{f(x)}=\infty$と定める.

本質的下限の定義

本質的下限も本質的上限と同様に以下のように定義されます.

可測集合$A\subset\R$上の可測関数$f$に対して,$s\in\R$が$f$の本質的下界(essential under bound)であるとは

    \begin{align*}m(\set{x\in A}{f(x)<s})=0\end{align*}

が成り立つことをいう.$f$の本質的下界が存在するとき,$f$は本質的に下に有界であるという.

また,$f$の本質的下界の上限を$f$の本質的下限(essential infimum)といい,$\essinf\limits_{x\in A}{f(x)}$と表す:

    \begin{align*}\essinf_{x\in A}{f(x)}:=\sup\set{s\in\R}{m(\set{x\in A}{f(x)<s})=0}\end{align*}

ただし,本質的上界が存在しないときは$\essinf\limits_{x\in A}{f(x)}=-\infty$と定める.

$f$が本質的に上に有界かつ本質的に下に有界であるとき,$f$は本質的有界であるといいます.

本質的上限・本質的下限の具体例

いくつか具体例を考えましょう.

例1(1点集合を無視する場合)

まずは冒頭の関数の本質的上限・本質的下限を求めましょう.

関数$f:\R\to\R$を

    \begin{align*}f(x)=\begin{cases}-x^2+1&(x\neq0),\\2&(x=0)\end{cases}\end{align*}

と定める.$f$の本質的上限と本質的下限を求めよ.

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この問題の関数$f$は$-x^2+1$とほとんど至る所で等しく,本質的上限は$1$と言えそうですね.

また,本質的下界は存在しそうになく,本質的下限は$-\infty$と言えそうですね.

[本質的上界]一般に一点集合は零集合なので,

    \begin{align*}m(\set{x\in\R}{f(x)>1}) =m(\{0\}) =0\end{align*}

だから,$1$は$f$の本質的上界である.また,任意の$a<1$に対して

    \begin{align*}&m(\set{x\in\R}{f(x)>a}) \\&=m\Bigl(\bigl(-\sqrt{1-a},\sqrt{1-a}\bigr)\Bigr) \\&=2\sqrt{1-a}>0\end{align*}

だから,$a$は$f$の本質的上界でない.よって,$\esssup\limits_{x\in\R}{f(x)}=1$を得る.

[本質的下界]任意の$a\in\R$に対して

    \begin{align*}&m(\set{x\in\R}{f(x)<a}) \\&=m\Bigl(\bigl(-\infty,-\sqrt{1-a}\bigr)\cup\bigl(\sqrt{1-a},\infty\bigr)\Bigr) =\infty\end{align*}

だから,$a$は$f$の本質的下界でない.よって,$\essinf\limits_{x\in\R}{f(x)}=-\infty$を得る.

例2(可算集合を無視する場合)

関数$f:\R\to\R$を

    \begin{align*}f(x)=\begin{cases}\cos{x}&(x\neq0,\pm\pi,\pm2\pi,\dots),\\2&(x=0,\pm\pi,\pm2\pi,\dots)\end{cases}\end{align*}

と定める.$f$の本質的上限と本質的下限を求めよ.

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$x=n\pi$で飛び抜けていますが,一般に可算集合は零集合なので,可算集合$\set{n\pi}{n\in\Z}$はルベーグ測度においては無視されます.

そのため,この問題の関数$f$は$\cos{x}$とほとんど至る所で等しく,本質的上限は1となりそうです.

また,本質的下限は通常の下限と一致して$-1$となりそうです.

[本質的上界]一般に可算集合は零集合なので,

    \begin{align*}m(\set{x\in\R}{f(x)>1}) =m(\set{n\pi}{n\in\Z}) =0\end{align*}

だから,$1$は$f$の本質的上界である.また,任意の$a\in(0,1)$に対して

    \begin{align*}&\set{x\in\R}{f(x)>a} \\&=\bigcup_{n\in\Z}\bra{-\cos^{-1}{a}+2n\pi,\cos^{-1}{a}+2n\pi}\end{align*}

なので$m(\set{x\in\R}{f(x)>a})=\infty>0$だから,$a$は$f$の本質的上界でない.よって,$\esssup\limits_{x\in\R}{f(x)}=1$を得る.

[本質的下界]空集合は零集合なので,

    \begin{align*}m(\set{x\in\R}{f(x)<-1}) =m(\emptyset) =0\end{align*}

だから,$-1$は$f$の本質的上界である.また,任意の$a\in(-1,0)$に対して

    \begin{align*}&\set{x\in\R}{f(x)<a} \\&=\bigcup_{n\in\Z}\bra{-\cos^{-1}{a}+(2n+3)\pi,\cos^{-1}{a}+(2n+1)\pi}\end{align*}

なので$m(\set{x\in\R}{f(x)<a})=\infty>0$だから,$a$は$f$の本質的下界でない.よって,$\essinf\limits_{x\in\R}{f(x)}=-1$を得る.

例3(可算集合を無視する場合)

関数$f:\R\to\R$を

    \begin{align*}f(x)=\begin{cases}x&(x\in\Q),\\0&(x\in\R\setminus\Q)\end{cases}\end{align*}

と定める.$f$の本質的上限と本質的下限を求めよ.

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有理数全部の集合$\Q$は$\R$上で稠密ですが,$\Q$は可算集合なのでルベーグ測度では無視されます.

よって,この問題の関数$f$は0とほとんど至る所で等しく,本質的下限は0となりそうです.

[本質的上界]一般に可算集合は零集合なので,

    \begin{align*}&m(\set{x\in\R}{f(x)<0})=m(\set{x\in\Q}{x<0})=0\end{align*}

だから$0$は$f$の本質的上界である.また,任意の$a<0$に対して

    \begin{align*}\set{x\in\R}{f(x)>a}\supset(a,\infty)\end{align*}

だから,$m$の単調性と併せて

    \begin{align*}&m(\set{x\in\R}{f(x)>a})\ge m((a,\infty))>0\end{align*}

だから,$a$は$f$の本質的上界でない.よって,$\esssup\limits_{x\in\R}{f(x)}=0$を得る.

[本質的下界]一般に可算集合は零集合なので,

    \begin{align*}m(\set{x\in\R}{f(x)>0})=m(\set{x\in\Q}{x>0})=0\end{align*}

だから,$0$は$f$の本質的下界でもある.また,任意の$a>0$に対して

    \begin{align*}\set{x\in\R}{f(x)<a}\supset(-\infty,a)\end{align*}

だから,$m$の単調性と併せて

    \begin{align*}&m(\set{x\in\R}{f(x)<a})\ge m((-\infty,a))>0\end{align*}

だから,$a$は$f$の本質的下界でない.よって,$\essinf\limits_{x\in\R}{f(x)}=0$を得る.

本質的上限・本質的下限の性質

本質的上限・本質的下限の性質をいくつか紹介します.

本質的上限の最小性・本質的下限の最大性

上の定義では本質的上限$\esssup\limits_{x\in A}{f(x)}$は本質的上界全部の集合の「下限」と定義しましたが,本質的上界全部の集合は必ず最小値をもちます.また,本質的下限についても同様です.

[命題1]可測集合$A\subset\R$上の可測関数$f$が本質的に上に有界なら,本質的上限$\esssup\limits_{x\in A}{f(x)}$は$f$の本質的上界である.また,$f$が本質的に下に有界なら,本質的下限$\essinf\limits_{x\in A}{f(x)}$は$f$の本質的下界である.

正の整数$n$に対して

    \begin{align*}A_n:=\set{x\in A}{f(x)>\esssup\limits_{x\in A}{f(x)}+\frac{1}{n}}\end{align*}

とおく.$\esssup\limits_{x\in A}{f(x)}+\dfrac{1}{n}$は$f$の本質的上界だから,任意の$n$に対して$m(A_n)=0$である.

さらに,$A_1\subset A_2\subset\dots$なので,測度の単調収束定理より

    \begin{align*}&m\bra{\set{x\in A}{f(x)>\esssup_{x\in A}{f(x)}}} \\&=m\bra{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n} =\lim_{n\to\infty}m(A_n)=0\end{align*}

が成り立つ.よって,$\esssup\limits_{x\in A}{f(x)}$は$f$の本質的上界である.同様に

    \begin{align*}A'_n:=\set{x\in A}{f(x)<\essinf_{x\in A}{f(x)}-\frac{1}{n}}\end{align*}

を考えれば,$\essinf\limits_{x\in A}{f(x)}$は本質的下界である.

本質的上限・本質的下限と零集合

本質的上限・本質的下限はうまく零集合を取り除いたときの上限・下限と言えるので以下が成り立ちます.

[命題2]可測集合$A\subset\R$上の可測関数$f$を考える.ある零集合$N\subset A$が存在して,任意の$x\in A\setminus N$に対して

    \begin{align*}\essinf_{x\in A}{f(x)}\le f(x)\le\esssup_{x\in A}{f(x)}\end{align*}

が成り立つ.

証明には[命題1]を使いましょう.

$\esssup\limits_{x\in A}{f(x)}=\infty$なら右の不等式は常に成り立ち,$\essinf\limits_{x\in A}{f(x)}=\infty$なら左の不等式は常に成り立つから,以下では$f$が本質的有界な場合を示す.

$N_1,N_2\subset A$を

    \begin{align*}&N_1:=\set{x\in A}{f(x)>\esssup_{x\in A}{f(x)}}, \\&N_2:=\set{x\in A}{f(x)<\essinf_{x\in A}{f(x)}}\end{align*}

とおく.[命題1]より$m(N_1)=m(N_2)=0$が成り立つので,$N:=N_1\cup N_2$とおくと$m$の劣加法性より

    \begin{align*}m(N)\le m(N_1)+m(N_2)=0+0=0\end{align*}

である.また,$N_1$と$N_2$の定義より,任意の$x\in A\setminus N$に対して

    \begin{align*}\essinf_{x\in A}{f(x)}\le f(x)\le\esssup_{x\in A}{f(x)}\end{align*}

が従う.

この[命題2]から次の系が従います.

可測集合$A\subset\R$上の可測関数$f$に対して

    \begin{align*}\inf_{x\in A}{f(x)}\le\essinf_{x\in A}{f(x)}\le\esssup_{x\in A}{f(x)}\le\sup_{x\in A}{f(x)}\end{align*}

が成り立つ.

[命題2]より$\essinf\limits_{x\in A}{f(x)}\le\esssup\limits_{x\in A}{f(x)}$が成り立つ.

上界は本質的上界だから,$\sup{f}$の最小性より$\esssup\limits_{x\in A}{f(x)}\le\sup\limits_{x\in A}{f(x)}$が成り立つ.同様に$\inf\limits_{x\in A}{f(x)}\le\essinf\limits_{x\in A}{f(x)}$が成り立つ.

和の本質的上限・本質的下限

最後に$\esssup$の劣加法性と$\essinf$の優加法性を証明しておきます.

可測集合$A\subset\R$上の可測関数$f$に対して

    \begin{align*}&\esssup_{x\in A}{(f(x)+g(x))}\le\esssup_{x\in A}{f(x)}+\esssup_{x\in A}{g(x)}, \\&\essinf_{x\in A}{(f(x)+g(x))}\ge\essinf_{x\in A}{f(x)}+\essinf_{x\in A}{g(x)}\end{align*}

が成り立つ.

[命題2]より,ある零集合$N_f,N_g\subset A$が存在して,

  • 任意の$x\in A\setminus N_f$に対して$f(x)\le\esssup\limits_{x\in A}{f(x)}$
  • 任意の$x\in A\setminus N_g$に対して$g(x)\le\esssup\limits_{x\in A}{g(x)}$

が成り立つ.よって,$N:=N_f\cup N_g$とおくと,任意の$x\in A\setminus N$に対して

    \begin{align*}f(x)+g(x)\le\esssup_{x\in A}{f(x)}+\esssup_{x\in A}{g(x)}\end{align*}

が成り立つ(零集合の和集合である$N$も零集合であることに注意).よって,本質的上限の最小性より

    \begin{align*}\esssup_{x\in A}{(f(x)+g(x))}\le\esssup_{x\in A}{f(x)}+\esssup_{x\in A}{g(x)}\end{align*}

が従う.同様に本質的下限についての不等式も従う.

管理人

プロフィール

山本やまもと 拓人たくと

元予備校講師.講師として駆け出しの頃から予備校の生徒アンケートで抜群の成績を残し,通常の8倍の報酬アップを提示されるなど頭角を表す.

飛び級・首席合格で大学院に入学しそのまま首席修了するなど数学の深い知識をもち,本質をふまえた分かりやすい授業に定評がある.

現在はオンライン家庭教師,社会人向け数学教室での講師としての教育活動とともに,京都大学で数学の研究も行っている.専門は非線形偏微分方程式論.大学数学系YouTuberとしても活動中.

趣味は数学,ピアノ,甘いもの食べ歩き.公式LINEを友達登録で【限定プレゼント】配布中.

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