H27院試/京都大学/数学・数理解析専攻/基礎科目I

平成27年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「基礎科目I」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

問題と解答の方針

問題は4問あります.試験時間は2時間です.

解答はこのページの下部にPDFで掲載しています.

問1

次の広義積分を求めよ.

\begin{align*} \displaystyle\iint_{D}\frac{y^2e^{-xy}}{x^2+y^2}\,dxdy. \end{align*}

ここで,$D=\set{(x,y)\in\R^2}{0<y\le x}$とする.

解答の方針

非有界領域の重積分なので,何らかの条件により累次積分に直せることを言いたい.

いまは被積分関数が非負であることからTonelliの定理が使える.

あとは極座標変換により$r$, $\theta$の順に積分をすればよい.

解答例

$D$は極座標変換により,$D=\set{(r\cos{\theta},r\sin{\theta})\in\R^2}{r>0,0<\theta\le \frac{\pi}{4}}$である.

また,被積分関数は非負だからTonelliの定理より

\begin{align*} &\iint_{D}\frac{y^2e^{-xy}}{x^2+y^2}\,dxdy \\=&\int_{0}^{\pi/4}\bra{\int_{0}^{\infty}\frac{r^2\sin^2\theta\cdot e^{-r^2\cos\theta\sin\theta}}{r^2}\cdot r\,dr}\,d\theta \\=&\int_{0}^{\pi/4}\sin^2\theta\bra{\int_{0}^{\infty}re^{-r^2\cos\theta\sin\theta}\,dr}\,d\theta \\=&-\int_{0}^{\pi/4}\frac{\sin^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta}\brc{e^{-r^2\cos\theta\sin\theta}}_{r=0}^{r=\infty}\,d\theta \\=&-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\tan\theta\,d\theta =-\frac{1}{2}\brc{\frac{1}{\cos^2\theta}}_{0}^{\pi/4} \\=&-\frac{1}{2}(2-1) =-\frac{1}{2} \end{align*}

が得られる.

ただし,$r$に関する積分について,$0<\theta\le \frac{\pi}{4}$より$0<\cos\theta\sin\theta$であることに注意.

問2

$\R^2$で定義された関数

\begin{align*} f(x,y)=\frac{4x^2+(y+2)^2}{x^2+y^2+1} \end{align*}

のとりうる値の範囲を求めよ.

解答例

最小値が0であることはすぐに分かる.問題は最大値.

原点からの距離が十分大きなところではある数以下であることを示し,原点からの距離がそれ以下のコンパクト集合上で最大値を求めれば良い.

具体的には,極座標変換をして,各$\theta$において

\begin{align*} f(x,y)\xrightarrow[]{r\to\infty}4-3\sin^2\theta \end{align*}

となるので,ある$R>0$が存在して$r\ge R$では$f(x,y)<9/2$となる.あとは$f$の停留点を求めれば良い.

解答例

(i) 最小値について

明らかに$f(x,y)\ge0$であり,$f(0,-2)=0$だから最小値は0である.

(ii) 最大値について

\begin{align*} \pd{f}{x}(x,y) =&\frac{8x(x^2+y^2+1)-2x(4x^2+y^2+4y+4)}{(x^2+y^2+1)^2} \\=&\frac{2x(4x^2+4y^2+4)-2x(4x^2+y^2+4y+4)}{(x^2+y^2+1)^2} \\=&\frac{2x(3y^2-4y)}{(x^2+y^2+1)^2} =\frac{2xy(3y-4)}{(x^2+y^2+1)^2}, \\\pd{f}{y}(x,y) =&\frac{2(y+2)(x^2+y^2+1)-2y(4x^2+y^2+4y+4)}{(x^2+y^2+1)^2} \\=&\frac{2(x^2y+2x^2+y^3+2y^2+y+2)-2(4x^2y+y^3+4y^2+4y)}{(x^2+y^2+1)^2} \\=&\frac{-2(3x^2y-2x^2+2y^2+3y-2)}{(x^2+y^2+1)^2} \end{align*}

だから,

\begin{align*} \begin{cases} \pd{f}{x}(x,y)=0\\ \pd{f}{y}(x,y)=0 \end{cases} \iff\begin{cases} xy(3y-4)=0\\ 3x^2y-2x^2+2y^2+3y-2=0 \end{cases} \end{align*}

である.

[1] $x=0$のとき

\begin{align*} &3x^2y-2x^2+2y^2+3y-2 \\=&2y^2+3y-2 \\=&(2y-1)(y+2) \end{align*}

である.よって,$(0,\frac{1}{2})$, $(0,-2)$は停留点であり,他には存在しない.

[2] $y=0$のとき,

\begin{align*} &3x^2y-2x^2+2y^2+3y-2 \\=&-2x^2-2 <0 \end{align*}

である.よって,$3x^2y-2x^2+2y^2+3y-2=0$をみたし得ないから停留点は存在しない.

[3] $y=\frac{4}{3}$のとき,

\begin{align*} &3x^2y-2x^2+2y^2+3y-2 \\=&4x^2-2x^2+\frac{32}{9}+4-2 \\=&2x^2+\frac{40}{9} <0 \end{align*}

である.よって,$3x^2y-2x^2+2y^2+3y-2=0$をみたし得ないから停留点は存在しない.

以上より,$f$の停留点は$(0,\frac{1}{2})$, $(0,-2)$に限り,$f(0,\frac{1}{2})=5$, $f(0,-2)=0$である.

また,極座標変換$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$で

\begin{align*} f(x,y) =&\frac{4x^2+y^2+4y+4}{x^2+y^2+1} \\=&\frac{4r^2\cos^{2}{\theta}+r^2\sin^{2}{\theta}+4r\sin{\theta}+4}{r^2+1} \\\to\ &1+3\cos^{2}{\theta} \le1+3=4\quad (r\to\infty) \end{align*}

だから,ある$R>0$が存在して,$x^2+y^2\ge R^2$を満たすとき$f(x,y)\le4$をみたす.

よって,$f$は$\set{(x,y)\in\R^2}{x^2+y^2\ge R}$上で最小値をとり得ない.

$D:=\set{(x,y)\in\R^2}{x^2+y^2\le R}$はコンパクト集合で$f$は連続だから,$f$は$D$の境界上または$D$内部の停留点で最大値をとる.

いま,$D$の境界上で$f(x,y)\le4<5$だったから,$f$は停留点$(0,\frac{1}{2})$で最小値5をとる.

$f$は$\R^2$上で連続だったから,(i), (ii)と併せて$f$のとりうる値の範囲は0以上5以下である.

解答の方針2

$-1$を引き出すことによって,平方完成から示すこともできる.

解答例2

明らかに$f(x,y)\ge0$であり,$f(0,-2)=0$だから最小値は0である.

また,

\begin{align*} f(x,y) =&5+\frac{-x^2-4y^2+4y-1}{x^2+y^2+1} \\=&5-\frac{x^2+(2y+1)^2}{x^2+y^2+1} \le5 \end{align*}

だから$f(x,y)\le5$で,$f(0,-\frac{1}{2})=5$だから最大値は5である.

$f$は$\R^2$上で連続だったから,$f$のとりうる値の範囲は0以上5以下である.

問3

$a,b$を複素数とする.3次正方行列

\begin{align*} A=\pmat{2&a&a\\b&2&0\\-b&0&2},\quad B=\pmat{2&1&0\\0&2&0\\0&0&2} \end{align*}

について,以下の問に答えよ.

(i) 行列$A$の固有値を求めよ.

(ii) 行列$A$と行列$B$が相似となるような複素数$a,b$をすべて求めよ.ただし,$A$と$B$が相似であるとは,複素正則行列$P$で$A=P^{-1}BP$をみたすものが存在することをいう.

解答例

(i) 固有値は行列式$|xI-A|=0$の解$x$である.

(ii) 行列$A$と行列$B$が正則であることと,行列$A$のJordan標準形と行列$B$のJordan標準形が一致することが同値であることを用いれば良い.

解答例

(i) $I$を3次単位行列とする.

\begin{align*} |xI-A| =&\vmat{x-2&-a&-a\\-b&x-2&0\\b&0&x-2} \\=&\{(x-2)^3+0+0\}-\{-ab(x-2)+ab(x-2)\} \\=&(x-2)^3 \end{align*}

であるから,$A$の固有値は$2$である.

(ii) $A$, $B$が相似であることと,$A$, $B$のJordan標準形が一致することは同値である.

$B$のJordan標準形は$J_2(2)\oplus J_1(2)$だから,$A$, $B$が相似であることと$\operatorname{rank}(2I-A)=1$と$\operatorname{rank}(2I-A)^2=0$がともに成り立つことは同値である.

\begin{align*} \operatorname{rank}(2I-A)=1 \iff&\operatorname{rank}\bmat{0&-a&-a\\-b&0&0\\b&0&0}=1 \\\iff&\operatorname{rank}\bmat{0&a&a\\b&0&0\\0&0&0}=1 \\\operatorname{rank}(2I-A)^2=0 \iff&\operatorname{rank}\bmat{0&0&0\\0&ab&ab\\0&-ab&-ab}=0 \\\iff&\bmat{0&0&0\\0&ab&ab\\0&-ab&-ab}=O \end{align*}

なので,$ab=0$かつ$(a,b)\neq(0,0)$をみたす組$(a,b)$が求める複素数の組である.

問4

$a,b,c,d$を複素数とする.次の行列の階数を求めよ.

\begin{align*} \pmat{ 2&-3&6&0&-6&a\\ -1&2&-4&1&8&b\\ 1&0&0&1&6&c\\ 1&-1&2&0&-1&d } \end{align*}

解答の方針

行列の階数が基本変形に関して不変であることを用いれば良い.

解答例

行基本変形により,

\begin{align*} &\pmat{2&-3&6&0&-6&a\\-1&2&-4&1&8&b\\1&0&0&1&6&c\\1&-1&2&0&-1&d} \\\to&\pmat{0&-3&6&-2&-18&a-2c\\0&2&-4&2&14&b+c\\1&0&0&1&6&c\\0&-1&2&-1&-7&d-c} \\\to&\pmat{0&0&0&1&3&(a-2c)+3(d-c)\\0&0&0&0&0&(b+c)+2(d-c)\\1&0&0&1&6&c\\0&1&-2&1&7&c-d} \\=&\pmat{0&0&0&1&3&a-5c+3d\\0&0&0&0&0&b-c+2d\\1&0&0&1&6&c\\0&1&-2&1&7&c-d} \end{align*}

だから,階数は

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{align*}
\operatorname{rank}\pmat{2&-3&6&0&-6&a\\-1&2&-4&1&8&b\\1&0&0&1&6&c\\1&-1&2&0&-1&d}
=\begin{cases}
3&(c=b+2dのとき)\\
4&(c\neq b+dのとき)
\end{cases}
\end{align*}

*** Error message:
Package inputenc Error: Unicode character の (U+306E)
leading text: \end{align*}

である.

解答

解答は以下のPDFに掲載しています.

H27_基礎科目I_解答

以下は注意事項です.

  • 解答作成には万全を期していますが,論理の飛躍,誤りがあることは有り得ます.
  • 本PDFは私に著作権があります.
  • 無断複製,無断転載は一切禁止します.これらの行為が確認された場合は,止むを得ず法的手段に出ることがあります.

この解答が大学院受験生の一助になれば幸いです.

参考文献

以下の問題集は,実際に私が大学院入試対策で使用したものである.

演習 大学院入試問題

まえがきに「修士の基礎数学の問題の範囲は,ほぼ本書中に網羅されている」と書かれているように,広い分野から問題が豊富に掲載されている.

全2巻で,

  • 1巻 第1編 線形代数
    1巻 第2編 微分・積分学
    1巻 第3編 微分方程式
  • 2巻 第4編 ラプラス変換,フーリエ変換,特殊関数,変分法
    2巻 第5編 複素関数論
    2巻 第6編 確率・統計

が扱われている.

問題の種類としては発想問題よりも,ちゃんと地に足つけた考え方で解ける問題が多い.

計算量が多い問題,基本問題も多く扱われているが,試験では基本問題ほど手早く処理することが求められるので,その意味で試験への対応力が養われるであろう.(私自身,計算力があまり高くないので苦労した.)

目次や詳しい内容は以下の記事を参照してください.

詳解と演習大学院入試問題〈数学〉

上述の姫野氏の問題集とは対照的に,問題数はそこまで多くないが1問1問の解説が丁寧になされている.また,構成が読みやすい.

第1章 数え上げと整数
第2章 線形代数
第3章 微積分
第4章 微分方程式
第5章 複素解析
第6章 ベクトル解析
第7章 ラプラス変換
第8章 フーリエ変換
第9章 確率

典型的な問題でも複数の解法を紹介しているので,私は参考になることも多かった.

個人的に,この本は非常に好感が持てる良書であった.

目次や詳しい内容は以下の記事を参照してください.

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