H27院試/京都大学/数学・数理解析専攻/基礎科目I

$D$は極座標変換により，$D=\set{(r\cos{\theta},r\sin{\theta})\in\R^2}{r>0,0<\theta\le \frac{\pi}{4}}$である．

また，被積分関数は非負だからTonelliの定理より

が得られる．

ただし，$r$に関する積分について，$0<\theta\le \frac{\pi}{4}$より$0<\cos\theta\sin\theta$であることに注意．

(i)　最小値について

明らかに$f(x,y)\ge0$であり，$f(0,-2)=0$だから最小値は0である．

(ii)　最大値について

だから，

である．

[1]　$x=0$のとき

である．よって，$(0,\frac{1}{2})$, $(0,-2)$は停留点であり，他には存在しない．

[2]　$y=0$のとき，

である．よって，$3x^2y-2x^2+2y^2+3y-2=0$をみたし得ないから停留点は存在しない．

[3]　$y=\frac{4}{3}$のとき，

である．よって，$3x^2y-2x^2+2y^2+3y-2=0$をみたし得ないから停留点は存在しない．

以上より，$f$の停留点は$(0,\frac{1}{2})$, $(0,-2)$に限り，$f(0,\frac{1}{2})=5$, $f(0,-2)=0$である．

また，極座標変換$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$で

だから，ある$R>0$が存在して，$x^2+y^2\ge R^2$を満たすとき$f(x,y)\le4$をみたす．

よって，$f$は$\set{(x,y)\in\R^2}{x^2+y^2\ge R}$上で最小値をとり得ない．

$D:=\set{(x,y)\in\R^2}{x^2+y^2\le R}$はコンパクト集合で$f$は連続だから，$f$は$D$の境界上または$D$内部の停留点で最大値をとる．

いま，$D$の境界上で$f(x,y)\le4<5$だったから，$f$は停留点$(0,\frac{1}{2})$で最小値5をとる．

$f$は$\R^2$上で連続だったから，(i), (ii)と併せて$f$のとりうる値の範囲は0以上5以下である．

明らかに$f(x,y)\ge0$であり，$f(0,-2)=0$だから最小値は0である．

また，

だから$f(x,y)\le5$で，$f(0,-\frac{1}{2})=5$だから最大値は5である．

$f$は$\R^2$上で連続だったから，$f$のとりうる値の範囲は0以上5以下である．

(i)　$I$を3次単位行列とする．

であるから，$A$の固有値は$2$である．

(ii)　$A$, $B$が相似であることと，$A$, $B$のJordan標準形が一致することは同値である．

$B$のJordan標準形は$J_2(2)\oplus J_1(2)$だから，$A$, $B$が相似であることと$\operatorname{rank}(2I-A)=1$と$\operatorname{rank}(2I-A)^2=0$がともに成り立つことは同値である．

なので，$ab=0$かつ$(a,b)\neq(0,0)$をみたす組$(a,b)$が求める複素数の組である．

行基本変形により，

だから，階数は

である．