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「微分積分学」一覧

ガウス積分はどうやって求める？｜極座標変換による計算

2020/4/22 2020/5/17 微分積分学

不定積分 $\dint e^{-x^2}\,dx$ は多項式，三角関数，指数・対数といった初等関数で表せないことが知られていますが，広義積分

$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx \end{align*}$

の値は計算することができます．

この広義積分はGauss(ガウス)積分やEuler-Poisson(オイラー-ポアソン)積分などと呼ばれており，値が $\sqrt{\pi}$ になることが知られています．

一般に $f(x)=Ae^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$ で定まる関数 $f(x)$ はGauss関数と呼ばれ，確率の分野では正規分布において本質的な関数です．

Gauss積分は $A=1$ , $2\sigma^2=1$ , $\mu=0$ の場合のGauss関数の実数全体での積分というわけですね．

この記事では，Gauss積分の値が $\sqrt{\pi}$ になることを極座標変換を用いて計算します．

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ガンマ関数は階乗の一般化｜定義と基本的性質

2020/4/1 2020/5/21 微分積分学

$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$ のように，正整数 $n$ に対して「階乗 $n!$ 」は $n$ 以下の全ての正整数の積を表します．

そこで実数や複素数に「階乗」を拡張するにはどのように考えればよいでしょうか？

結論から言えば，「階乗の一般化」として「 $\Gamma$ (ガンマ)関数」とよばれる関数があります．

積分で表される $\Gamma$ 関数は実数だけでなく，複素数に対しても定義できる場合もあり，様々な場面で用いられます．

この記事では， $\Gamma$ 関数の基礎を説明します．

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ガウス関数のフーリエ変換を実際に計算する

2018/11/22 2020/6/30 微分積分学

Fourie(フーリエ)変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり，理工系の様々な分野で重宝されています．

$G(x)=Ae^{-\eta x^2}$ ( $x\in\R$ )で定まる関数 $G$ を(1次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いい，Gauss関数はFourier変換を施してもGauss関数であるという性質をもちます．

また，Gauss関数 $G(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ は確率・統計の分野では，平均 $\mu$ ，分散 $\sigma^2$ の正規分布の確率密度関数としても有名ですね．

Fourier変換を数学的に定義するには，ある程度の条件(可積分性など)が必要で，具体的にはLebesgue可積分であるような関数にはFourier変換を定義することができます．

この記事ではGauss関数にFourier変換が定義できることを説明し，Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になることを計算により確かめます．

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ラグランジュの未定乗数法はどう使う？｜直感的な理解と証明

2017/6/26 2020/6/26 微分積分学

例えば，

$\begin{align*} f(x,y)=x^2+3xy+y^2+1 \end{align*}$

の最小値を求めたいとき，

$\begin{align*} \pd{f}{x}(a,b)=\pd{f}{y}(a,b)=0 \end{align*}$

を満たす点 $(a,b)$ を求めることによって， $f(x,y)$ が最小値をとる点の候補が得られます．

しかし，これが「 $x+y=1$ 上での $f(x,y)=x^2+3xy+y^2+1$ の最小値を求めたい」といったように， $x$ と $y$ に制約(この場合には $x+y=1$ )がかかると単純に $f$ の偏導関数から最小値を求めることができません．

そこで，曲線や直線上といった「制約条件下」での関数の極値を求めるために，[Lagrange(ラグランジュ)の未定乗数法]があります．

この記事では，[Lagrangeの未定乗数法]の直感的な考え方を説明し，具体例から使い方をみます．

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微分積分学の基本定理とその証明｜微分と積分の関係を導出

2017/2/2 2020/5/18 微分積分学

求積の方法として「積分」を定義する方法はいくつかあるが，最もシンプルな積分の定義に[Riemann(リーマン)積分]がある．

[Riemann積分]は関数の定義域 $I$ を細かく分割して，長方形近似から(Riemann和を求めて)求積する方法である．

[Riemann積分]をこの定義から計算しようとすると，長方形近似から計算をしなければならず計算は面倒になる．

そこで，長方形近似を経由せずに積分を計算するための定理として[微分積分法の基本定理]がある．

なお，高校数学においては「微分の逆演算」として積分を定めるが，この定義によれば「微分積分学の定理」は明らかである．

しかし，連続でない関数に対してこの定義はうまくいかないので，主に連続関数を扱う高校数学ならではの定義となっている．

この記事の「積分」は，全て[Riemann積分]を指すものとする．

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