微分積分学

2018.11.22

ガウス関数のフーリエ変換を具体的に計算する

Fourie変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり，理工系の様々な分野で重宝される．

$G(x)=Ae^{-\eta x^2}$ ( $x\in\R$ )で定まる関数 $G$ を(1次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いい，Gauss関数は正規分布の確率密度関数として知られる．

Gauss関数はFourier変換を施してもGauss関数であるという性質をもつ．

Fourier変換を数学的に定義するには，ある程度の条件(可積分性など)が必要である．具体的には，Lebesgue可積分であるような関数には，Fourier変換を定義することができる．

本記事では，Gauss関数にFourier変換が定義できることを説明し，Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になることを計算により確かめる．

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2017.06.26

ラグランジュの未定乗数法の直感的な理解と証明

$N$ 次元ユークリッド空間 $R^N$ 上の有界閉集合(コンパクト集合) $D$ 上で定義された連続関数 $f$ は最大値，最小値を持つ(Heineの定理)ことはよく知られており，このときの $f$ が最大点，最小点は次のいずれかである．

$f$ の全ての偏微分係数が存在して， $\pd{f}{x_1}(a)=\dots=\pd{f}{x_N}(a)=0$ となる点 $a\in D^i$ ．
$f$ が微分可能でない点 $a\in D^i$
$\partial D$ 上の点

ただし， $D^i$ は $D$ の内部(interior)， $\partial D$ は $D$ の境界である．

$D^i$ が開集合であることから， $D^i$ での最大点，最小点の候補は $f$ の導関数を考えることで絞ることができる．これが1,2である．

残る3であるが， $\partial D$ は一般に有限集合ではないため， $\partial D$ からさらに有限個に候補を絞りたい．ここで，境界 $\partial D$ 上での関数 $f$ の極大点，極小点の候補を絞る[Lagrange(ラグランジュ)の未定乗数法]が非常に有効にはたらく．