微分積分学

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ガウス関数のフーリエ変換を具体的に計算する

Fourie変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり,理工系の様々な分野で重宝される.

G(x)=Ae^{-\eta x^2} (x\in\R)で定まる関数Gを(1次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いい,Gauss関数は正規分布の確率密度関数として知られる.

Gauss関数はFourier変換を施してもGauss関数であるという性質をもつ.

Fourier変換を数学的に定義するには,ある程度の条件(可積分性など)が必要である.具体的には,Lebesgue可積分であるような関数には,Fourier変換を定義することができる.

本記事では,Gauss関数にFourier変換が定義できることを説明し,Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になることを計算により確かめる.

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ラグランジュの未定乗数法の直感的な理解と証明

N次元ユークリッド空間R^N上の有界閉集合(コンパクト集合)D上で定義された連続関数fは最大値,最小値を持つ(Heineの定理)ことはよく知られており,このときのfが最大点,最小点は次のいずれかである.

  1. fの全ての偏微分係数が存在して,\pd{f}{x_1}(a)=\dots=\pd{f}{x_N}(a)=0となる点a\in D^i
  2. fが微分可能でない点a\in D^i
  3. \partial D上の点

ただし,D^iDの内部(interior),\partial DDの境界である.

D^iが開集合であることから,D^iでの最大点,最小点の候補はfの導関数を考えることで絞ることができる.これが1,2である.

残る3であるが,\partial Dは一般に有限集合ではないため,\partial Dからさらに有限個に候補を絞りたい.ここで,境界\partial D上での関数fの極大点,極小点の候補を絞る[Lagrange(ラグランジュ)の未定乗数法]が非常に有効にはたらく.

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微分積分学の基本定理とその証明

「積分」を定義するときの1つの方法として,「Riemann和の極限(長方形近似)」を用いて積分を定義する方法がある.

この面積による積分を「Riemann積分」というが,Riemann積分を定義から計算しようとすると積分はRiemann和から計算しなければならず,計算は面倒になる.

そこで,Riemann和を経由せずに積分を計算するための定理として,「微分積分法の基本定理」がある.

この「微分積分法の基本定理」によって,積分はRiemann和を求めずとも,原始関数によって計算できることが分かる.

なお,高校数学においては「積分は微分の逆演算」として定めるが,この定義によれば「微分積分学の定理」は明らかである.しかし,積分が求積に用いられてきたという側面を見れば,この定義はいくぶん不自然である.

この記事では,「微分積分学の基本定理」の主張とその証明を述べる.

この記事での「積分」は,全てRiemann積分を指すものとする.

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