「微分積分学」一覧

ガウス関数のフーリエ変換を具体的に計算する

2018/11/22 2019/12/14 微分積分学

Fourie変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり，理工系の様々な分野で重宝される．

$G(x)=Ae^{-\eta x^2}$ ( $x\in\R$ )で定まる関数 $G$ を(1次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いい，Gauss関数は正規分布の確率密度関数として知られる．

Gauss関数はFourier変換を施してもGauss関数であるという性質をもつ．

Fourier変換を数学的に定義するには，ある程度の条件(可積分性など)が必要である．具体的には，Lebesgue可積分であるような関数には，Fourier変換を定義することができる．

本記事では，Gauss関数にFourier変換が定義できることを説明し，Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になることを計算により確かめる．

2017/6/26 2019/12/13 微分積分学

例えば， $f(x,y)=x^2+3xy+y^2+1$ の最小値を求めたいときには， $\pd{f}{x}(a,b)=\pd{f}{y}(a,b)=0$ となる点 $(a,b)$ を求めることによって， $f(x,y)$ が最小値をとる点の候補が得られる．

しかし，これが「『 $x+y=1$ 上での』 $f(x,y)=x^2+3xy+y^2+1$ の最小値を求めたい」のように， $x$ と $y$ に制約がかかると単純に $f$ の偏導関数から最小値を求めることができない．

そこで，曲線や直線上といった「制約条件下」での関数の極値を求めるために，[Lagrange(ラグランジュ)の未定乗数法]がある．

この記事では，[Lagrangeの未定乗数法]の考え方のイメージを説明し，証明を与える．

2017/2/2 2019/12/15 微分積分学

「積分」を定義するときの1つの方法として，「Riemann和の極限(長方形近似)」を用いて積分を定義する方法がある．

この面積による積分を「Riemann積分」というが，Riemann積分を定義から計算しようとするとRiemann和から計算しなければならず，計算は面倒になる．

そこで，Riemann和を経由せずに積分を計算するための定理として，「微分積分法の基本定理」がある．

この「微分積分法の基本定理」によって，積分はRiemann和を求めずとも，原始関数によって計算できることが分かる．

なお，高校数学においては「積分は微分の逆演算」として定めるが，この定義によれば「微分積分学の定理」は明らかである．しかし，積分が求積に用いられてきたという側面を見れば，この定義は少々不自然である．

この記事では，「微分積分学の基本定理」の主張とその証明を述べる．

この記事での「積分」は，全てRiemann積分を指すものとする．