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微分積分学一覧

ガンマ関数は階乗の一般化|定義と基本的性質

5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1のように,正整数nに対して「階乗n!」はn以下の全ての正整数の積を表します.

そこで実数や複素数に「階乗」を拡張するにはどのように考えればよいでしょうか?

結論から言えば,「階乗の一般化」として「\Gamma(ガンマ)関数」とよばれる関数があります.

積分で表される\Gamma関数は実数だけでなく,複素数に対しても定義できる場合もあり,様々な場面で用いられます.

この記事では,\Gamma関数の基礎を説明します.

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ガウス関数のフーリエ変換を実際に計算する

Fourie変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり,理工系の様々な分野で重宝される.

G(x)=Ae^{-\eta x^2} (x\in\R)で定まる関数Gを(1次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いい,Gauss関数は正規分布の確率密度関数として知られ,Gauss関数はFourier変換を施してもGauss関数であるという性質をもつ.

Fourier変換を数学的に定義するには,ある程度の条件(可積分性など)が必要である.具体的には,Lebesgue可積分であるような関数には,Fourier変換を定義することができる.

本記事では,Gauss関数にFourier変換が定義できることを説明し,Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になることを計算により確かめる.

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ラグランジュの未定乗数法の直感的な理解と証明

例えば,

    \begin{align*} f(x,y)=x^2+3xy+y^2+1 \end{align*}

の最小値を求めたいとき,

    \begin{align*} \pd{f}{x}(a,b)=\pd{f}{y}(a,b)=0 \end{align*}

を満たす点(a,b)を求めることによって,f(x,y)が最小値をとる点の候補が得られる.

しかし,これが「『x+y=1上での』f(x,y)=x^2+3xy+y^2+1の最小値を求めたい」のように,xyに制約がかかると単純にfの偏導関数から最小値を求めることができない.

そこで,曲線や直線上といった「制約条件下」での関数の極値を求めるために,[Lagrange(ラグランジュ)の未定乗数法]がある.

この記事では,[Lagrangeの未定乗数法]の考え方のイメージを説明し,証明を与える.

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微分積分学の基本定理とその証明|微分と積分の関係を導出

求積の方法として「積分」を定義する方法はいくつかあるが,最もシンプルな積分の定義に[Riemann(リーマン)積分]がある.

[Riemann積分]は関数の定義域Iを細かく分割して,長方形近似から(Riemann和を求めて)求積する方法である.

[Riemann積分]をこの定義から計算しようとすると,長方形近似から計算をしなければならず計算は面倒になる.

そこで,長方形近似を経由せずに積分を計算するための定理として[微分積分法の基本定理]がある.

なお,高校数学においては「微分の逆演算」として積分を定めるが,この定義によれば「微分積分学の定理」は明らかである.

しかし,連続でない関数に対してこの定義はうまくいかないので,主に連続関数を扱う高校数学ならではの定義となっている.

この記事の「積分」は,全て[Riemann積分]を指すものとする.

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