微分積分学

2018.11.22

ガウス関数のフーリエ変換を具体的に計算する

Fourie変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり，理工系の様々な分野で重宝される．

$G(x)=Ae^{-\eta x^2}$ ( $x\in\R$ )で定まる関数 $G$ を(1次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いい，Gauss関数は正規分布の確率密度関数として知られる．

Gauss関数はFourier変換を施してもGauss関数であるという性質をもつ．

Fourier変換を数学的に定義するには，ある程度の条件(可積分性など)が必要である．具体的には，Lebesgue可積分であるような関数には，Fourier変換を定義することができる．

本記事では，Gauss関数にFourier変換が定義できることを説明し，Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になることを計算により確かめる．

【良いと思ったらシェアを！】

2017.06.26

ラグランジュの未定乗数法の直感的な理解と証明

$N$ 次元ユークリッド空間 $R^N$ 上の有界閉集合(コンパクト集合) $D$ 上で定義された連続関数 $f$ は最大値，最小値を持つ(Heineの定理)ことはよく知られており，このときの $f$ が最大点，最小点は次のいずれかである．

$f$ の全ての偏微分係数が存在して， $\pd{f}{x_1}(a)=\dots=\pd{f}{x_N}(a)=0$ となる点 $a\in D^i$ ．
$f$ が微分可能でない点 $a\in D^i$
$\partial D$ 上の点

ただし， $D^i$ は $D$ の内部(interior)， $\partial D$ は $D$ の境界である．

$D^i$ が開集合であることから， $D^i$ での最大点，最小点の候補は $f$ の導関数を考えることで絞ることができる．これが1,2である．

残る3であるが， $\partial D$ は一般に有限集合ではないため， $\partial D$ からさらに有限個に候補を絞りたい．ここで，境界 $\partial D$ 上での関数 $f$ の極大点，極小点の候補を絞る[Lagrange(ラグランジュ)の未定乗数法]が非常に有効にはたらく．

【良いと思ったらシェアを！】

2017.02.02

微分積分学の基本定理とその証明

「積分」を定義するときの1つの方法として，「Riemann和の極限(長方形近似)」を用いて積分を定義する方法がある．

この面積による積分を「Riemann積分」というが，Riemann積分を定義から計算しようとすると積分はRiemann和から計算しなければならず，計算は面倒になる．

そこで，Riemann和を経由せずに積分を計算するための定理として，「微分積分法の基本定理」がある．

この「微分積分法の基本定理」によって，積分はRiemann和を求めずとも，原始関数によって計算できることが分かる．

なお，高校数学においては「積分は微分の逆演算」として定めるが，この定義によれば「微分積分学の定理」は明らかである．しかし，積分が求積に用いられてきたという側面を見れば，この定義はいくぶん不自然である．

この記事では，「微分積分学の基本定理」の主張とその証明を述べる．

この記事での「積分」は，全てRiemann積分を指すものとする．

【良いと思ったらシェアを！】

カテゴリー別記事