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「微分積分学」一覧

ガンマ関数は階乗の一般化｜定義と基本的性質

2020/4/1 微分積分学

$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$ のように，正整数 $n$ に対して「階乗 $n!$ 」は $n$ 以下の全ての正整数の積を表します．

そこで実数や複素数に「階乗」を拡張するにはどのように考えればよいでしょうか？

結論から言えば，「階乗の一般化」として「 $\Gamma$ (ガンマ)関数」とよばれる関数があります．

積分で表される $\Gamma$ 関数は実数だけでなく，複素数に対しても定義できる場合もあり，様々な場面で用いられます．

この記事では， $\Gamma$ 関数の基礎を説明します．

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ガウス関数のフーリエ変換を実際に計算する

2018/11/22 2020/3/23 微分積分学

Fourie変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり，理工系の様々な分野で重宝される．

$G(x)=Ae^{-\eta x^2}$ ( $x\in\R$ )で定まる関数 $G$ を(1次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いい，Gauss関数は正規分布の確率密度関数として知られ，Gauss関数はFourier変換を施してもGauss関数であるという性質をもつ．

Fourier変換を数学的に定義するには，ある程度の条件(可積分性など)が必要である．具体的には，Lebesgue可積分であるような関数には，Fourier変換を定義することができる．

本記事では，Gauss関数にFourier変換が定義できることを説明し，Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になることを計算により確かめる．

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ラグランジュの未定乗数法の直感的な理解と証明

2017/6/26 2020/3/2 微分積分学

例えば，

$\begin{align*} f(x,y)=x^2+3xy+y^2+1 \end{align*}$

の最小値を求めたいとき，

$\begin{align*} \pd{f}{x}(a,b)=\pd{f}{y}(a,b)=0 \end{align*}$

を満たす点 $(a,b)$ を求めることによって， $f(x,y)$ が最小値をとる点の候補が得られる．

しかし，これが「『 $x+y=1$ 上での』 $f(x,y)=x^2+3xy+y^2+1$ の最小値を求めたい」のように， $x$ と $y$ に制約がかかると単純に $f$ の偏導関数から最小値を求めることができない．

そこで，曲線や直線上といった「制約条件下」での関数の極値を求めるために，[Lagrange(ラグランジュ)の未定乗数法]がある．

この記事では，[Lagrangeの未定乗数法]の考え方のイメージを説明し，証明を与える．

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微分積分学の基本定理とその証明｜微分と積分の関係を導出

2017/2/2 2020/2/20 微分積分学

求積の方法として「積分」を定義する方法はいくつかあるが，最もシンプルな積分の定義に[Riemann(リーマン)積分]がある．

[Riemann積分]は関数の定義域 $I$ を細かく分割して，長方形近似から(Riemann和を求めて)求積する方法である．

[Riemann積分]をこの定義から計算しようとすると，長方形近似から計算をしなければならず計算は面倒になる．

そこで，長方形近似を経由せずに積分を計算するための定理として[微分積分法の基本定理]がある．

なお，高校数学においては「微分の逆演算」として積分を定めるが，この定義によれば「微分積分学の定理」は明らかである．

しかし，連続でない関数に対してこの定義はうまくいかないので，主に連続関数を扱う高校数学ならではの定義となっている．

この記事の「積分」は，全て[Riemann積分]を指すものとする．

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