微分積分学

以下は微分積分学に関する記事です．

微分積分学の基本

数列

微分法と積分法

そのほかの記事

正項級数の３つの基本の収束判定法｜具体例とともに解説

級数の中でも正項級数の収束・発散の判定条件は多く知られており，とくに「比較定理（比較原理）」「ダランベールの判定法（ratio test）」「コーシーの判定法」は基本的です．この記事では，それぞれの判定法を具体例とともに解説します．

微分積分学の基本

級数の考え方と厳密な定義｜コーシーの条件・絶対収束も解説

数列{aₙ}を初項から順に足し続けて値Sに近付くとき，{aₙ}の級数はSに収束するといいます．この記事では，級数の基本の考え方と定義から始めて，級数が収束するための必要十分条件であるコーシーの条件，十分条件である絶対収束を解説します．

微分積分学の基本

交項級数の定義と性質｜正負の項が交互に並ぶ級数の収束性

級数1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+(1/9)-……のように，正の項と負の項が交互に足されており，一定の条件を満たす級数を「交項級数」といい，交項級数は必ず収束することが知られています．この記事では，交項級数が収束することを証明します．

微分積分学

1/xᵖの広義積分が収束・発散するpの条件｜高次元の場合も解説

広義積分は関数の絶対値が小さいほど収束しやすく，大きいほど発散しやすくなります．1/xᵖの広義積分では「0付近での増大」と「無限遠方での減衰」が収束・発散を分けるポイントとなります．

微分積分学

偏微分の順序交換可能な条件と具体例｜不可能な具体例も紹介

２実変数x,yの実数値関数fの偏導関数のうち，∂²f/∂x∂yと∂²f/∂y∂xは多くの場合で等しくなります．この記事では，これらの偏導関数が等しくなる条件と，∂²f/∂x∂y(a,b)≠∂²f/∂y∂x(a,b)となる具体例を紹介します．

微分積分学

実数列{aₙ}はコーシー列なら収束する｜便利さも併せて解説

数列{aₙ}について，m,nを十分大きくすればaₙとa_mの誤差をどこまでも小さくできるとき，{aₙ}をコーシー列といいます．実数列ならコーシー列⇔収束列であり，このことから収束を簡単に示せる実数列があります．

微分積分学の基本

ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理｜区間縮小法による証明

「有界実数列は収束する部分列をもつ」というボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理は「縁の下の力持ち」という言葉がよく似合う定理です．この記事では区間縮小法により，この定理を証明します．

微分積分学の基本

有理数の稠密性｜実数の「アルキメデスの性質」から証明する

有理数が実数（数直線）上に密に存在しているという性質を「有理数の集合の稠密性」といいます．この証明には「アルキメデスの性質」と呼ばれる実数の重要性質を用います．

微分積分学の基本

単調有界実数列の収束定理｜漸化式を解かずに極限を求める方法

一般に漸化式は解けるとは限らないので，漸化式を解かずに実数列{aₙ}の極限を求める方法があれば嬉しいですね．この記事では，単調収束定理を用いた実数列{aₙ}の極限の求め方を解説します．

微分積分学の基本

収束しない実数列｜実数列の３種類の発散と証明の例題

実数列{aₙ}が収束しないとき{aₙ}は発散するといいますが，発散には「∞に発散」「-∞に発散」「振動」の３種類があります．この記事では，これらの定義を厳密に扱い，具体例から証明の考え方も説明します．

微分積分学の基本

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