2015大学院入試｜京都大学 数学・数理解析専攻｜基礎科目I

大学院入試
2016.06.28
大学院入試

2015年度の京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「基礎科目I」の解答の方針と解答です．

ただし，採点基準などは公式に発表されていないため，ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得ます．ご注意ください．

また，十分注意して解答を作成していますが，論理の飛躍・誤りが残っている場合があります．

なお，過去問は京都大学のホームページから入手できます．

過去の入試問題 | Department of Mathematics Kyoto University
www.math.kyoto-u.ac.jp

大学院入試の解答に関する記事一覧はこちら

【大学別　大学院入試　数学解答一覧】

問題と解答の方針

問題は４問あり，全４問を解答します．試験時間は２時間です．

問１

次の広義積分を求めよ．

   \begin{align*}\displaystyle\iint_{D}\frac{y^2e^{-xy}}{x^2+y^2}\,dxdy.\end{align*}

ここで，$D=\set{(x,y)\in\R^2}{0<y\le x}$とする．

解答の方針

非有界領域の重積分なので，何らかの条件により累次積分に直せることを言いたい．

いまは被積分関数が非負であることからTonelliの定理が使える．

あとは極座標変換により$r$, $\theta$の順に積分をすればよい．

解答例


$D=\set{(r\cos{\theta},r\sin{\theta})\in\R^2}{r>0,0<\theta\le \frac{\pi}{4}}$と表せる．

また，被積分関数は非負だからTonelliの定理より

   \begin{align*}&\iint_{D}\frac{y^2e^{-xy}}{x^2+y^2}\,dxdy \\=&\int_{0}^{\pi/4}\bra{\int_{0}^{\infty}\frac{r^2\sin^2\theta\cdot e^{-r^2\cos\theta\sin\theta}}{r^2}\cdot r\,dr}\,d\theta \\=&\int_{0}^{\pi/4}\sin^2\theta\bra{\int_{0}^{\infty}re^{-r^2\cos\theta\sin\theta}\,dr}\,d\theta\end{align*}

この積分において$0<\theta\le \frac{\pi}{4}$だから$0<\cos\theta\sin\theta$なので，$r$の積分について

   \begin{align*}&\int_{0}^{\infty}re^{-r^2\cos\theta\sin\theta}\,dr \\=&\lim_{R\to\infty}\bra{-\frac{1}{2\cos{\theta}\sin{\theta}}\brc{e^{-r^2\cos\theta\sin\theta}}_{r=0}^{r=R}} \\=&\lim_{R\to\infty}\frac{-e^{-R^2\cos\theta\sin\theta}+1}{2\cos{\theta}\sin{\theta}} =\frac{1}{2\cos{\theta}\sin{\theta}}\end{align*}

である．よって，

   \begin{align*}&\iint_{D}\frac{y^2e^{-xy}}{x^2+y^2}\,dxdy \\=&\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\,d\theta =-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\frac{(\cos{\theta})'}{\cos{\theta}}\,d\theta \\=&-\frac{1}{2}\brc{\log{|\cos{\theta}|}}_{0}^{\pi/4} =-\frac{1}{2}\brb{\log{\bra{\cos{\frac{\pi}{4}}}}-\log{(\cos{0})}} \\=&-\frac{1}{2}\log{\frac{1}{\sqrt{2}}} =\frac{1}{4}\log{2}\end{align*}

を得る．

問２

$\R^2$で定義された関数

   \begin{align*}f(x,y)=\frac{4x^2+(y+2)^2}{x^2+y^2+1}\end{align*}

のとりうる値の範囲を求めよ．

解答の方針

最小値が０であることはすぐに分かる．問題は最大値．

原点からの距離が十分大きなところではある数以下であることを示し，原点からの距離がそれ以下のコンパクト集合上で最大値を求めれば良い．

具体的には，極座標変換をして，各$\theta$において

   \begin{align*}f(x,y)\xrightarrow[]{r\to\infty}4-3\sin^2\theta\end{align*}

となるので，ある$R>0$が存在して$r\ge R$では$f(x,y)<9/2$となる．あとは$f$の停留点を求めれば良い．

解答例


(i)　最小値について，実数の２乗は常に非負だから$f(x,y)\ge0$である．また，

   \begin{align*}f(0,-2)=0\end{align*}

なので，最小値は０である．

(ii)　最大値について，

   \begin{align*}\pd{f}{x}(x,y) =&\frac{8x(x^2+y^2+1)-2x(4x^2+y^2+4y+4)}{(x^2+y^2+1)^2} \\=&\frac{2x(4x^2+4y^2+4)-2x(4x^2+y^2+4y+4)}{(x^2+y^2+1)^2} \\=&\frac{2x(3y^2-4y)}{(x^2+y^2+1)^2} =\frac{2xy(3y-4)}{(x^2+y^2+1)^2}, \\\pd{f}{y}(x,y) =&\frac{2(y+2)(x^2+y^2+1)-2y(4x^2+y^2+4y+4)}{(x^2+y^2+1)^2} \\=&\frac{2(x^2y+2x^2+y^3+2y^2+y+2)-2(4x^2y+y^3+4y^2+4y)}{(x^2+y^2+1)^2} \\=&\frac{-2(3x^2y-2x^2+2y^2+3y-2)}{(x^2+y^2+1)^2}\end{align*}

だから，

   \begin{align*}\begin{cases} \pd{f}{x}(x,y)=0\\ \pd{f}{y}(x,y)=0 \end{cases} \iff\begin{cases} xy(3y-4)=0\\ 3x^2y-2x^2+2y^2+3y-2=0 \end{cases}\end{align*}

である．

[1]　$x=0$のとき

   \begin{align*}&3x^2y-2x^2+2y^2+3y-2 \\=&2y^2+3y-2 \\=&(2y-1)(y+2)\end{align*}

である．よって，$(0,\frac{1}{2})$, $(0,-2)$は停留点であり，他には存在しない．

[2]　$y=0$のとき，

   \begin{align*}&3x^2y-2x^2+2y^2+3y-2 \\=&-2x^2-2 <0\end{align*}

である．よって，$3x^2y-2x^2+2y^2+3y-2=0$をみたし得ないから停留点は存在しない．

[3]　$y=\frac{4}{3}$のとき，

   \begin{align*}&3x^2y-2x^2+2y^2+3y-2 \\=&4x^2-2x^2+\frac{32}{9}+4-2 \\=&2x^2+\frac{40}{9} <0\end{align*}

である．よって，$3x^2y-2x^2+2y^2+3y-2=0$をみたし得ないから停留点は存在しない．

以上より，$f$の停留点は$(0,\frac{1}{2})$, $(0,-2)$に限り，$f(0,\frac{1}{2})=5$, $f(0,-2)=0$である．

また，極座標変換$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$で

   \begin{align*}f(x,y) =&\frac{4x^2+y^2+4y+4}{x^2+y^2+1} \\=&\frac{4r^2\cos^{2}{\theta}+r^2\sin^{2}{\theta}+4r\sin{\theta}+4}{r^2+1} \\\to\ &1+3\cos^{2}{\theta} \le1+3=4\quad (r\to\infty)\end{align*}

だから，ある$R>0$が存在して，$x^2+y^2\ge R^2$を満たすとき$f(x,y)\le4$をみたす．

よって，$f(0,\frac{1}{2})=5$と併せて，$f$は$\set{(x,y)\in\R^2}{x^2+y^2\ge R}$上で最大値をとり得ないことが分かる．

$D:=\set{(x,y)\in\R^2}{x^2+y^2\le R}$はコンパクト集合で$f$は連続だから，$f$は$D$の境界上または$D$内部の停留点で最大値をとる．

いま，$D$の境界上で$f(x,y)\le4<5$だったから，$f$は停留点$(0,\frac{1}{2})$で最大値５をとる．

$f$は$\R^2$上で連続だったから，(i), (ii)と併せて$f$のとりうる値の範囲は０以上５以下である．

解答の方針２

$-1$を引き出すことによって，平方完成から示すこともできる．

解答例２


明らかに$f(x,y)\ge0$であり，$f(0,-2)=0$だから最小値は０である．

また，

   \begin{align*}f(x,y) =&5+\frac{-x^2-4y^2+4y-1}{x^2+y^2+1} \\=&5-\frac{x^2+(2y+1)^2}{x^2+y^2+1} \le5\end{align*}

だから$f(x,y)\le5$で，$f(0,-\frac{1}{2})=5$だから最大値は５である．

$f$は$\R^2$上で連続だったから，$f$のとりうる値の範囲は０以上５以下である．

問３

$a,b$を複素数とする．3次正方行列

   \begin{align*}A=\pmat{2&a&a\\b&2&0\\-b&0&2},\quad B=\pmat{2&1&0\\0&2&0\\0&0&2}\end{align*}

について，以下の問に答えよ．

(i)　行列$A$の固有値を求めよ．

(ii)　行列$A$と行列$B$が相似となるような複素数$a,b$をすべて求めよ．ただし，$A$と$B$が相似であるとは，複素正則行列$P$で$A=P^{-1}BP$をみたすものが存在することをいう．

解答の方針

(i)　固有値は行列式$|xI-A|=0$の解$x$である．

(ii)　行列$A$と行列$B$が正則であることと，行列$A$のJordan標準形と行列$B$のJordan標準形が一致することが同値であることを用いれば良い．

解答例


(i)　$I$を3次単位行列とする．

   \begin{align*}|xI-A| =&\vmat{x-2&-a&-a\\-b&x-2&0\\b&0&x-2} \\=&\{(x-2)^3+0+0\}-\{-ab(x-2)+ab(x-2)\} \\=&(x-2)^3\end{align*}

であるから，$A$の固有値は２である．

(ii)　$A$, $B$が相似であることと，$A$, $B$のJordan標準形が一致することは同値である．

$B$はもとよりJordan行列$J_2(2)\oplus J_1(2)$だから，$A$, $B$が相似であることと

   \begin{align*}\begin{cases} \operatorname{rank}(2I-A)=1\\ \operatorname{rank}(2I-A)^2=0 \end{cases}\end{align*}

は同値である．

   \begin{align*}\operatorname{rank}(2I-A)=1 \iff&\operatorname{rank}\bmat{0&-a&-a\\-b&0&0\\b&0&0}=1 \\\iff&\operatorname{rank}\bmat{0&a&a\\b&0&0\\0&0&0}=1, \\\operatorname{rank}(2I-A)^2=0 \iff&\operatorname{rank}\bmat{0&0&0\\0&ab&ab\\0&-ab&-ab}=0 \\\iff&\bmat{0&0&0\\0&ab&ab\\0&-ab&-ab}=O\end{align*}

なので，$ab=0$かつ$(a,b)\neq(0,0)$をみたす組$(a,b)$が求める複素数の組である．

問４

$a,b,c,d$を複素数とする．次の行列の階数を求めよ．

   \begin{align*}\pmat{ 2&-3&6&0&-6&a\\ -1&2&-4&1&8&b\\ 1&0&0&1&6&c\\ 1&-1&2&0&-1&d }\end{align*}

解答の方針

行列の階数が基本変形に関して不変であることを用いれば良い．

解答例


行基本変形により，

   \begin{align*}&\pmat{2&-3&6&0&-6&a\\-1&2&-4&1&8&b\\1&0&0&1&6&c\\1&-1&2&0&-1&d} \\\to&\pmat{0&-3&6&-2&-18&a-2c\\0&2&-4&2&14&b+c\\1&0&0&1&6&c\\0&-1&2&-1&-7&d-c} \\\to&\pmat{0&0&0&1&3&(a-2c)+3(d-c)\\0&0&0&0&0&(b+c)+2(d-c)\\1&0&0&1&6&c\\0&1&-2&1&7&c-d} \\=&\pmat{0&0&0&1&3&a-5c+3d\\0&0&0&0&0&b-c+2d\\1&0&0&1&6&c\\0&1&-2&1&7&c-d}\end{align*}

だから，階数は

   \begin{align*}\operatorname{rank}\pmat{2&-3&6&0&-6&a\\-1&2&-4&1&8&b\\1&0&0&1&6&c\\1&-1&2&0&-1&d} =\begin{cases} 3&(c=b+2d)\\ 4&(c\neq b+2d) \end{cases}\end{align*}

である．

参考文献

以下，私も使ったオススメの入試問題集を挙げておきます．

詳解と演習大学院入試問題〈数学〉

[海老原円，太田雅人 共著/数理工学社]

理工系の修士課程への大学院入試問題集ですが，基礎〜標準的な問題が広く大学での数学の基礎が復習できる総合問題集として利用することができます．

実際，まえがきにも「単なる入試問題の解説にとどまらず，それを通じて，数学に関する読者の素養の質を高めることにある」と書かれているように，必ずしも大学院入試を受験しない一般の学習者にとっても学びやすい問題集です．また，構成が読みやすいのも個人的には嬉しいポイントです．

第１章　数え上げと整数
第２章　線形代数
第３章　微積分
第４章　微分方程式
第５章　複素解析
第６章　ベクトル解析
第７章　ラプラス変換
第８章　フーリエ変換
第９章　確率

一方で，問題数はそれほど多くないので，多くの問題を解きたい方には次の問題集もオススメです．

なお，本書については，以下の記事で書評としてまとめています．

【オススメの問題集｜詳解と演習 大学院入試問題(数理工学社)】

本書の目次・必要な知識・良い点と気になる点・オススメの使い方などをレビューしています．

演習 大学院入試問題

[姫野俊一，陳啓浩 共著/サイエンス社]

上記の問題集とは対称的に問題数が多く，まえがきに「修士の基礎数学の問題の範囲は，ほぼ本書中に網羅されている」と書かれているように，広い分野から問題が豊富に掲載されています．

全２巻で，

１巻第１編　線形代数
１巻第２編　微分・積分学
１巻第３編　微分方程式
２巻第４編　ラプラス変換，フーリエ変換，特殊関数，変分法
２巻第５編　複素関数論
２巻第６編　確率・統計

が扱われています．

地道にきちんと地に足つけた考え方で解ける問題が多く，確かな「腕力」がつくテキストです．入試では基本問題は確実に解けることが大切なので，その意味で試験への対応力が養われると思います．

なお，私自身は受験生時代に計算力があまり高くなかったので，この本の問題で訓練したのを覚えています．

なお，本書については，以下の記事で書評としてまとめています．

【オススメの問題集｜演習 大学院入試問題[数学](サイエンス社)】

本書の目次・必要な知識・良い点と気になる点・オススメの使い方などをレビューしています．

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