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H27院試/京都大学/数学・数理解析専攻/基礎科目I

  
   

平成27年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「基礎科目I」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

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問題と解答の方針

問題は4問あります.試験時間は2時間です.

解答はこのページの下部にPDFで掲載しています.

問1

次の広義積分を求めよ.

\displaystyle\iint_{D}\f{y^2e^{-xy}}{x^2+y^2}\ dx\ dy.

ここで,D=\set{(x,y)\in\R^2}{0<y\le x}とする.

[解答の方針]

非有界領域の重積分なので,何らかの条件により累次積分に直せることを言いたい.いまは被積分関数が非負であることからTonelliの定理が使える.なお,非有界閉領域の列をとるにしても,x軸がDに含まれていないので面倒である.

あとは極座標変換によりr,\thetaの順に積分をすればよい.

問2

\R^2で定義された関数

f(x,y)=\f{4x^2+(y+2)^2}{x^2+y^2+1}

のとりうる値の範囲を求めよ.

[解答の方針]

最小値が0であることはすぐに分かる.問題は最大値.

原点からの距離が十分大きなところではある数以下であることを示し,原点からの距離がそれ以下のコンパクト集合上で最大値を求めれば良い.

具体的には,極座標変換をして,各\thetaにおいて

f(x,y)\xrightarrow[]{r\to\infty}4-3\sin^2\theta

となるので,あるR>0が存在してr\ge Rではf(x,y)<9/2となる.あとはfの停留点を求めれば良い.

問3

a,bを複素数とする.3次正方行列

A=\begin{pmatrix} 2& a& a\\ b& 2& 0\\ -b& 0& 2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2&1&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}

について,以下の問に答えよ.

(i) 行列Aの固有値を求めよ.

(ii) 行列Aと行列Bが相似となるような複素数a,bをすべて求めよ.ただし,ABが相似であるとは,複素正則行列PA=P^{-1}BPをみたすものが存在することをいう.

[解答の方針]

(i) 固有値は行列式|xI-A|=0の解xである.

(ii) 行列Aと行列Bが正則であることと,行列AのJordan標準形と行列BのJordan標準形が一致することが同値であることを用いれば良い.

問4

a,b,c,dを複素数とする.次の行列の階数を求めよ.

\begin{pmatrix} 2& -3& 6& 0& -6& a\\ -1& 2& -4& 1& 8& b\\ 1& 0& 0& 1& 6& c\\ 1& -1& 2& 0& -1& d \end{pmatrix}

[解答の方針]

行列の階数が基本変形に関して不変であることを用いれば良い.

解答

解答は以下のPDFに掲載しています.

H27_基礎科目I_解答

以下は注意事項です.

  • 解答作成には万全を期していますが,論理の飛躍,誤りがあることは有り得ます.
  • 本PDFは私に著作権があります.
  • 無断複製,無断転載は一切禁止します.これらの行為が確認された場合は,止むを得ず法的手段に出ることがあります.

この解答が大学院受験生の一助になれば幸いです.

参考文献

以下の3冊は,実際に私が使用したものである.

  • 「演習大学院入試問題(数学I) 第3版」(姫野俊一/陳啓浩 共著,サイエンス社)
  • 「演習大学院入試問題(数学II) 第3版」(姫野俊一/陳啓浩 共著,サイエンス社)
  • 「詳解と演習大学院入試問題〈数学〉」(海老原円 著,数理工学社)

演習大学院入試問題

ところどころ誤植があったり,もう少しスッキリ解答できるところがあるのが残念.しかし,問題量は非常に豊富である.全2巻で,

1巻

第1編 線形代数
第2編 微分・積分学
第3編 微分方程式

2巻

第4編 ラプラス変換,フーリエ変換,特殊関数,変分法
第5編 複素関数論
第6編 確率・統計

が扱われている.

問題の種類としては発想問題よりも,ちゃんと地に足つけた考え方で解ける問題が多い.

計算量が多い問題,基本問題も多く扱われているが,試験では基本問題ほど手早く処理することが求められるので,その意味で試験への対応力が養われるであろう.(私自身,計算力があまり高くないので苦労した.)

詳解と演習大学院入試問題〈数学〉

上述の姫野氏の問題集とは対照的に,問題数はそこまで多くないが1問1問の解説が丁寧になされている.また,構成が読みやすい.

第1章 数え上げと整数
第2章 線形代数
第3章 微積分
第4章 微分方程式
第5章 複素解析
第6章 ベクトル解析
第7章 ラプラス変換
第8章 フーリエ変換
第9章 確率

典型的な問題でも複数の解法を紹介しているので,私は参考になることも多かった.個人的にはこの本には非常に好感が持てる.

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