2022年度｜京都大学院試｜数学・数理解析専攻｜基礎科目

問の広義積分を$I$とおく．任意に$n\in\N$をとり，

\begin{align*}D_{n}=\set{(x,y)\in\R^2}{x\ge0,y\ge0,1\le x^2+y^2\le n}\end{align*}

とおく．各$D_n$は有界閉(コンパクト)であり，$\bigcup_{n=1}^{\infty}D_n=D$である．

ここで，極座標変換$(r,\theta)\to(x,y)=(r\cos{\theta},r\sin{\theta})$により，

\begin{align*}I&=\int_{1}^{n}\bra{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{r\cdot r\sin{\theta}}{(1+r-r\cos{\theta})^2r^{2\alpha}}\,d\theta}\,dr
\\&=\int_{1}^{n}\frac{1}{r^{2\alpha-2}}\bra{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{\theta}}{(1+r-r\cos{\theta})^2}\,d\theta}\,dr\end{align*}

である．$\theta$に関する積分は

\begin{align*}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{\theta}}{(1+r-r\cos{\theta})^2}\,d\theta
&=-\frac{1}{r}\brc{\frac{1}{1+r-r\cos{\theta}}}_{0}^{\frac{\pi}{2}}
\\&=-\frac{1}{r}\bra{\frac{1}{1+r}-1}=\frac{1}{1+r}\end{align*}

なので，

\begin{align*}I=\int_{1}^{n}\frac{1}{(1+r)r^{2\alpha-2}}\,dr\end{align*}

となる．ここで，$1\le r\le n$のとき

\begin{align*}r^{2\alpha-1}<(1+r)r^{2\alpha-2}<2r^{2\alpha-1}\end{align*}

であり，$\lim\limits_{n\to\infty}\dint_{1}^{n}\dfrac{1}{r^{2\alpha-1}}\,dr$が収束するための必要十分条件は$2\alpha-1>1\iff \alpha>1$である．

よって，$\alpha\le1$なら

\begin{align*}I>\int_{0}^{1}\frac{1}{2r^{2\alpha-1}}\,dr=\infty\end{align*}

だから発散し，$\alpha>1$なら

\begin{align*}I<\int_{0}^{1}\frac{1}{r^{2\alpha-1}}\,dr<\infty\end{align*}

だから収束する．以上より，求める条件は$\alpha>1$である．

$w_1,w_2,w_3,w_4$の定義から

\begin{align*}&[w_1,w_2,w_3,w_4]=[v_1,v_2,v_3,v_4]A,
\\&A=\bmat{1&1&2&1\\-1&a-1&-2&-1\\1&1&a+2&1\\0&-a&0&a+1}\end{align*}

である．$v_1,v_2,v_3,v_4$は１次独立だから正方行列$[v_1,v_2,v_3,v_4]$は正則行列であることに注意する．

（１）$w_1,w_2,w_3,w_4$が１次独立であることと，正方行列$[w_1,w_2,w_3,w_4]$が正則行列であることは同値である．

よって，正方行列$A$が正則行列（すなわち$\rank{A}=4$）となる$a$の必要十分条件を求めればよい．

\begin{align*}\rank{A}=\rank{\bmat{1&1&2&1\\0&a&0&0\\0&0&a&0\\0&-a&0&a+1}}
=\rank{\bmat{1&1&2&1\\0&a&0&0\\0&0&a&0\\0&0&0&a+1}}\end{align*}

だから，$\rank{A}=4\iff a\neq0,-1$である．

（２）$a=0,-1$のとき，（１）より$w_1,w_2,w_3,w_4$は１次従属であり，

\begin{align*}\dim{\anb{w_1,w_2,w_3,w_4}}
&=\rank{[w_1,w_2,w_3,w_4]}
\\&=\rank{\bmat{1&1&2&1\\0&a&0&0\\0&0&a&0\\0&0&0&a+1}}
\\&=\begin{cases}2,&a=-1,\\3,&a=0\end{cases}\end{align*}

である．ただし，２つ目の等号では正則行列をかけても行列の階数が変化しないことを用いた．

中国式剰余定理より

\begin{align*}G\to\Z/6\Z\times\Z/12\Z;(a,b,c,d)\mapsto(ab,c d)\end{align*}

は同型である．また，この同型で$H$は

\begin{align*}H\to \Z/6\Z\times\{0\}\end{align*}

に対応する．$G’=\Z/6\Z\times\Z/12\Z$, $H’=\Z/6\Z\times\{0\}$とすると，$G’$の位数$12$の部分群$K’$で$G’=K’+H’$となるものの数を求めればよい．

$|K’|=12$に注意すると，$K’$が条件を満たすことは，$K’$は第２成分が$0,1,2,\dots,11$の元を１つずつもつことと必要十分である．よって，$K’$は１つの元から生成されるので，条件を満たすものは

\begin{align*}K’=\anb{(a,b)}\quad(a=0,1,2,\dots,5;b=1,5,7,11)\end{align*}

である．これらの群のうち同じものを１つにまとめると

\begin{align*}K’=\anb{(a,1)}\quad(a=0,1,2,\dots,5)\end{align*}

なので，条件を満たす部分群$K$は６個である．

$f$の定義より

\begin{align*}f(0)=\int_{0}^{\infty}|t\sin{t}|e^{-t}\,dt\le\int_{0}^{\infty}te^{-t}\,dt=1\end{align*}

である．また，$|x|\ge3$のとき，三角不等式と併せて

\begin{align*}f(x)&\ge\int_{0}^{1}|x+t\sin{t}|e^{-t}\,dt\ge\int_{0}^{1}(|x|-|t\sin{t}|)e^{-t}\,dt
\\&\ge\int_{0}^{1}(|x|-1)e^{-t}\,dt=(|x|-1)(1-e^{-1})
\\&>2\Bigl(1-\frac{1}{2}\Bigr)=1\end{align*}

である．ただし，$e>2$であることを用いた．

さらに，任意の$x\in\R$と任意の$h>0$に対して，三角不等式と併せて

\begin{align*}\abs{f(x+h)-f(x)}&=\abs{\int_{0}^{\infty}(|(x+h)+t\sin{t}|-|x+t\sin{t}|)e^{-t}\,dt}
\\&\le\int_{0}^{\infty}\bigl||(x+h)+t\sin{t}|-|x+t\sin{t}|\bigr|e^{-t}\,dt
\\&\le\abs{\int_{0}^{\infty}|h|e^{-t}\,dt}=|h|\end{align*}

なので，$\lim_{h\to0}\abs{f(x+h)-f(x)}=0$となって$f$は$\R$上連続である．

一般に有界閉（コンパクト）集合上の連続関数は最小値をもつから，$f$は$[-5,5]$上に最小値を持つ．

$[-5,5]$上の$f$の最小値は$f(0)=1$以下だから，$|x|\ge5$で$f(x)\ge2$であることと併せて$f$は$\R$上で最小値をもつ．

領域$\C\setminus\{\pm i\}$上の正則関数$f$を

\begin{align*}f(z)=\frac{z^3e^{iz}}{(z^2+1)^2}\end{align*}

で定める．また，$R>1$に対して$f$が正則な領域内の閉曲線$\Gamma_R$を

\begin{align*}&L_{R}:=\set{z\in\C}{z=x,x\in[-R,R]},
\\&C_{R}:=\set{z\in\C}{z=Re^{it},t\in[0,\pi]},
\\&\Gamma_R:=L_{R}\cup C_{R}\end{align*}

で定める．ただし，閉曲線$\Gamma_R$上の向きは正方向（内部を左側に見ならが回る向き）とする．

このとき，求める広義積分を$I$とおくと，

\begin{align*}I&=\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R}\frac{x^3\sin{x}}{(x^2+1)^2}\,dx
\\&=\lim_{R\to\infty}\operatorname{Im}\int_{-R}^{R}\frac{x^3e^{ix}}{(x^2+1)^2}\,dx
\\&=\lim_{R\to\infty}\operatorname{Im}\int_{L_R}f(z)\,dz\end{align*}

である．ただし，$z\in\C$に対して$\operatorname{Im}z$は$z$の虚部を表す．

［１］閉曲線$\Gamma_R$の内部に存在する$f$の極は$i$で，$i$は$2$位の極である．よって，

\begin{align*}g(z)=(z-i)^2f(z)=\frac{z^3e^{iz}}{(z+i)^2}\end{align*}

で複素関数$g$を定めると，留数定理より

\begin{align*}\int_{\Gamma_R}f(z)\,dz
&=2\pi i\operatorname{Res}(f,i)
=\lim_{z\to i}2\pi i\cdot\frac{1}{1!}\od{g}{z}(z)
\\&=\lim_{z\to i}2\pi i\bra{\frac{-2z^3e^{iz}}{(z+i)^3}+\frac{3z^2e^{iz}+iz^3e^{iz}}{(z+i)^2}}
\\&=2\pi i\bra{\frac{-2i^3e^{i^2}}{8i^3}+\frac{3i^2e^{i^2}+i^4e^{i^2}}{4i^2}}
\\&=2\pi i\bra{-\frac{1}{4e}+\frac{1}{2e}}=\frac{\pi i}{2e}\end{align*}

を得る．

［２］$z\in C_R$は$z=R(\cos{t}+i\sin{t})$ ($t\in[0,\frac{\pi}{2}]$)と表せるので，

\begin{align*}|e^{iz}|=\abs{e^{R(i\cos{t}-\sin{t})}}=e^{-R\sin{t}}\end{align*}

であることに注意すると，三角不等式と併せて

\begin{align*}\abs{\int_{C_R}f(z)\,dz}
&\le\abs{\int_{0}^{\pi}\frac{z^3e^{iz}}{(z^2+1)^2}\,Rie^{it}dt}
\\&\le\int_{0}^{\pi}\frac{R^4e^{-R\sin{t}}}{(R^2-1)^2}\,dt
\\&=\frac{2R^4}{(R^2-1)^2}\int_{0}^{\pi/2}e^{-R\sin{t}}\,dt
\\&\le\frac{2R^4}{(R^2-1)^2}\int_{0}^{\pi/2}e^{-2Rt/\pi}\,dt
\\&\le\frac{\pi R^3}{(R^2-1)^2}(1-e^{-R})
\xrightarrow[]{R\to\infty}0\end{align*}

なので，$\lim_{R\to\infty}\abs{\int_{C_R}f(z)\,dz}=0$が成り立つ．

以上より，求める広義積分$I$は

\begin{align*}I&=\lim_{R\to\infty}\operatorname{Im}\bra{\int_{\Gamma_R}f(z)\,dz-\int_{C_R}f(z)\,dz}
\\&=\operatorname{Im}\bra{\frac{\pi i}{2e}-0}=\frac{\pi}{2e}\end{align*}

を得る．

写像$f:\R^{4}\to\R^{2}$を

\begin{align*}f(x,y,z,w)=\bmat{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}-1\\x^3+y^3+z^3+w^3}\end{align*}

で定める．$X=f^{-1}(0,0)$であり，$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2})\in X$だから$X\neq\emptyset$である．

ここで，任意の$p:=(x,y,z,w)\in X$が$f$の正則点であることを示す．そのために，$\operatorname{rank}Jf_{p}\neq2$と仮定して矛盾を導く．このとき，

\begin{align*}Jf_{p}=\bmat{2x&2y&2z&2w\\3x^2&3y^2&3z^2&3w^2}\end{align*}

である．$x^2+y^2+z^2+w^2=1$より$(x^2,y^2,z^2,w^2)\neq(0,0,0,0)$だから，ある$k\in\R$が存在して

\begin{align*}(2x,2y,2z,2w)=k(3x^2,3y^2,3z^2,3w^2)\end{align*}

を満たす．よって，$p\in M$であることに注意して

\begin{align*}0&=3k(x^3+y^3+z^3+w^3)
\\&=x\cdot3kx^2+y\cdot3ky^2+z\cdot3kz^2+w\cdot3kw^2
\\&=x\cdot2x+y\cdot2y+z\cdot2z+w\cdot2w
\\&=2(x^2+y^2+z^2+w^2)=2\end{align*}

と矛盾を得る．よって，仮定は誤りで任意の$p\in M$が$f$の正則点なので，正則値定理より$X=f^{-1}(0,0)$は微分可能多様体である．

また，任意の$p:=(x,y,z,w)\in X$に対して$x^2+y^2+z^2+w^2=1<\infty$だから$X$は有界であり，$f$が連続で１点集合$\{(0,0)\}$は閉だから$f^{-1}(0,0)$も閉である．

よって，$X$はコンパクトである．