連立１次方程式の掃き出し法｜行列の行基本変形の考え方

線形代数学の基本
2020.02.13
線形代数学の基本

いくつかの１次方程式を同時に満たす

    \begin{align*}\begin{cases}x+y+z=2\\x+2y+3z=4\end{cases}\end{align*}

のような，複数の未知数に関する方程式を連立１次方程式といいますね．

実は「線形代数学のベースは連立１次方程式である」と言っても良いほど，線形代数では連立１次方程式が重要です．

中学数学以来扱ってきたように，連立１次方程式の基本解法として加減法がありますが，加減法は行列を考えることによって本質的に全く同じことができ，この行列を用いた解法を掃き出し法といいます．

この記事では

  • 連立１次方程式
  • 掃き出し法

を説明します．

なお，この記事では特に断らない限り実行列・実ベクトルを扱うことにしますが，複素行列など一般の体を成分とする行列・ベクトルに対しても同様です．

「線形代数学の基本」の一連の記事

  1. 行列と列ベクトル
    1. 1 線形代数は「多変数バージョンの比例」という話
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    3. 3 連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形 (今の記事)
    4. 4 行列とは何か？逆行列があると嬉しい理由
    5. 5 正則の条件を簡単に！基本変形と行列の積の話
    6. 6 行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件
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    8. 8 線形独立のイメージと線形独立であるための条件
  1. 行列式
    1. 9 行列の正則性を判定できる行列式のイメージ
    2. 10 行列式を定義するための置換の性質を理解する
    3. 11 行列式は線形代数の要！置換を用いて定義する
    4. 12 行列式の基本性質まとめ！計算の具体例も紹介
    5. 13 余因子展開と行列式による正則条件を解説
  1. $\R^n$の部分空間と基底
    1. 14 列ベクトル空間の部分空間の定義と具体例
    2. 15 基底の考え方を具体例から丁寧に解説！
    3. 16 次元の定義と基底を求める方法を具体的に
    4. 17 spanされる（生成される）空間の基底・次元
    5. 18 行列の像Im(A)の定義と具体例を理解する
    6. 19 行列の核Ker(A)の定義と具体例を理解する
    7. 20 部分空間の共通部分の基底・次元の求め方
    8. 21 和空間の考え方｜基底の求め方も例題から解説
    9. 22 部分空間の直和｜和空間の次元の公式も紹介
  1. 正方行列の対角化
    1. 23 対角化を固有値・固有ベクトルと併せて解説
    2. 24 固有値・固有ベクトルは２ステップで求める！
    3. 25 正方行列が対角化できる基本定理を理解する
    4. 26 固有空間はなぜ大切か？対角化の必要十分条件

線形代数学の参考文献

以下は線形代数学に関するオススメの教科書です．

大学教養 線形代数（加藤文元 著）

数学科など理論系の学生向けの線形代数の入門書です．平易な例から丁寧に説明されています．

手を動かしてまなぶ 線形代数（藤岡敦 著）

理論と演習のバランスをとりながら勉強したい人にオススメの入門書です．

連立１次方程式

まずは連立１次方程式を行列・ベクトルを用いて表す方法を考えましょう．

連立１次方程式とは？

$x,y,z$の連立１次方程式とは

    \begin{align*} \begin{cases} x+y+z=2\\ 3x-2y+2z=4\\ 2x-3y+z=2\\ x+2y-5=2 \end{cases},\quad \begin{cases} x+y+z=2\\ 2x+2y+2z=5 \end{cases} \end{align*}

のように，未知数$x,y,z$の１次方程式をいくつか同時に満たすような連立方程式のことですね．

未知数を列ベクトルにまとめて$\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$として，単に$\m{x}$の方程式ということもよくあります．

このように，連立方程式では

  • (未知数の個数) < (連立している方程式の個数)
  • (未知数の個数) > (連立している方程式の個数)

のいずれの場合もありえます．

また，連立１次方程式の解とは方程式に代入して成り立つ数の組のことですが，きちんと書くと次のようになりますね．

$x_{1},\dots,x_{n}$の方程式$f(x_{1},\dots,x_{n})=0$に対して，

    \begin{align*}f(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})=0\end{align*}

を満たす$(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$を方程式$f(x_{1},\dots,x_{n})=0$の解といい，方程式の解を全て求めることを方程式を解くという．

連立１次方程式を行列・ベクトルで表す方法

例えば，連立１次方程式$\begin{cases}x+2y+3z=6\\4x+5y+6z=9\\7x+8y+9z=12\end{cases}$は列ベクトルの等式として

    \begin{align*}\bmat{x+2y+3z\\4x+5y+6z\\7x+8y+9z}=\bmat{6\\9\\12}\end{align*}

と表せますね．さらに，この左辺は行列を用いて

    \begin{align*}\bmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}\bmat{x\\y\\z}=\bmat{6\\9\\12}\end{align*}

と行列とベクトルの積に書き換えられますね．

このように，連立１次方程式は行列・ベクトルを用いて表すことができます．

$x_1,x_2,\dots,x_n$に関する連立１次方程式

    \begin{align*}\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=c_{1}\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=c_{2}\\ \hspace{5em}\vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n=c_{m} \end{cases}\end{align*}

は$A\m{x}=\m{c}$と表せる．

ただし，$A$, $\m{x}$, $\m{c}$はそれぞれ$m\times n$次行列，$n$次列ベクトル，$m$次列ベクトルで

    \begin{align*}A=\bmat{a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\dots&\vdots\\a_{m1}&\dots&a_{mn}},\quad \m{x}=\bmat{x_1\\\vdots\\x_n},\quad \m{c}=\bmat{c_{1}\\\vdots\\c_{m}}\end{align*}

である．

系数行列・拡大係数行列

連立１次方程式$\begin{cases}x+2y+3z=6\\4x+5y+6z=9\\7x+8y+9z=12\end{cases}$が

    \begin{align*}\bmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}\bmat{x\\y\\z}=\bmat{6\\9\\12}\end{align*}

と表せるように，$\m{x}$の連立１次方程式$A\m{x}=\m{c}$の$A$は係数をまとめた行列になっています．

このことを踏まえて，次のように名前をつけましょう．

$m\times n$次行列$A$と$\m{c}\in\R^{m}$を考える．$\m{x}$の方程式$A\m{x}=\m{c}$に対して，

  • 行列$A$を係数行列 (coefficient matrix)
  • 行列$[A,\m{c}]$を拡大係数行列 (enlarged coefficient matrix)

という．

例えば，上の連立１次方程式$\begin{cases}x+2y+3z=6\\4x+5y+6z=9\\7x+8y+9z=12\end{cases}$に対して，

  • 係数行列は$\bmat{1&2&3\\4&5&6}$
  • 拡大係数行列は$\bmat{1&2&3&7\\4&5&6&8}$

ですね．

行列の基本変形

行列の重要な変形に基本変形というものがあり，基本変形は連立１次方程式の加減法と密接に関わっています．

連立１次方程式の加減法

連立１次方程式を解く方法として加減法がありました．

連立１次方程式について

  1. ある等式を$k$倍する($k\neq0$)
  2. ある等式の$k$倍を別の等式に加える
  3. ある等式と別の等式の順番を入れ替える

という３つの操作を繰り返すことによって解を求める手続きを加減法という．

例えば，方程式$\begin{cases}2x+3y=8\\x+2y=5\end{cases}$は以下のように加減法により解くことができますね．

    \begin{align*}\left\{\begin{matrix} 2x&+&3y&=&8\\ x&+&2y&=&5 \end{matrix}\right. \iff&\left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ 2x&+&3y&=&8 \end{matrix}\right. \\\iff&\left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. \\\iff&\left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. \\\iff&\left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &&y&=&2 \end{matrix}\right.\end{align*}

行基本変形

連立１次方程式の加減法では係数だけを見ていれば十分だということに気が付きます．

このため，いまの加減法は以下のように拡大係数行列$\bmat{2&3&8\\1&2&5}$の変形と対応していますね．

    \begin{align*}&\left\{\begin{matrix} 2x&+&3y&=&8\\ x&+&2y&=&5 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{2&3&8\\1&2&5} \\\iff&\left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ 2x&+&3y&=&8 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&2&5\\2&3&8} \\\iff&\left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&2&5\\0&-1&-2} \\\iff&\left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&0&1\\0&-1&-2} \\\iff&\left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &&y&=&2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&0&1\\0&1&2}\end{align*}

この連立１次方程式の加減法に対応する行列の変形を行基本変形といいます．

行列について

  1. ある行を$k$倍する($k\neq0$)
  2. ある行の$k$倍を別の行に加える
  3. ある行と別の行を入れ替える

という３つの変形を併せて行基本変形という．

掃き出し法

拡大係数行列の行基本変形によって連立１次方程式を解く方法を掃き出し法といいます．

掃き出し法で考える際には，元の連立１次方程式とどのように対応しているかを考えることが大切です．

連立１次方程式$\begin{cases}x+2y+z=3\\3x+4y+5z=3\end{cases}$の拡大係数行列を答えよ．また，掃き出し法により解け．

拡大係数行列は$\bmat{1&2&1&3\\3&4&5&3}$である．この拡大係数行列は行基本変形により

    \begin{align*}\bmat{1&2&1&3\\3&4&5&3} \to&\bmat{1&2&1&3\\0&-2&2&-6} \\\to&\bmat{1&2&1&3\\0&1&-1&3} \\\to&\bmat{1&0&3&-3\\0&1&-1&3}\end{align*}

となるから，連立１次方程式は

    \begin{align*}\begin{cases}x+2y+z=3\\3x+4y+5z=3\end{cases} \iff\begin{cases}x+3z=-3\\y-z=3\end{cases}\end{align*}

と変形されることが分かる．よって，解は$(x,y,z)=(-3-3k,3+k,k)$である（$k$は任意定数）．

いまの問題で任意定数が登場したので，任意定数が何なのかを説明しておきます．いまの問題の連立１次方程式を変形してできた

    \begin{align*}\begin{cases}x+3z=-3\\y-z=3\end{cases}\end{align*}

から，たとえば

  • $z=0$なら$x=-3$, $y=3$
  • $z=1$なら$x=-6$, $y=4$
  • $z=2$なら$x=-9$, $y=5$

のように，$z$の値を決めれば$x$と$y$の値も決まります．そこで$z=k$とおけば$(x,y,z)=(-3-3k,3+k,k)$は全て解となりますね．

この$c$のように「どんな定数でもいいなら文字でおいてしまおう」というのが任意定数の考え方なわけですね．

なお，任意定数の取り方についてはのちの記事でも詳しく説明します．

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