行列の正則条件を簡単に！AB=IまたはBA=Iであれば正則

前々回の記事で定義したように，正方行列$A$に対して

$\begin{align*} AB=BA=I \end{align*}$

を満たす正方行列$B$が存在するとき

$A$を正則行列
$B$を$A$の逆行列

といい，$B=A^{-1}$と表すのでした($I$は単位行列)．

このように，正方行列$A$が正則であることの定義は$AB=BA=I$を満たすことですが，実は$AB=I$か$BA=I$のいずれかがなりたてば自動的に$AB=BA=I$が成り立つことを証明することができます．

このことを証明するためには，前回の記事で考えた行列の基本変形をもう少し詳しく考える必要があります．

この記事では，正方行列$A$が正則であるためには$AB=I$か$BA=I$を満たす正方行列$B$が存在すれば良いことの証明を目標として，「基本変形と行列の積の関係」について説明します．

なお，この記事では実数$\R$を中心に説明しますが，複素数$\C$など一般の体に対しても同様です．

「線形代数学の基本」の一連の記事はこちら

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】

・行列と数ベクトル
【線形代数１｜行列の計算の基本！行列の積はなぜこうなる？】
【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数３｜正則の条件を簡単に！基本変形と行列の積の話】←今の記事
【線形代数４｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】
【線形代数５｜連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度】
【線形代数６｜線形独立のイメージと線形独立であるための条件】

・行列式
【線形代数７｜行列の正則性を判定できる行列式のイメージ】
【線形代数８｜行列式を定義するための置換の性質を理解する】
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【線形代数10｜数ベクトル空間の部分空間と基底の考え方(準備中)】
【線形代数11｜部分空間の同型と部分空間の次元(準備中)】
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【線形代数14｜「固有値」「固有ベクトル」「対角化」とは？】
【線形代数15｜固有値と固有ベクトルは２ステップで求める！】
【線形代数16｜固有値・固有ベクトルの基本性質のまとめ】
【線形代数17｜固有空間はなぜ大切か？対角化の必要十分条件】

1 行基本変形の復習
2 基本変形と行列の積
3 行列のランク
4 参考文献

行基本変形の復習

まずは，前回の記事で説明した行基本変形の復習です．

連立方程式

$\begin{align*} \begin{cases} 2x+3y=8\\ x+2y=5 \end{cases} \end{align*}$

は以下のように加減法により解くことができます：

$\begin{align*} \left\{\begin{matrix} 2x&+&3y&=&8\\ x&+&2y&=&5 \end{matrix}\right. \iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ 2x&+&3y&=&8 \end{matrix}\right. \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &&y&=&2 \end{matrix}\right. \end{align*}$

結局，連立１次方程式の加減法は係数だけをいじくっているだけであることに注意すれば，加減法は以下のように拡大係数行列$\bmat{2&3&8\\1&2&5}$の変形と対応していることがわかります．

$\begin{align*} &\left\{\begin{matrix} 2x&+&3y&=&8\\ x&+&2y&=&5 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{2&3&8\\1&2&5} \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ 2x&+&3y&=&8 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&2&5\\2&3&8} \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&2&5\\0&-1&-2} \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&0&1\\0&-1&-2} \\\iff&\left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &&y&=&2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&0&1\\0&1&2} \end{align*}$

この連立１次方程式の加減法に対応する行列の変形を行基本変形というのでしたね．

[行基本変形]　行列について

ある行と別の行を入れ替える
ある行を$k$倍する($k\neq0$)
ある行の$k$倍を別の行に加える

という３つの変形を併せて行基本変形という．

基本変形と行列の積

それでは，基本変形と行列の積の関係について説明します．

基本変形

いま行基本変形について定義を述べましたが，列基本変形も同様に定義されます．

[列基本変形]　行列について

ある列と別の列を入れ替える
ある列を$k$倍する($k\neq0$)
ある列の$k$倍を別の列に加える

という３つの変形を併せて列基本変形という．

列基本変形の定義は，行基本変形の定義で「行」を全て「列」に読み替えただけですね．

また，列基本変形と行基本変形を併せて基本変形といいます．

基本変形を引き起こす行列

行列$A:=\bmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\10&11&12}$と，以下の行列を考えます．

$\begin{align*} P_{34}:=\bmat{1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0},\quad Q_{2}^{(3)}:=\bmat{1&0&0&0\\0&3&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1},\quad R_{14}^{(2)}:=\bmat{1&0&0&2\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1} \end{align*}$

このとき，単純な計算より

$\begin{align*} P_{34}A=\bmat{1&2&3\\4&5&6\\10&11&12\\7&8&9},\quad Q_{2}^{(3)}A=\bmat{1&2&3\\12&15&18\\7&8&9\\10&11&12},\quad R_{14}^{(2)}A=\bmat{21&24&27\\4&5&6\\7&8&9\\10&11&12} \end{align*}$

となります．すなわち，$A$に対して，

$P_{34}A$は第３行と第４行の入れ替えが，
$Q_{2}^{(3)}A$は第２行の３倍が，
$R_{14}^{(2)}A$は第１行に第４行の２倍の付け加え

が起こっています．

一般に，基本変形は以下のように行列$P_{ij}$, $Q_{i}^{(k)}$, $R_{ij}^{(k)}$をかけることによって引き起こすことができます．

[基本変形と正則行列]　$k\in\R$とし，$A$を$n$行の行列とし

$P_{ij}$を単位行列$I$の第$i$列と第$j$列を入れ替えた行列
$Q_{i}^{(k)}$を単位行列$I$の第$i$列を$k$倍した行列 ($k\neq0$)
$R_{ij}^{(k)}$を$I$の第$i$列に第$j$列の$k\in\R$倍を加えた行列

とする．このとき，これらを行列に左からかけることで次の行基本変形を引き起こす：

$P_{ij}A$は$A$の第$i$行と第$j$行を入れ替えてできる行列
$Q_{i}^{(k)}A$は$A$の第$i$行を$k$倍してできる行列 ($k\neq0$)
$R_{ij}^{(k)}A$は$A$の第$i$行に$A$の第$j$行の$k$倍を加えてできる行列

また，列基本変形については「行」を「列」に読み替えて$P_{ij}$, $Q_{i}^{(k)}$, $R_{ij}^{(k)}$を$A$に右からかければよい．

$\m{e}_i$を第$i$成分が１で他の成分が全て０のベクトルとすると，$P_{ij}$, $Q_{i}^{(k)}$, $R_{ij}^{(k)}$は

$\begin{align*} &P_{ij}=[\m{e}_{1},\dots,\m{e}_{j},\dots,\m{e}_{i},\dots,\m{e}_{n}], \\&Q_{i}^{(k)}=[\m{e}_{1},\dots,k\m{e}_{i},\dots,\m{e}_{n}]\quad(k\neq0), \\&R_{ij}^{(k)}=[\m{e}_{1},\dots,\m{e}_{i}+k\m{e}_{j},\dots,\m{e}_{j},\dots,\m{e}_{n}] \end{align*}$

とも表せますね．

先ほどの例のように，実際に計算することによりこの命題は容易に証明できます．

また，この命題[基本変形と正則行列]を考えるか，実際に計算することで，次が成り立つこともすぐに分かります．

$P_{ij}$, $Q_{i}^{(k)}$, $R_{ij}^{(k)}$はいずれも正則で，それぞれ$P_{ij}$, $Q_{i}^{(1/k)}$, $R_{ij}^{(-k)}$が逆行列である．

正則性の条件

それでは，この記事の本題です．

前々回の記事で説明しましたが，念のため正則行列の定義を確認しておきましょう．

正方行列$A$が正則行列 (regular matrix)であるとは，$AB=BA=I$を満たす正方行列$B$が存在することをいう．また，このとき$B$を$A$の逆行列 (inverse matrix)といい，$A^{-1}$で表す：$B=A^{-1}$．

定義は以上の通りですが，実は$AB=I$と$BA=I$のいずれかが成り立てば$A$(と$B$)が正則であること(すなわち，$AB=BA=I$が成り立つこと)が証明できます．

すなわち，以下が成り立ちます．

[正則性の条件]　正方行列$A$に対して，$AB=I$または$BA=I$をみたす正方行列$B$が存在すれば，$A$は正則で$A^{-1}=B$である．

証明を表示

$A\in\Mat_{n}(\R)$とし，$AB=I$をみたす正方行列$B$が存在すれば$A$は正則であることを，$n$に関する数学的帰納法により示す．

[1]　$n=1$のとき

$A=[a]$とすると，$AB=I$から$a\neq0$であり，$B=[a^{-1}]$である．

よって，$BA=[a^{-1}a]=[1]=I$が従う．

なお，$A=[a]$や$B=[a^{-1}]$は１行１列の行列表示である．

[2]　$n=k$のときに定理が成り立つと仮定し，$A, B\in\Mat_{k+1}(\R)$は$AB=I$を満たすとする．

もし$A$の第１行の成分が全て０なら積$AB$の$(1,1)$成分が０となって$AB=I$とは成り得ないから，$A$の第１行には０でない成分$a$が存在する．

よって，$A$に列基本変形を施して，$(1,1)$成分が０でない行列$A_{1}$に変形できる：

$\begin{align*} A:=\bmat{*&\dots&*&a&*&\dots&*\\ *&\dots&*&*&*&\dots&*\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ *&\dots&*&*&*&\dots&*} \to A_1:=\bmat{a&*&\dots&*\\ *&*&\dots&*\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ *&*&\dots&*}. \end{align*}$

さらに，$A_{1}$に行基本変形と列基本変形を施して，第１行と第１列の$(1,1)$を除く全ての成分が０であるような行列$A_{2}$に変形できる：

$\begin{align*} A_1 \to A_2:=\bmat{a&0&\dots&0\\ 0&*&\dots&*\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&*&\dots&*}. \end{align*}$

行基本変形と列基本変形で$A$が$A_{2}$に変形されたから，$XAY=A_{2}$となる正則行列$X$, $Y$が存在する($X$, $Y$は上で定めた$P_{ij}$, $Q_{i}^{(k)}$, $R_{ij}^{(k)}$の積となっている)．

ここで，$A_{2}$, $Y^{-1}BX^{-1}$を

$\begin{align*} A_{2}=\bmat{a&\m{0}^{T}\\\m{0}&A_{3}},\quad Y^{-1}BX^{-1}=\bmat{x&\m{y}^{T}\\\m{z}&B'} \end{align*}$

とおく．$XX^{-1}=YY^{-1}=AB=I$だから，

$\begin{align*} \bmat{ax&a\m{y}^{T}\\A_{3}\m{z}&A_{3}B'} =&\bmat{a&\m{0}^{T}\\\m{0}&A_{3}}\bmat{x&\m{y}^{T}\\\m{z}&B'} \\=&A_{2}(Y^{-1}BX^{-1}) \\=&(XAY)(Y^{-1}BX^{-1}) \\=&I_{k+1} \end{align*}$

だから，

$\begin{align*} ax=1,\quad a\m{y}^{T}=\m{0}^{T},\quad A_{3}\m{z}=\m{0},\quad A_{3}B'=I_{k} \end{align*}$

が成り立つ．よって，

$A_{3}B’=I_{k}$と帰納法の仮定を併せて，$A_{3}$は正則で逆行列$B’$をもち，
$a\neq0$だから$a\m{y}^{T}=\m{0}^{T}$より$\m{y}=\m{0}$が成り立ち，
${A_{3}}^{-1}$を$A_{3}\m{z}=\m{0}$の両辺に左からかけて$\m{z}=\m{0}$が成り立つ．

これより，$Y^{-1}BX^{-1}=\bmat{x&\m{0}^{T}\\\m{0}&B’}$となるから，

$\begin{align*} AB =&(X^{-1}A_2Y^{-1})\bra{Y\bmat{x&\m{0}^{T}\\\m{0}&B'}X} \\=&X^{-1}\bmat{a&\m{0}^{T}\\\m{0}&A_{3}}\bmat{x&\m{0}^{T}\\\m{0}&B'}X \\=&X^{-1}\bmat{ax&\m{0}^{T}\\\m{0}&A_{3}B'}X \\=&X^{-1}I_{k+1}X =X^{-1}X =I_{k+1}, \\BA =&\bra{Y\bmat{x&\m{0}^{T}\\\m{0}&B'}X}(X^{-1}A_2Y^{-1}) \\=&Y\bmat{x&\m{0}^{T}\\\m{0}&B'}\bmat{a&\m{0}^{T}\\\m{0}&A_{3}}Y^{-1} \\=&Y\bmat{ax&\m{0}^{T}\\\m{0}&B'A_{3}}Y^{-1} \\=&YI_{k+1}Y^{-1} =YY^{-1} =I_{k+1} \end{align*}$

が成り立つ．よって，$A$は正則で，$A^{-1}=B$である．

行列のランク

この記事では，正方行列$A$が正則行列であるためには，$AB=I$または$BA=I$となる正方行列$B$を見つければ良いことを説明しました．

しかし，実際にはこのような$B$を見つけてくることが面倒なことも少なくありません．

そのようなとき，行列のランクを調べることで行列の正則性の判定をすることができます．

次の記事では，行列のランクについて説明します．

「線形代数学の基本」の一連の記事はこちら

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】

・行列と数ベクトル
【線形代数１｜行列の計算の基本！行列の積はなぜこうなる？】
【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数３｜正則の条件を簡単に！基本変形と行列の積の話】
【線形代数４｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】←次の記事
【線形代数５｜連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度】
【線形代数６｜線形独立のイメージと線形独立であるための条件】

参考文献

線型代数入門

(齋藤正彦著，東京大学出版会)

線形代数の教科書として半世紀に渡って売れ続けている超ロングセラーの教科書です．

本書が発行されて以来，多くの教科書が本書を真似て書かれてきたといっても過言ではないほど，日本の線形代数の指導にインパクトを与えた名著です．

その証拠に，著者の齋藤正彦氏は本書で日本数学会出版賞を受賞しています．

「線形代数をとりあえず使えるようにするための教科書」ではなく「線形代数を理解するための教科書」のため，論理的に非常に詳しく書かれているのが特徴です．

内容は理論系(特に数学系)の学部生であれば，確実に理解しておきたいレベルです(非理論系の人はここまで必要ないかもしれません)．

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なお，本書については，以下の記事で書評としてまとめています．

【書評｜線型代数入門(齋藤正彦著，東京大学出版会)】

本書の良い点や気になる点，オススメの使い方などをレビューしています．これから理論系として数学を扱う人は，是非とも持っておきたい１冊です．