連立１次方程式が[解をもつ条件]と[解の自由度]の考え方

中学校以来よく扱ってきた$\m{x}$の連立１次方程式は，行列$A$とベクトル$\m{c}$を用いて$A\m{x}=\m{c}$と表すことができるのでした．

このことからも分かるように連立１次方程式は線形代数学と密接に関わっており，実際に線形代数学の基礎を理解する上で連立１次方程式を理解することは非常に重要です．

連立１次方程式$A\m{x}=\m{c}$は

係数行列のランク$\rank{A}$
拡大係数行列のランク$\rank{[A,\m{c}]}$

を比べることで，解をもつ条件を求めることができます．

この記事では，「係数行列」と「拡大係数行列」，行列の「ランク」について復習をしたのち，

連立１次方程式が解をもつ条件
解の自由度

を考えます．

なお，この記事では実数$\R$を中心に説明しますが，複素数$\C$など一般の体に対しても同様です．

一連の記事はこちら

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】

・行列と数ベクトル
【線形代数１｜行列の計算の基本！行列の積はなぜこうなる？】
【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数３｜正則の条件を簡単に！基本変形と行列の積の話】
【線形代数４｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】
【線形代数５｜連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度】←今の記事
【線形代数６｜線形独立のイメージと線形独立であるための条件】

・行列式
【線形代数７｜行列の正則性を判定できる行列式のイメージ】
【線形代数８｜行列式を定義するための置換の性質を理解する】
【線形代数９｜「行列式」は線形代数の要！定義と性質を解説】

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【線形代数10｜数ベクトル空間の部分空間と基底の考え方(準備中)】
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・固有値と固有ベクトル
【線形代数14｜「固有値」「固有ベクトル」「対角化」とは？】
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【線形代数16｜「固有値」と「固有ベクトル」の性質のまとめ(準備中)】

1 いくつかの復習
- 1.1 係数行列と拡大係数行列
- 1.2 行列のランク
2 連立１次方程式と解と自由度

いくつかの復習

本題に入る前に，

連立１次方程式の係数行列と拡大係数行列
行列のランク

について復習をしておきましょう．

それぞれの詳しい説明は第２回の記事，第４回の記事を参照してください．

第２回の記事，第３回の記事はこちら

【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数４｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】

係数行列と拡大係数行列

連立１次方程式の係数行列と拡大係数行列は次のように定義されます．

$A\in\Mat_{mn}(\R)$と$\m{c}\in\R^{m}$に対し，$A$, $[A,\m{c}]$をそれぞれ連立方程式$A\m{x}=\m{c}$の係数行列 (coefficient matrix)，拡大係数行列 (enlarged coefficient matrix)という．

例えば，$A=\bmat{1&2&3\\4&5&6}$, $\m{c}=\bmat{7\\8}$に対し，$\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$の連立１次方程式$A\m{x}=\m{c}$は

$\begin{align*} &\bmat{1&2&3\\4&5&6}\bmat{x\\y\\z}=\bmat{7\\8} \\\iff&\begin{cases} x+2y+3z=7\\ 4x+5y+6z=8 \end{cases} \end{align*}$

で，この係数行列，拡大係数行列はそれぞれ

$\begin{align*} A=\bmat{1&2&3\\4&5&6},\quad [A,\m{c}]=\bmat{1&2&3&7\\4&5&6&8} \end{align*}$

ですね．

行列のランク

行列のランクを定義するためには，以下の事実が必要なのでした．

行基本変形により，任意の行列は簡約行列に変形できる．

なお，簡約行列とは，

$\begin{align*} &\bmat{1&0&3&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1},\quad \bmat{0&1&0&4\\0&0&1&2\\0&0&0&0},\quad \bmat{1&0\\0&1\\0&0} \end{align*}$

のように，

第$i$行から第$i+1$行に移るごとに左側から０が増えていき，
各行の０でない最も左の成分が全て１であるような行列

のことを言うのでした．

さて，このことから行列のランクは以下のように定義されます．

行列$A$に対して，$A$に行基本変形を施して簡約行列$B$になったとき，零行ベクトルでない$B$の行の個数を$A$のランク (階数，rank)といい，$\rank{A}$や$\operatorname{rk}{A}$などと表す．

例えば，行基本変形により

$\begin{align*} \bmat{2&3&-2\\2&-2&8\\-3&0&-6} \to&\bmat{2&3&-2\\1&-1&4\\-3&0&-6} \to\bmat{2&3&-2\\1&-1&4\\-1&0&-2} \\\to&\bmat{1&-1&4\\2&3&-2\\-1&0&-2} \to\bmat{1&-1&4\\0&5&-10\\0&-1&2} \\\to&\bmat{1&-1&4\\0&1&-2\\0&-1&2} \to\bmat{1&-1&4\\0&1&-2\\0&0&0} \end{align*}$

なので，

$\begin{align*} \rank{\bmat{2&3&-2\\2&-2&8\\-3&0&-6}} =\rank{\bmat{1&-1&4\\0&1&-2\\0&0&0}} =2 \end{align*}$

ですね．

連立１次方程式と解と自由度

それでは本題に移ります．

具体例から

まずは３つ具体例を考えます．

次の行列$A$とベクトル$\m{c}$に対して，$\m{x}=[x,y,z]^{T}$の連立１次方程式$A\m{x}=\m{c}$は解を持つか．

$A=\bmat{1&1&1\\0&1&0\\0&0&1}$, $\m{c}=\bmat{1\\2\\3}$
$A=\bmat{1&1&1\\0&1&0\\0&0&0}$, $\m{c}=\bmat{1\\2\\3}$
$A=\bmat{1&1&2\\1&2&3}$, $\m{c}=\bmat{3\\2}$

素朴に掃き出し法で考えましょう．

(1)　拡大係数行列$[A,\m{c}]$を行基本変形により簡約化すると

$\begin{align*} [A,\m{c}] =&\bmat{1&1&1&1\\0&1&0&2\\0&0&1&3} \\\to&\bmat{1&0&1&-1\\0&1&0&2\\0&0&1&3} \\\to&\bmat{1&0&0&-4\\0&1&0&2\\0&0&1&3} \end{align*}$

なので，連立方程式は$(x,y,z)=(-4,2,3)$と解けますね．

(2)　拡大係数行列$[A,\m{c}]$を行基本変形により簡約化すると

$\begin{align*} [A,\m{c}] =&\bmat{1&1&1&1\\0&1&0&2\\0&0&0&3} \\\to&\bmat{1&0&1&-1\\0&1&0&2\\0&0&0&3} \end{align*}$

なので，これに対応する連立方程式は

$\begin{align*} \begin{cases} x+z=-2\\ y=2\\ 0=3 \end{cases} \end{align*}$

となります．この連立方程式の第３式はどのように$(x,y,z)$を選んでも満たしえませんから，解なしとなります．

(3)　拡大係数行列$[A,\m{c}]$を行基本変形により簡約化すると

$\begin{align*} [A,\m{c}] =&\bmat{1&1&2&3\\1&2&3&2} \\\to&\bmat{1&1&2&3\\0&1&1&-1} \\\to&\bmat{1&0&1&4\\0&1&1&1} \end{align*}$

なので，これに対応する連立方程式は

$\begin{align*} \begin{cases} x+z=4\\ y+z=1 \end{cases} \end{align*}$

となります．このとき，$z$に任意に値を代入でき，それぞれの場合で$x$, $y$の値が決まります．

よって，$z=c$ ($c$は任意定数)とすることで，解は$(x,y,z)=(4-c,1-c,c)$と表せることが分かりました．

解をもつための条件

この２つ目の例では

$\rank{A}=2$
$\rank{[A,c]}=3$

となっています．

このように，「係数行列のランク$\rank{A}$が拡大係数行列のランク$\rank{[A,\m{c}]}$より小さいと，どう頑張っても成り立たない等式$0=a$ $(a\neq0)$が現れて解けない」ということが見てとれます．

実際，一般に以下が成り立ちます．

$A\in\Mat_{mn}(\R)$と$\m{c}\in\R^{m}$に対し，以下が成り立つ．

$\rank{A}<\rank{[A,\m{c}]}$が成り立つことと，$\m{x}$の連立方程式$A\m{x}=\m{c}$が解をもたないことは同値である．
$\rank{A}=\rank{[A,\m{c}]}$が成り立つことと，$\m{x}$の連立方程式$A\m{x}=\m{c}$が解をもつことは同値である．

証明を表示

$[A,\m{c}]$の簡約化を$[B,\m{d}]$とする．

このとき，$\rank{B}\le\rank{[B,\m{d}]}$が成り立つことに注意すると，行基本変形によるランクの不変性と併せて

$\begin{align*} \rank{A}=\rank{B}\le\rank{[B,\m{d}]}=\rank{[A,\m{c}]} \end{align*}$

が成り立つ．よって，$\rank{A}$と$\rank{[A,\m{c}]}$の関係は

$\rank{A}<\rank{[A,\m{c}]}$
$\rank{A}=\rank{[A,\m{c}]}$

のいずれかとなる．

ここで，$\m{d}=[d_{1},\dots,d_{m}]^{T}$とする．

(1)　$\rank{A}<\rank{[A,\m{c}]}$のとき，$\rank{B}<\rank{[B,\m{d}]}$である．

このとき，ある$j\in\{1,\dots,m\}$が存在して

$B$の第$j$行の成分は全て０である
$\m{d}$の第$j$成分は０でない

が成り立つ．

これにより，連立方程式$B\m{x}=\m{d}$の$j$番目の方程式の左辺は０であるが，右辺は０ではないから，$j$番目の方程式を満たす$\m{x}$は存在せず$B\m{x}=\m{d}$は解をもたない．

(2)　$\rank{A}=\rank{[A,\m{c}]}$のとき，$\rank{B}=\rank{[B,\m{d}]}$である．

主成分をもたない列に対応する未知数$x_{i}$を全て０とし，主成分をもつ列に対応する未知数$x_{i}$を順に$d_1,\dots,d_m$としてできた$\m{x}$は$B\m{x}=\m{d}$の解となる．

よって，$B\m{x}=\m{d}$は解をもつ．

これで，(1), (2)の必要性が示された．

逆に，(1)の必要性の対偶をとれば(2)の十分性が従い，(2)の必要性の対偶をとれば(1)の十分性が従う．

解の自由度

次に連立１次方程式$A\m{x}=\m{c}$が解をもつときの解の様子をもう少し詳しく考えましょう．

したがって，次は$\rank{A}=\rank{[A,\m{c}]}$として考えます．

先ほどの具体例の３つ目のように，係数行列を簡約化したとき，主成分の存在しない列に対応する未知数に任意定数を与えると，方程式の解を全て表すことができます．

これについて，「解の自由度」を以下のように定義します．

$A\in\Mat_{mn}(\R)$と$\m{c}\in\R^{m}$に対し，$\m{x}$の連立方程式$A\m{x}=\m{c}$の解が任意定数を$k$個含むとき，解の自由度は$k$であるという．

解の自由度について，以下の定理が成り立ちます．

$A\in\Mat_{mn}(\R)$, $\m{c}\in\R^{n}$に対して，$N:=\rank{A}=\rank{[A,\m{c}]}$をみたすとする．このとき，$\m{x}$の方程式$A\m{x}=\m{c}$の解の自由度は$n-N$である．

証明を表示

$[A,\m{c}]$の簡約化を$[B,\m{d}]$とする．

このとき，$\rank{B}=\rank{A}=N$なので$B$の主成分は$N$個あるから，$B$の主成分が存在しない列は$(n-N)$個ある．

この$B$の主成分が存在しない列に対応する未知数$x_{i_{1}},\dots,x_{i_{n-N}}$それぞれに任意定数$c_{1},\dots,c_{n-N}$を与えると，$\m{x}$の連立方程式$B\m{x}=\m{d}$の残りの未知数は全て$c_{1},\dots,c_{n-N}$で一意に表される．

すなわち，$B\m{x}=\m{d}$の解の自由度は$n-N$となる．

連立方程式$A\m{x}=\m{c}$と$B\m{x}=\m{d}$の解は一致するので，$A\m{x}=\m{c}$の解の自由度も$n-N$となり，定理が従う．

すなわち，$\rank{A}(=\rank{[A,\m{c}]})$が未知数の個数に比べて小さいほど，自由度が大きいわけですね．

まとめ

以上のことをイメージとしてまとめておきましょう．

例えば，２つの連立方程式

$\begin{align*} \begin{cases} x+2y=1\\ 4x+5y=2\\ 7x+8y=3 \end{cases},\quad \begin{cases} x+2y+3z=1\\ 4x+5y+6z=2\\ \end{cases} \end{align*}$

を考えます．これらを比べたとき

前者のように，未知数が方程式の個数に比べて少ないときは，未知数の制限が強く解が存在しないかもしれない
後者のように，未知数が方程式の個数に比べて多いときは，未知数の制限が弱く未知数はけっこう自由にとれそう

というわけです．

そして実際に連立方程式$A\m{x}=\m{c}$の未知数の制限の強さは

係数行列のランク$\rank{A}$
拡大係数行列のランク$\rank{[A,\m{c}]}$

の差によって決まるというわけですね．

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