連立１次方程式が[解をもつ条件]と[解の自由度]の考え方

中学校以来よく扱ってきた $\m{x}$ の連立１次方程式は，行列 $A$ とベクトル $\m{c}$ を用いて $A\m{x}=\m{c}$ と表すことができるのでした．

このことからも分かるように連立１次方程式は線形代数学と密接に関わっており，実際に線形代数学の基礎を理解する上で連立１次方程式を理解することは非常に重要です．

連立１次方程式 $A\m{x}=\m{c}$ は

係数行列のランク $\rank{A}$
拡大係数行列のランク $\rank{[A,\m{c}]}$

を比べることで，解をもつ条件を求めることができます．

この記事では，「係数行列」と「拡大係数行列」，行列の「ランク」について復習をしたのち，

連立１次方程式が解をもつ条件
解の自由度

を考えます．

なお，この記事では実数 $\R$ を中心に説明しますが，複素数 $\C$ など一般の体に対しても同様です．

一連の記事はこちら

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】
【線形代数１｜行列の積の定義はどうしてこうなる？】
【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数３｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】
【線形代数４｜連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度】←今の記事
【線形代数５｜線型独立のイメージと線型独立であるための条件】
【線形代数６｜正方行列の正則性を判定できる行列式のイメージ】

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いくつかの復習

本題に入る前に，

連立１次方程式の係数行列と拡大係数行列
行列のランク

について復習をしておきましょう．

それぞれの詳しい説明は第２回の記事，第３回の記事を参照してください．

第２回の記事，第３回の記事はこちら

【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数３｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】

係数行列と拡大係数行列

連立１次方程式の係数行列と拡大係数行列は次のように定義されます．

$A\in\Mat_{mn}(\R)$ と $\m{c}\in\R^{m}$ に対し， $A$ , $[A,\m{c}]$ をそれぞれ連立方程式 $A\m{x}=\m{c}$ の係数行列 (coefficient matrix)，拡大係数行列 (enlarged coefficient matrix)という．

例えば， $A=\bmat{1&2&3\\4&5&6}$ , $\m{c}=\bmat{7\\8}$ に対し， $\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$ の連立1次方程式 $A\m{x}=\m{c}$ は

$\begin{align*} &\bmat{1&2&3\\4&5&6}\bmat{x\\y\\z}=\bmat{7\\8} \\\iff&\begin{cases} x+2y+3z=7\\ 4x+5y+6z=8 \end{cases} \end{align*}$

で，この係数行列，拡大係数行列はそれぞれ

$\begin{align*} A=\bmat{1&2&3\\4&5&6},\quad [A,\m{c}]=\bmat{1&2&3&7\\4&5&6&8} \end{align*}$

ですね．

行列のランク

行列のランクを定義するためには，以下の事実が必要なのでした．

行基本変形により，任意の行列は簡約行列に変形できる．

なお，簡約行列とは，

$\begin{align*} &\bmat{1&0&3&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1},\quad \bmat{0&1&0&4\\0&0&1&2\\0&0&0&0},\quad \bmat{1&0\\0&1\\0&0} \end{align*}$

のように，

第 $i$ 行から第 $i+1$ 行に移るごとに左側から０が増えていき，
各行の０でない最も左の成分が全て１であるような行列

のことを言うのでした．

さて，このことから行列のランクは以下のように定義されます．

行列 $A$ に対して， $A$ に行基本変形を施して簡約行列 $B$ になったとき，零行ベクトルでない $B$ の行の個数を $A$ のランク (階数，rank)といい， $\rank{A}$ や $\operatorname{rk}{A}$ などと表す．

例えば，行基本変形により

$\begin{align*} \bmat{2&3&-2\\2&-2&8\\-3&0&-6} \to&\bmat{2&3&-2\\1&-1&4\\-3&0&-6} \to\bmat{2&3&-2\\1&-1&4\\-1&0&-2} \\\to&\bmat{1&-1&4\\2&3&-2\\-1&0&-2} \to\bmat{1&-1&4\\0&5&-10\\0&-1&2} \\\to&\bmat{1&-1&4\\0&1&-2\\0&-1&2} \to\bmat{1&-1&4\\0&1&-2\\0&0&0} \end{align*}$

なので，

$\begin{align*} \rank{\bmat{2&3&-2\\2&-2&8\\-3&0&-6}} =\rank{\bmat{1&-1&4\\0&1&-2\\0&0&0}} =2 \end{align*}$

ですね．

連立１次方程式と解と自由度

それでは本題に移ります．

具体例から

まずは３つ具体例を考えます．

次の行列 $A$ とベクトル $\m{c}$ に対して， $\m{x}=[x,y,z]^{T}$ の連立１次方程式 $A\m{x}=\m{c}$ は解を持つか．

$A=\bmat{1&1&1\\0&1&0\\0&0&1}$ , $\m{c}=\bmat{1\\2\\3}$
$A=\bmat{1&1&1\\0&1&0\\0&0&0}$ , $\m{c}=\bmat{1\\2\\3}$
$A=\bmat{1&1&2\\1&2&3}$ , $\m{c}=\bmat{3\\2}$

素朴に掃き出し法で考えましょう．

(1)　拡大係数行列 $[A,\m{c}]$ を行基本変形により簡約化すると

$\begin{align*} [A,\m{c}] =&\bmat{1&1&1&1\\0&1&0&2\\0&0&1&3} \\\to&\bmat{1&0&1&-1\\0&1&0&2\\0&0&1&3} \\\to&\bmat{1&0&0&-4\\0&1&0&2\\0&0&1&3} \end{align*}$

なので，連立方程式は $(x,y,z)=(-4,2,3)$ と解けますね．

(2)　拡大係数行列 $[A,\m{c}]$ を行基本変形により簡約化すると

$\begin{align*} [A,\m{c}] =&\bmat{1&1&1&1\\0&1&0&2\\0&0&0&3} \\\to&\bmat{1&0&1&-1\\0&1&0&2\\0&0&0&3} \end{align*}$

なので，これに対応する連立方程式は

$\begin{align*} \begin{cases} x+z=-2\\ y=2\\ 0=3 \end{cases} \end{align*}$

となります．この連立方程式の第３式はどのように $(x,y,z)$ を選んでも満たしえませんから，解なしとなります．

(3)　拡大係数行列 $[A,\m{c}]$ を行基本変形により簡約化すると

$\begin{align*} [A,\m{c}] =&\bmat{1&1&2&3\\1&2&3&2} \\\to&\bmat{1&1&2&3\\0&1&1&-1} \\\to&\bmat{1&0&1&4\\0&1&1&1} \end{align*}$

なので，これに対応する連立方程式は

$\begin{align*} \begin{cases} x+z=4\\ y+z=1 \end{cases} \end{align*}$

となります．このとき， $z$ に任意に値を代入でき，それぞれの場合で $x$ , $y$ の値が決まります．

よって， $z=c$ ( $c$ は任意定数)とすることで，解は $(x,y,z)=(4-c,1-c,c)$ と表せることが分かりました．

解をもつための条件

この２つ目の例では

$\rank{A}=2$
$\rank{[A,c]}=3$

となっています．

このように，「係数行列のランクが拡大係数行列のランクより小さいと，どう頑張っても成り立たない等式 $0=a$ $(a\neq0)$ が現れて解けない」ということが見てとれます．

実際，一般に以下が成り立ちます．

$A\in\Mat_{mn}(\R)$ と $\m{c}\in\R^{m}$ に対し，以下が成り立つ．

$\rank{A}<\rank{[A,\m{c}]}$ が成り立つことと， $\m{x}$ の連立方程式 $A\m{x}=\m{c}$ が解をもたないことは同値である．
$\rank{A}=\rank{[A,\m{c}]}$ が成り立つことと， $\m{x}$ の連立方程式 $A\m{x}=\m{c}$ が解をもつことは同値である．

$[A,\m{c}]$ の簡約化を $[B,\m{d}]$ とする．

このとき， $\rank{B}\le\rank{[B,\m{d}]}$ が成り立つことに注意すると，行基本変形によるランクの不変性と併せて

$\begin{align*} \rank{A}=\rank{B}\le\rank{[B,\m{d}]}=\rank{[A,\m{c}]} \end{align*}$

が成り立つ．よって， $\rank{A}$ と $\rank{[A,\m{c}]}$ の関係は

$\rank{A}<\rank{[A,\m{c}]}$
$\rank{A}=\rank{[A,\m{c}]}$

のいずれかとなる．

ここで， $\m{d}=[d_{1},\dots,d_{m}]^{T}$ とする．

(1)　 $\rank{A}<\rank{[A,\m{c}]}$ のとき， $\rank{B}<\rank{[B,\m{d}]}$ である．

このとき，ある $j\in\{1,\dots,m\}$ が存在して

$B$ の第 $j$ 行の成分は全て０である
$\m{d}$ の第 $j$ 成分は０でない

が成り立つ．

これにより，連立方程式 $B\m{x}=\m{d}$ の $j$ 番目の方程式の左辺は０であるが，右辺は０ではないから， $j$ 番目の方程式を満たす $\m{x}$ は存在せず $B\m{x}=\m{d}$ は解をもたない．

(2)　 $\rank{A}=\rank{[A,\m{c}]}$ のとき， $\rank{B}=\rank{[B,\m{d}]}$ である．

主成分をもたない列に対応する未知数 $x_{i}$ を全て０とし，主成分をもつ列に対応する未知数 $x_{i}$ を順に $d_1,\dots,d_m$ としてできた $\m{x}$ は $B\m{x}=\m{d}$ の解となる．

よって， $B\m{x}=\m{d}$ は解をもつ．

これで，(1), (2)の必要性が示された．

逆に，(1)の必要性の対偶をとれば(2)の十分性が従い，(2)の必要性の対偶をとれば(1)の十分性が従う．

解の自由度

次に連立１次方程式 $A\m{x}=\m{c}$ が解をもつときの解の様子をもう少し詳しく考えましょう．

したがって，次は $\rank{A}=\rank{[A,\m{c}]}$ として考えます．

先ほどの具体例の３つ目のように，係数行列を簡約化したとき，主成分の存在しない列に対応する未知数に任意定数を与えると，方程式の解を全て表すことができます．

これについて，「解の自由度」を以下のように定義します．

$A\in\Mat_{mn}(\R)$ と $\m{c}\in\R^{m}$ に対し， $\m{x}$ の連立方程式 $A\m{x}=\m{c}$ の解が任意定数を $k$ 個含むとき，解の自由度は $k$ であるという．

解の自由度について，以下の定理が成り立ちます．

$A\in\Mat_{mn}(\R)$ , $\m{c}\in\R^{n}$ に対して， $N:=\rank{A}=\rank{[A,\m{c}]}$ をみたすとする．このとき， $\m{x}$ の方程式 $A\m{x}=\m{c}$ の解の自由度は $n-N$ である．

$[A,\m{c}]$ の簡約化を $[B,\m{d}]$ とする．

このとき， $\rank{B}=\rank{A}=N$ なので $B$ の主成分は $N$ 個あるから， $B$ の主成分が存在しない列は $(n-N)$ 個ある．

この $B$ の主成分が存在しない列に対応する未知数 $x_{i_{1}},\dots,x_{i_{n-N}}$ それぞれに任意定数 $c_{1},\dots,c_{n-N}$ を与えると， $\m{x}$ の連立方程式 $B\m{x}=\m{d}$ の残りの未知数は全て $c_{1},\dots,c_{n-N}$ で一意に表される．

すなわち， $B\m{x}=\m{d}$ の解の自由度は $n-N$ となる．

連立方程式 $A\m{x}=\m{c}$ と $B\m{x}=\m{d}$ の解は一致するので， $A\m{x}=\m{c}$ の解の自由度も $n-N$ となり，定理が従う．

すなわち， $\rank{A}(=\rank{[A,\m{c}]})$ が未知数の個数に比べて小さいほど，自由度が大きいわけですね．

まとめ

以上のことをイメージとしてまとめておきましょう．

例えば，２つの連立方程式

$\begin{align*} \begin{cases} x+2y=1\\ 4x+5y=2\\ 7x+8y=3 \end{cases},\quad \begin{cases} x+2y+3z=1\\ 4x+5y+6z=2\\ \end{cases} \end{align*}$

を考えます．これらを比べたとき

前者のように，未知数が方程式の個数に比べて少ないときは，未知数の制限が強く解が存在しないかもしれない
後者のように，未知数が方程式の個数に比べて多いときは，未知数の制限が弱く未知数はけっこう自由にとれそう

というわけです．

そして実際に連立方程式 $A\m{x}=\m{c}$ の未知数の制限の強さは

係数行列のランク $\rank{A}$
拡大係数行列のランク $\rank{[A,\m{c}]}$

の差によって決まるというわけですね．

一連の記事はこちら

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