連立１次方程式が[解をもつ条件]と[解の自由度]の考え方

例えば，連立１次方程式

$\begin{align*} \begin{cases} 2x+3y=2\\ x-y=3\\ \end{cases} \end{align*}$

は$A=\bmat{2&3\\1&-1}$, $\m{x}=\bmat{x\\y}$, $\m{c}=\bmat{2\\3}$とおくと$A\m{x}=\m{c}$と表せます．

このように，中学校以来よく扱ってきた$\m{x}$の連立１次方程式は，行列$A$とベクトル$\m{c}$を用いて$A\m{x}=\m{c}$と表すことができるのでした．

このことからも分かるように連立１次方程式は線形代数学と密接に関わっており，実際に線形代数学の基礎を理解する上で連立１次方程式を理解することは非常に重要です．

連立１次方程式$A\m{x}=\m{c}$は

係数行列のランク$\rank{A}$
拡大係数行列のランク$\rank{[A,\m{c}]}$

を比べることで，解をもつ条件を求めることができます．

この記事では，係数行列と拡大係数行列，行列のランクを復習をしたのち

連立１次方程式が解をもつ条件
解の自由度

を考えます．

なお，この記事では実数$\R$を中心に説明しますが，複素数$\C$など一般の体に対しても同様です．

「線形代数学の基本」の一連の記事はこちら

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】

・行列と数ベクトル
【線形代数１｜行列の計算の基本！行列の積はなぜこうなる？】
【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数３｜正則の条件を簡単に！基本変形と行列の積の話】
【線形代数４｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】
【線形代数５｜連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度】←今の記事
【線形代数６｜線形独立のイメージと線形独立であるための条件】

・行列式
【線形代数７｜行列の正則性を判定できる行列式のイメージ】
【線形代数８｜行列式を定義するための置換の性質を理解する】
【線形代数９｜「行列式」は線形代数の要！定義と性質を解説】
【線形代数10｜[余因子展開]と[行列式による正則条件]を解説】

・部分空間と基底
【線形代数11｜数ベクトル空間の部分空間と基底の考え方】
【線形代数12｜部分空間の同型と部分空間の次元(準備中)】
【線形代数13｜線形写像の像と核と次元定理(準備中)】
【線形代数14｜部分空間の和空間と共通部分の空間(準備中)】

・固有値と固有ベクトル
【線形代数15｜「固有値」「固有ベクトル」「対角化」とは？】
【線形代数16｜固有値と固有ベクトルは２ステップで求める！】
【線形代数17｜固有値・固有ベクトルの基本性質のまとめ】
【線形代数18｜固有空間はなぜ大切か？対角化の必要十分条件】

1 いくつかの復習
- 1.1 係数行列と拡大係数行列
- 1.2 行列のランク
2 連立１次方程式と解と自由度
3 線形独立
4 参考文献
- 4.1 線型代数入門

いくつかの復習

本題に入る前に，

連立１次方程式の係数行列と拡大係数行列
行列のランク

について復習をしておきましょう．

それぞれの詳しい説明は第２回の記事，第４回の記事を参照してください．

第２回の記事，第３回の記事はこちら

【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数４｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】

係数行列と拡大係数行列

連立１次方程式の係数行列と拡大係数行列は次のように定義されるのでした．

$A\in\Mat_{mn}(\R)$と$\m{c}\in\R^{m}$に対し，$A$, $[A,\m{c}]$をそれぞれ連立方程式$A\m{x}=\m{c}$の係数行列 (coefficient matrix)，拡大係数行列 (enlarged coefficient matrix)という．

例えば，$A=\bmat{1&2&3\\4&5&6}$, $\m{c}=\bmat{7\\8}$に対し，$\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$の連立１次方程式$A\m{x}=\m{c}$は

$\begin{align*} &\bmat{1&2&3\\4&5&6}\bmat{x\\y\\z}=\bmat{7\\8} \\\iff&\begin{cases} x+2y+3z=7\\ 4x+5y+6z=8 \end{cases} \end{align*}$

で，この係数行列，拡大係数行列はそれぞれ

$\begin{align*} A=\bmat{1&2&3\\4&5&6},\quad [A,\m{c}]=\bmat{1&2&3&7\\4&5&6&8} \end{align*}$

ですね．

行列のランク

行列のランクを定義するためには，以下の事実が必要なのでした．

行基本変形により，任意の行列は簡約行列に変形できる．

なお，簡約行列とは，

$\begin{align*} &\bmat{1&0&3&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1},\quad \bmat{0&1&0&4\\0&0&1&2\\0&0&0&0},\quad \bmat{1&0\\0&1\\0&0} \end{align*}$

のように，

第$i$行から第$i+1$行に移るごとに左側から０が増えていき，
各行の０でない最も左の成分が全て１であるような行列

のことを言うのでした．

さて，このことから行列のランクは以下のように定義されます．

行列$A$に対して，$A$に行基本変形を施して簡約行列$B$になったとき，零行ベクトルでない$B$の行の個数を$A$のランク (階数，rank)といい，$\rank{A}$や$\operatorname{rk}{A}$などと表す．

例えば，行基本変形により

$\begin{align*} \bmat{2&3&-2\\2&-2&8\\-3&0&-6} \to&\bmat{2&3&-2\\1&-1&4\\-3&0&-6} \to\bmat{2&3&-2\\1&-1&4\\-1&0&-2} \\\to&\bmat{1&-1&4\\2&3&-2\\-1&0&-2} \to\bmat{1&-1&4\\0&5&-10\\0&-1&2} \\\to&\bmat{1&-1&4\\0&1&-2\\0&-1&2} \to\bmat{1&-1&4\\0&1&-2\\0&0&0} \end{align*}$

なので，

$\begin{align*} \rank{\bmat{2&3&-2\\2&-2&8\\-3&0&-6}} =\rank{\bmat{1&-1&4\\0&1&-2\\0&0&0}} =2 \end{align*}$

ですね．

連立１次方程式と解と自由度

それでは本題に移ります．

具体例から

まずは３つ具体例を考えます．

次の行列$A$とベクトル$\m{c}$に対して，$\m{x}=[x,y,z]^{T}$の連立１次方程式$A\m{x}=\m{c}$は解を持つか．

$A=\bmat{1&1&1\\0&1&0\\0&0&1}$, $\m{c}=\bmat{1\\2\\3}$
$A=\bmat{1&1&1\\0&1&0\\0&0&0}$, $\m{c}=\bmat{1\\2\\3}$
$A=\bmat{1&1&2\\1&2&3}$, $\m{c}=\bmat{3\\2}$

素朴に掃き出し法で考えましょう．

(1)　拡大係数行列$[A,\m{c}]$を行基本変形により簡約化すると

$\begin{align*} [A,\m{c}] =&\bmat{1&1&1&1\\0&1&0&2\\0&0&1&3} \\\to&\bmat{1&0&1&-1\\0&1&0&2\\0&0&1&3} \\\to&\bmat{1&0&0&-4\\0&1&0&2\\0&0&1&3} \end{align*}$

なので，連立方程式は$(x,y,z)=(-4,2,3)$と解けますね．

(2)　拡大係数行列$[A,\m{c}]$を行基本変形により簡約化すると

$\begin{align*} [A,\m{c}] =&\bmat{1&1&1&1\\0&1&0&2\\0&0&0&3} \\\to&\bmat{1&0&1&-1\\0&1&0&2\\0&0&0&3} \end{align*}$

なので，これに対応する連立方程式は

$\begin{align*} \begin{cases} x+z=-2\\ y=2\\ 0=3 \end{cases} \end{align*}$

となります．この連立方程式の第３式はどのように$(x,y,z)$を選んでも満たしえませんから，解なしとなります．

(3)　拡大係数行列$[A,\m{c}]$を行基本変形により簡約化すると

$\begin{align*} [A,\m{c}] =&\bmat{1&1&2&3\\1&2&3&2} \\\to&\bmat{1&1&2&3\\0&1&1&-1} \\\to&\bmat{1&0&1&4\\0&1&1&1} \end{align*}$

なので，これに対応する連立方程式は

$\begin{align*} \begin{cases} x+z=4\\ y+z=1 \end{cases} \end{align*}$

となります．このとき，$z$に任意に値を代入でき，それぞれの場合で$x$, $y$の値が決まります．

よって，$z=c$ ($c$は任意定数)とすることで，解は$(x,y,z)=(4-c,1-c,c)$と表せることが分かりました．

解をもつための条件

この２つ目の例では

$\rank{A}=2$
$\rank{[A,c]}=3$

となっています．

このように，「係数行列のランク$\rank{A}$が拡大係数行列のランク$\rank{[A,\m{c}]}$より小さいと，どう頑張っても成り立たない等式$0=a$ $(a\neq0)$が現れて解けない」ということが見てとれます．

実際，一般に以下が成り立ちます．

$A\in\Mat_{mn}(\R)$と$\m{c}\in\R^{m}$に対し，以下が成り立つ．

$\rank{A}<\rank{[A,\m{c}]}$が成り立つことと，$\m{x}$の連立方程式$A\m{x}=\m{c}$が解をもたないことは同値である．
$\rank{A}=\rank{[A,\m{c}]}$が成り立つことと，$\m{x}$の連立方程式$A\m{x}=\m{c}$が解をもつことは同値である．

証明を表示

$[A,\m{c}]$の簡約化を$[B,\m{d}]$とする．

このとき，$\rank{B}\le\rank{[B,\m{d}]}$が成り立つことに注意すると，行基本変形によるランクの不変性と併せて

$\begin{align*} \rank{A}=\rank{B}\le\rank{[B,\m{d}]}=\rank{[A,\m{c}]} \end{align*}$

が成り立つ．よって，$\rank{A}$と$\rank{[A,\m{c}]}$の関係は

$\rank{A}<\rank{[A,\m{c}]}$
$\rank{A}=\rank{[A,\m{c}]}$

のいずれかとなる．

ここで，$\m{d}=[d_{1},\dots,d_{m}]^{T}$とする．

(1)　$\rank{A}<\rank{[A,\m{c}]}$のとき，$\rank{B}<\rank{[B,\m{d}]}$である．

このとき，ある$j\in\{1,\dots,m\}$が存在して

$B$の第$j$行の成分は全て０である
$\m{d}$の第$j$成分は０でない

が成り立つ．

これにより，連立方程式$B\m{x}=\m{d}$の$j$番目の方程式の左辺は０であるが，右辺は０ではないから，$j$番目の方程式を満たす$\m{x}$は存在せず$B\m{x}=\m{d}$は解をもたない．

(2)　$\rank{A}=\rank{[A,\m{c}]}$のとき，$\rank{B}=\rank{[B,\m{d}]}$である．

主成分をもたない列に対応する未知数$x_{i}$を全て０とし，主成分をもつ列に対応する未知数$x_{i}$を順に$d_1,\dots,d_m$としてできた$\m{x}$は$B\m{x}=\m{d}$の解となる．

よって，$B\m{x}=\m{d}$は解をもつ．

これで，(1), (2)の必要性が示された．

逆に，(1)の必要性の対偶をとれば(2)の十分性が従い，(2)の必要性の対偶をとれば(1)の十分性が従う．

解の自由度

次に連立１次方程式$A\m{x}=\m{c}$が解をもつときの解の様子をもう少し詳しく考えましょう．

したがって，次は$\rank{A}=\rank{[A,\m{c}]}$として考えます．

先ほどの具体例の３つ目のように，係数行列を簡約化したとき，主成分の存在しない列に対応する未知数に任意定数を与えると，方程式の解を全て表すことができます．

これについて，「解の自由度」を以下のように定義します．

$A\in\Mat_{mn}(\R)$と$\m{c}\in\R^{m}$に対し，$\m{x}$の連立方程式$A\m{x}=\m{c}$の解が任意定数を$k$個含むとき，解の自由度は$k$であるという．

解の自由度について，以下の定理が成り立ちます．

$A\in\Mat_{mn}(\R)$, $\m{c}\in\R^{n}$に対して，$N:=\rank{A}=\rank{[A,\m{c}]}$をみたすとする．このとき，$\m{x}$の方程式$A\m{x}=\m{c}$の解の自由度は$n-N$である．

証明を表示

$[A,\m{c}]$の簡約化を$[B,\m{d}]$とする．

このとき，$\rank{B}=\rank{A}=N$なので$B$の主成分は$N$個あるから，$B$の主成分が存在しない列は$(n-N)$個ある．

この$B$の主成分が存在しない列に対応する未知数$x_{i_{1}},\dots,x_{i_{n-N}}$それぞれに任意定数$c_{1},\dots,c_{n-N}$を与えると，$\m{x}$の連立方程式$B\m{x}=\m{d}$の残りの未知数は全て$c_{1},\dots,c_{n-N}$で一意に表される．

すなわち，$B\m{x}=\m{d}$の解の自由度は$n-N$となる．

連立方程式$A\m{x}=\m{c}$と$B\m{x}=\m{d}$の解は一致するので，$A\m{x}=\m{c}$の解の自由度も$n-N$となり，定理が従う．

すなわち，$\rank{A}(=\rank{[A,\m{c}]})$が未知数の個数に比べて小さいほど，自由度が大きいわけですね．

まとめ

以上のことをイメージとしてまとめておきましょう．

例えば，２つの連立方程式

$\begin{align*} \begin{cases} x+2y=1\\ 4x+5y=2\\ 7x+8y=3 \end{cases},\quad \begin{cases} x+2y+3z=1\\ 4x+5y+6z=2\\ \end{cases} \end{align*}$

を考えます．これらを比べたとき

前者のように，未知数が方程式の個数に比べて少ないときは，未知数の制限が強く解が存在しないかもしれない
後者のように，未知数が方程式の個数に比べて多いときは，未知数の制限が弱く未知数はけっこう自由にとれそう

というわけです．

そして実際に連立方程式$A\m{x}=\m{c}$の未知数の制限の強さは

係数行列のランク$\rank{A}$
拡大係数行列のランク$\rank{[A,\m{c}]}$

の差によって決まるというわけですね．

線形独立

前回の記事と今のこの記事で，ランクを考えることで

正方行列が正則であるための条件
連立１次方程式が解を持つための条件

などが分かることを説明しました．

その際，ランクは基本変形によって考えてきましたが，ベクトルの線形独立という考え方をもとにしても考えることができます．

また，線形独立性はとても重要な概念で，線形代数学全体において頻繁に現れます．

次の記事では

線形独立とは何か
線形独立性と行列のランクの関係

を説明します．

「線形代数学の基本」の一連の記事はこちら

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】

・行列と数ベクトル
【線形代数１｜行列の計算の基本！行列の積はなぜこうなる？】
【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数３｜正則の条件を簡単に！基本変形と行列の積の話】
【線形代数４｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】
【線形代数５｜連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度】
【線形代数６｜線形独立のイメージと線形独立であるための条件】←次の記事

参考文献

線型代数入門

[齋藤正彦著/東京大学出版会]

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また，テキストのレベルとしては少なくとも理論系(特に数学系)の学部生であれば，確実に理解しておきたい程度のものとなっています．

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なお，本書については，以下の記事で書評としてまとめています．

【書評｜線型代数入門(齋藤正彦著，東京大学出版会)】

本書の良い点や気になる点，オススメの使い方などをレビューしています．これから理論系として数学を扱う人は，是非とも持っておきたい１冊です．