線形代数３｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件

$A\in\Mat_{n}(\R)$とし，$AB=I$をみたす正方行列$B$が存在すれば$A$は正則であることを，$n$に関する数学的帰納法により示す．

[1]　$n=1$のとき

$A=[a]$とすると，$AB=I$から$a\neq0$であり，$B=[a^{-1}]$である．

よって，$BA=[a^{-1}a]=[1]=I$が従う．

なお，$A=[a]$や$B=[a^{-1}]$は１行１列の行列表示である．

[2]　$n=k$のときに定理が成り立つと仮定し，$A, B\in\Mat_{k+1}(\R)$は$AB=I$を満たすとする．

もし$A$の第１行の成分が全て０なら積$AB$の$(1,1)$成分が０となって$AB=I$とは成り得ないから，$A$の第１行には０でない成分$a$が存在する．

よって，$A$に列基本変形を施して，$(1,1)$成分が０でない行列$A_{1}$に変形できる：

さらに，$A_{1}$に行基本変形と列基本変形を施して，第１行と第１列の$(1,1)$を除く全ての成分が０であるような行列$A_{2}$に変形できる：

行基本変形と列基本変形で$A$が$A_{2}$に変形されたから，$XAY=A_{2}$となる正則行列$X$, $Y$が存在する($X$, $Y$は上で定めた$P_{ij}$, $Q_{i}^{(k)}$, $R_{ij}^{(k)}$の積となっている)．

ここで，$A_{2}$, $Y^{-1}BX^{-1}$を

とおく．$XX^{-1}=YY^{-1}=AB=I$だから，

だから，

が成り立つ．よって，

• $A_{3}B’=I_{k}$と帰納法の仮定を併せて，$A_{3}$は正則で逆行列$B’$をもち，
• $a\neq0$だから$a\m{y}^{T}=\m{0}^{T}$より$\m{y}=\m{0}$が成り立ち，
• ${A_{3}}^{-1}$を$A_{3}\m{z}=\m{0}$の両辺に左からかけて$\m{z}=\m{0}$が成り立つ．

これより，$Y^{-1}BX^{-1}=\bmat{x&\m{0}^{T}\\\m{0}&B’}$となるから，

が成り立つ．よって，$A$は正則で，$A^{-1}=B$である．

背理法により示す．すなわち，行列$A\in\Mat_{mn}(\R)$を行基本変形して，

• 主成分を$r$個もつ簡約行列$B=[\m{b}_{1},\dots,\m{b}_{n}]$
• 主成分を$s$個もつ簡約行列$C=[\m{c}_{1},\dots,\m{c}_{n}]$

のどちらにもなり得るとして矛盾を導く($s<r$)．

このとき，任意の$k\in\{1,\dots,n\}$に対して，$\m{b}_{k}$の第$r+1$成分以下は全て0であり，$\m{c}_{k}$の第$s+1$成分以下は全て0であることに注意する．

さらに，$B$の主成分以外の成分がすべて0になるように列基本変形を施してできる行列を$B_{1}$とする．

また，同様に$C$の主成分が存在する列$\m{e}_{\ell}$ ($\ell=1,\dots,s$)が第$\ell$列になるように列基本変形を施し，主成分以外の成分がすべて0になるように列基本変形を施してできる行列を$C_{1}$とする．

このとき，

である．

行基本変形$A\to B$, $A\to C$を引き起こす行列をそれぞれ$S$, $T$とし，列基本変形$B\to B_{1}$, $C\to C_{1}$を引き起こす行列をそれぞれ$S’$, $T’$とすると，$SA=B$, $TA=C$, $BS’=B_{1}$, $CT’=C_{1}$が成り立つ．

$S$, $T$, $S’$, $T’$はいずれも正則なので，$A=S^{-1}B$, $A=T^{-1}C$, $B=B_{1}S’^{-1}$, $C=C_{1}T’^{-1}$だから，

を得る．

このとき，$TS^{-1}$, $S’^{-1}T’$, $B_{1}$, $C_{1}$を

となるように適当な行列$U_{k}$, $U’_{k}$ ($k=1,\dots,4$)で表すと，

となる．よって，

が成り立つ．$U’_{1}$は正則となるから，${U’_{1}}^{-1}$を$O=U_{3}U’_{1}$の両辺に右からかけて$U_{3}=O$を得る．

よって，

• $C_{1}$の第$r+1$行以降の成分はすべて０となるが，
• $C_{1}$の$(r+1,r+1)$成分は１

だから矛盾する．

[$1\Ra2$]　$\rank{A}=n$なら，$A$が$n$列であることと併せて$A$の簡約化は$I$である．

よって，行基本変形でこの簡約化を引き起こす正則行列$P$が存在して$PA=I$となるから，$A$は正則である．

[$2\Ra1$]　$A$の簡約化を$B$とし，この行基本変形を引き起こす正則行列$P$が存在して$PA=B$が成り立ち，$\rank{A}=\rank{B}$が成り立つ．

$A$が正則なら$P$の正則性と併せて$B$も正則だから，$B$は正則である．

よって，$B$に主成分をもたない行が存在しないから，$\rank{A}=\rank{B}=n$が従う(なお，このとき$B=I$である)．

行基本変形$[A,I]\to[I,B]$を引き起こす正則行列を$P$とすると，$[PA,PI]=[I,B]$が成り立つから$PA=I$かつ$P=B$である．

よって，$BA=I$が成り立つから，$A$は正則で$B=A^{-1}$である．