連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形

たとえば

$\begin{align*} \begin{cases}x+y+z=2\\x+2y+3z=4\end{cases} \end{align*}$

のように，いくつかの１次方程式を同時に満たす複数の未知数に関する方程式を連立１次方程式といいます．

連立１次方程式の解法として加減法がありますが，加減法は行列を考えることによって本質的に全く同じことができ，この行列を用いた解法を掃き出し法といいます．

加減法は掃き出し法から自然に考えることのできる解法であるが，この掃き出し法を基にして線形代数の理論が組み立てられる重要な考え方です．

なお，この記事では実数$\R$を中心に説明しますが，複素数$\C$など一般の体に対しても同様です．

一連の記事はこちら

・行列と数ベクトル
【線形代数１｜行列の計算の基本！行列の積はなぜこうなる？】
【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】←今の記事
【線形代数３｜正則の条件を簡単に！基本変形と行列の積の話】
【線形代数４｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】
【線形代数５｜連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度】
【線形代数６｜線形独立のイメージと線形独立であるための条件】

・行列式
【線形代数７｜行列の正則性を判定できる行列式のイメージ】
【線形代数８｜行列式を定義するための置換の性質を理解する】
【線形代数９｜「行列式」は線形代数の要！定義と性質を解説】

・部分空間と基底
【線形代数10｜数ベクトル空間の部分空間と基底の考え方(準備中)】
【線形代数11｜部分空間の同型と部分空間の次元(準備中)】
【線形代数12｜線形写像の像と核と次元定理(準備中)】
【線形代数13｜部分空間の和空間と共通部分の空間(準備中)】

・固有値と固有ベクトル
【線形代数14｜「固有値」「固有ベクトル」「対角化」とは？】
【線形代数15｜固有値と固有ベクトルは２ステップで求める！】
【線形代数16｜「固有値」と「固有ベクトル」の性質のまとめ(準備中)】

1 連立１次方程式
2 行列の基本変形

連立１次方程式

連立１次方程式は線形代数の理論と関わりが深い，というより連立１次方程式の理論は線形代数の重要な基盤であると言っても言い過ぎではないでしょう．

方程式の解

念のため，まずは「方程式の解」の定義を明示しておきます．

$x_{1},\dots,x_{n}$の方程式$f(x_{1},\dots,x_{n})=0$に対して，

$\begin{align*} f(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})=0 \end{align*}$

が成り立つとき，$(x_{1},\dots,x_{n})=(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$を方程式$f(x_{1},\dots,x_{n})=0$の解といい，方程式の解を全て求めることを，方程式を解くという．

また，$\m{x}=\bmat{x_{1}\\\vdots\\x_{n}}$とするとき，$x_{1},\dots,x_{n}$の方程式のことを$\m{x}$の方程式ともいう．

要するに，代入して成り立つものが方程式の解なわけですね．

連立１次方程式

$\m{x}\in\R^n$の１次方程式の連立方程式を$\m{x}$の連立１次方程式といいます．

単一の１次方程式も１個の１次方程式の連立方程式とみなせば，たとえば

$\begin{align*} \begin{cases} x+y+z=2\\ 3x-2y+2z=4\\ 2x-3y+z=2\\ x+2y-5=2 \end{cases},\quad \begin{cases} x+y+z=2\\ 2x+2y+2z=5 \end{cases},\quad x+y+2z=0 \end{align*}$

はいずれも$\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$の連立１次方程式ですね．

このように，

(未知数の個数) < (連立している方程式の個数)
(未知数の個数) > (連立している方程式の個数)

のいずれの場合もありえます．

ベクトルと行列を用いた連立方程式の表し方

$x$, $y$, $z$に関する連立方程式

$\begin{align*} \begin{cases} x+2y+3z=6\\ 4x+5y+6z=9\\ 7x+8y+9z=12 \end{cases} \end{align*}$

は

$\begin{align*} x\bmat{1\\4\\7}+y\bmat{2\\5\\8}+z\bmat{3\\6\\9}=\m{c} \end{align*}$

とベクトルの和として表せますね．さらに，$A=\bmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}$, $\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$とすると，連立方程式は

$\begin{align*} A\m{x}=\m{c} \end{align*}$

と行列を用いても表せます．

これを一般化すると，$A=(a_{ij})=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]\in\Mat_{mn}(\R)$と$\m{c}=\bmat{c_{1}\\\vdots\\c_{m}}\in\R^{m}$に対し，$A\m{x}=\m{c}$は$\m{x}=[x_{1},\dots,x_{n}]^{T}$に関する$m$元連立１次方程式ということになります(方程式は$n$個)：

$\begin{align*} &\begin{cases} a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n=c_{1}\\ \hspace{3em}\vdots\\ a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n=c_{m} \end{cases} \\\iff& x_1\m{a}_1+\dots+x_n\m{a}_n=\m{c} \\\iff& A\m{x}=\m{c} \end{align*}$

これについて，以下のように定義します．

$A\in\Mat_{mn}(\R)$と$\m{c}\in\R^{m}$に対し，$A$, $[A,\m{c}]$をそれぞれ連立方程式$A\m{x}=\m{c}$の係数行列 (coefficient matrix)，拡大係数行列 (enlarged coefficient matrix)という．

例えば，$A=\bmat{1&2&3\\4&5&6}$, $\m{c}=\bmat{7\\8}$に対し，$\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$の連立方程式$A\m{x}=\m{c}$は

$\begin{align*} &\bmat{1&2&3\\4&5&6}\bmat{x\\y\\z}=\bmat{7\\8} \\\iff&\begin{cases} x+2y+3z=7\\ 4x+5y+6z=8 \end{cases} \end{align*}$

で，この係数行列，拡大係数行列はそれぞれ

$\begin{align*} A=\bmat{1&2&3\\4&5&6},\quad [A,\m{c}]=\bmat{1&2&3&7\\4&5&6&8} \end{align*}$

ですね．

行列の基本変形

行列の重要な変形に基本変形というものがあります．

基本変形は連立１次方程式の加減法と密接に関わっているので，念のため加減法を復習しましょう．

連立方程式の加減法

連立方程式

$\begin{align*} \begin{cases} 2x+3y=8\\ x+2y=5 \end{cases} \end{align*}$

は，たとえば以下のように加減法により解くことができます．

$\begin{align*} \left\{\begin{matrix} 2x&+&3y&=&8\\ x&+&2y&=&5 \end{matrix}\right. \iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ 2x&+&3y&=&8 \end{matrix}\right. \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &&y&=&2 \end{matrix}\right. \end{align*}$

この加減法を一般化して，加減法とは以下のようにいうことができます．

連立１次方程式について，

ある等式を$k$倍する($k\neq0$)
ある等式の$k$倍を別の等式に加える
ある等式と別の等式の順番を入れ替える

という３つの操作を繰り返すことによって解を求める手続きを加減法という．

基本変形

結局，連立１次方程式の加減法は係数だけを見ていれば良いことに気が付きます．

つまり，いまみた加減法は以下のように拡大係数行列$\bmat{2&3&8\\1&2&5}$の変形と対応しています．

$\begin{align*} &\left\{\begin{matrix} 2x&+&3y&=&8\\ x&+&2y&=&5 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{2&3&8\\1&2&5} \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ 2x&+&3y&=&8 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&2&5\\2&3&8} \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&2&5\\0&-1&-2} \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&0&1\\0&-1&-2} \\\iff&\left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &&y&=&2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&0&1\\0&1&2} \end{align*}$

この連立１次方程式の加減法に対応する行列の変形を行基本変形といいます．つまり，行列の基本変形を以下のように定義します．

行列について，

ある行を$k$倍する($k\neq0$)
ある行の$k$倍を別の行に加える
ある行と別の行を入れ替える

という３つの変形を併せて行基本変形という．

掃き出し法

拡大係数行列の行基本変形によって連立１次方程式を解く方法を掃き出し法といいます．

掃き出し法で考える際には，元の連立１次方程式とどのように対応しているかを考えることが重要です．

たとえば，連立方程式$\begin{cases}x+2y+z=3\\3x+4y+5z=3\end{cases}$の拡大係数行列は$\bmat{1&2&1&3\\3&4&5&3}$なので，行基本変形により

$\begin{align*} \bmat{1&2&1&3\\3&4&5&3} \to&\bmat{1&2&1&3\\0&-2&2&-6} \\\to&\bmat{1&2&1&3\\0&1&-1&3} \\\to&\bmat{1&0&3&-3\\0&1&-1&3} \end{align*}$

だから，

$\begin{align*} \begin{cases} x+2y+z=3\\ 3x+4y+5z=3 \end{cases} \iff \begin{cases} x+3z=-3\\ y-z=3 \end{cases} \end{align*}$

となり，解は$(x,y,z)=(-3-3c,3+c,c)$と表せます．ただし，$c$は任意定数です．

任意定数

今の例で任意定数が登場したので，その考え方を説明しておきます．

連立方程式を変形してできた

$\begin{align*} \begin{cases}x+3z=-3\\y-z=3\end{cases} \end{align*}$

から，たとえば

$z=0$なら$x=-3$, $y=3$
$z=1$なら$x=-6$, $y=4$
$z=2$なら$x=-9$, $y=5$

のように，$z$の値を決めれば$x$と$y$の値も決まります．

このように，$z=c$とおいて得られる解$x=-3-3c$, $y=3+c$は全ての解となります．これが任意定数の意味です．

なお，任意定数については，のちの記事でも詳しく説明します．

一連の記事はこちら

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】

・行列と数ベクトル
【線形代数１｜行列の計算の基本！行列の積はなぜこうなる？】
【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数３｜正則の条件を簡単に！基本変形と行列の積の話】←今の記事
【線形代数４｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】
【線形代数５｜連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度】
【線形代数６｜線形独立のイメージと線形独立であるための条件】