線形代数2|連立1次方程式の掃き出し法と行列の基本変形

たとえば

\begin{align*} \begin{cases}x+y+z=2\\x+2y+3z=4\end{cases} \end{align*}

のように,いくつかの1次方程式を同時に満たす複数の未知数に関する方程式を連立1次方程式といいます.

連立1次方程式の解法として加減法がありますが,加減法は行列を考えることによって本質的に全く同じことができ,この行列を用いた解法を掃き出し法といいます.

加減法は掃き出し法から自然に考えることのできる解法であるが,この掃き出し法を基にして線形代数の理論が組み立てられる重要な考え方です.

なお,この記事では実数$\R$を中心に説明しますが,複素数$\C$など一般の体に対しても同様です.

連立1次方程式

連立1次方程式は線形代数の理論と関わりが深い,というより連立1次方程式の理論は線形代数の重要な基盤であると言っても言い過ぎではないでしょう.

方程式の解

念のため,まずは「方程式の解」の定義を明示しておきます.

$x_{1},\dots,x_{n}$の方程式$f(x_{1},\dots,x_{n})=0$に対して,

\begin{align*} f(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})=0 \end{align*}

が成り立つとき,$(x_{1},\dots,x_{n})=(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$を方程式$f(x_{1},\dots,x_{n})=0$のといい,方程式の解を全て求めることを,方程式を解くという.

また,$\m{x}=\bmat{x_{1}\\\vdots\\x_{n}}$とするとき,$x_{1},\dots,x_{n}$の方程式のことを$\m{x}$の方程式ともいう.

要するに,代入して成り立つものが方程式の解なわけですね.

連立1次方程式

$\m{x}\in\R^n$の1次方程式の連立方程式を$\m{x}$の連立1次方程式といいます.

単一の1次方程式も1個の1次方程式の連立方程式とみなせば,たとえば

\begin{align*} \begin{cases} x+y+z=2\\ 3x-2y+2z=4\\ 2x-3y+z=2\\ x+2y-5=2 \end{cases},\quad \begin{cases} x+y+z=2\\ 2x+2y+2z=5 \end{cases},\quad x+y+2z=0 \end{align*}

はいずれも$\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$の連立1次方程式ですね.

このように,

  • (未知数の個数) < (連立している方程式の個数)
  • (未知数の個数) > (連立している方程式の個数)

のいずれの場合もありえます.

ベクトルと行列を用いた連立方程式の表し方

$x$, $y$, $z$に関する連立方程式

\begin{align*} \begin{cases} x+2y+3z=6\\ 4x+5y+6z=9\\ 7x+8y+9z=12 \end{cases} \end{align*}

\begin{align*} x\bmat{1\\4\\7}+y\bmat{2\\5\\8}+z\bmat{3\\6\\9}=\m{c} \end{align*}

ベクトルの和として表せますね.さらに,$A=\bmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}$, $\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$とすると,連立方程式は

\begin{align*} A\m{x}=\m{c} \end{align*}

行列を用いても表せます.

これを一般化すると,$A=(a_{ij})=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]\in\Mat_{mn}(\R)$と$\m{c}=\bmat{c_{1}\\\vdots\\c_{m}}\in\R^{m}$に対し,$A\m{x}=\m{c}$は$\m{x}=[x_{1},\dots,x_{n}]^{T}$に関する$m$元連立1次方程式ということになります(方程式は$n$個):

\begin{align*} &\begin{cases} a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n=c_{1}\\ \hspace{3em}\vdots\\ a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n=c_{m} \end{cases} \\\iff& x_1\m{a}_1+\dots+x_n\m{a}_n=\m{c} \\\iff& A\m{x}=\m{c} \end{align*}

これについて,以下のように定義します.

$A\in\Mat_{mn}(\R)$と$\m{c}\in\R^{m}$に対し,$A$, $[A,\m{c}]$をそれぞれ連立方程式$A\m{x}=\m{c}$の係数行列 (coefficient matrix)拡大係数行列 (enlarged coefficient matrix)という.

例えば,$A=\bmat{1&2&3\\4&5&6}$, $\m{c}=\bmat{7\\8}$に対し,$\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$の連立方程式$A\m{x}=\m{c}$は

\begin{align*} &\bmat{1&2&3\\4&5&6}\bmat{x\\y\\z}=\bmat{7\\8} \\\iff&\begin{cases} x+2y+3z=7\\ 4x+5y+6z=8 \end{cases} \end{align*}

で,この係数行列,拡大係数行列はそれぞれ

\begin{align*} A=\bmat{1&2&3\\4&5&6},\quad [A,\m{c}]=\bmat{1&2&3&7\\4&5&6&8} \end{align*}

ですね.

行列の基本変形

行列の重要な変形に基本変形というものがあります.

基本変形は連立1次方程式の加減法と密接に関わっているので,念のため加減法を復習しましょう.

連立方程式の加減法

連立方程式

\begin{align*} \begin{cases} 2x+3y=8\\ x+2y=5 \end{cases} \end{align*}

は,たとえば以下のように加減法により解くことができます.

\begin{align*} \left\{\begin{matrix} 2x&+&3y&=&8\\ x&+&2y&=&5 \end{matrix}\right. \iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ 2x&+&3y&=&8 \end{matrix}\right. \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &&y&=&2 \end{matrix}\right. \end{align*}

この加減法を一般化して,加減法とは以下のようにいうことができます.

連立1次方程式について,

  1. ある等式を$k$倍する($k\neq0$)
  2. ある等式の$k$倍を別の等式に加える
  3. ある等式と別の等式の順番を入れ替える

という3つの操作を繰り返すことによって解を求める手続きを加減法という.

基本変形

結局,連立1次方程式の加減法は係数だけを見ていれば良いことに気が付きます.

つまり,いまみた加減法は以下のように拡大係数行列$\bmat{2&3&8\\1&2&5}$の変形と対応しています.

\begin{align*} &\left\{\begin{matrix} 2x&+&3y&=&8\\ x&+&2y&=&5 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{2&3&8\\1&2&5} \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ 2x&+&3y&=&8 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&2&5\\2&3&8} \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&2&5\\0&-1&-2} \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&0&1\\0&-1&-2} \\\iff&\left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &&y&=&2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&0&1\\0&1&2} \end{align*}

この連立1次方程式の加減法に対応する行列の変形を行基本変形といいます.つまり,行列の基本変形を以下のように定義します.

行列について,

  1. ある行を$k$倍する($k\neq0$)
  2. ある行の$k$倍を別の行に加える
  3. ある行と別の行を入れ替える

という3つの変形を併せて行基本変形という.

掃き出し法

拡大係数行列の行基本変形によって連立1次方程式を解く方法を掃き出し法といいます.

掃き出し法で考える際には,元の連立1次方程式とどのように対応しているかを考えることが重要です.

たとえば,連立方程式$\begin{cases}x+2y+z=3\\3x+4y+5z=3\end{cases}$の拡大係数行列は$\bmat{1&2&1&3\\3&4&5&3}$なので,行基本変形により

\begin{align*} \bmat{1&2&1&3\\3&4&5&3} \to&\bmat{1&2&1&3\\0&-2&2&-6} \\\to&\bmat{1&2&1&3\\0&1&-1&3} \\\to&\bmat{1&0&3&-3\\0&1&-1&3} \end{align*}

だから,

\begin{align*} \begin{cases} x+2y+z=3\\ 3x+4y+5z=3 \end{cases} \iff \begin{cases} x+3z=-3\\ y-z=3 \end{cases} \end{align*}

となり,解は$(x,y,z)=(-3-3c,3+c,c)$と表せます.ただし,$c$は任意定数です.

任意定数

今の例で任意定数が登場したので,その考え方を説明しておきます.

連立方程式を変形してできた

\begin{align*} \begin{cases}x+3z=-3\\y-z=3\end{cases} \end{align*}

から,たとえば

  • $z=0$なら$x=-3$, $y=3$
  • $z=1$なら$x=-6$, $y=4$
  • $z=2$なら$x=-9$, $y=5$

のように,$z$の値を決めれば$x$と$y$の値も決まります.

このように,$z=c$とおいて得られる解$x=-3-3c$, $y=3+c$は全ての解となります.これが任意定数の意味です.

なお,任意定数については,4つ目の記事でも詳しく説明します.

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