連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形

たとえば

$\begin{align*} \begin{cases}x+y+z=2\\x+2y+3z=4\end{cases} \end{align*}$

のように，いくつかの１次方程式を同時に満たす複数の未知数に関する方程式を連立１次方程式という．

連立１次方程式の解法として加減法があるが，加減法は行列を考えることによっても同じことができ，この行列を用いた解法を掃き出し法という．

加減法は掃き出し法から自然に考えることのできる解法であるが，この掃き出し法を基にして線形代数の理論が組み立てられる重要な考え方である．

一連の記事はこちら

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】
【線形代数１｜行列の積の定義はどうしてこうなる？】
【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】←今の記事
【線形代数３｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】

【SPONSORED LINK】

一連の記事を通して，

$\N$ ：正の整数の集合
$\Z$ ：整数の集合
$\Q$ ：有理数の集合
$\R$ ：実数の集合
$\C$ ：複素数の集合

とする．また， $\K$ を体とし， $m,n\in\N$ とする．

なお，体の定義を詳しく知りたい人は以下の記事で参照されたいが，今の時点では加減乗除が定義された集合(例えば $\R$ や $\C$ )と思っておいて差し支えない．

【群と環と体の定義とそれらの例】

代数学は数学の構造を研究する分野であり，群(group)，環(ring)，体(field)上において理論が展開されることが非常に多い．群，環，体の定義を説明したのち，これらの具体例を紹介する．

連立１次方程式

連立１次方程式は線形代数の理論と関わりが深い，というより連立１次方程式の理論は線形代数の重要な基盤であると言ってよい．

方程式の解

念のため，まずは「方程式の解」の定義を明示しておく．

$x_{1},\dots,x_{n}$ の方程式 $f(x_{1},\dots,x_{n})=0$ に対して，

$\begin{align*} f(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})=0 \end{align*}$

が成り立つとき， $(x_{1},\dots,x_{n})=(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$ を方程式 $f(x_{1},\dots,x_{n})=0$ の解といい，方程式の解を全て求めることを，方程式を解くという．

また， $\m{x}=\bmat{x_{1}\\\vdots\\x_{n}}$ とするとき， $x_{1},\dots,x_{n}$ の方程式のことを $\m{x}$ の方程式ともいう．

要は，当然のことながら

$f(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})=0$ を満たす組 $(x_{1},\dots,x_{n})$
$f(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})=0$ を満たさない組 $(x_{1},\dots,x_{n})$

があり，このうち前者の $f(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})=0$ を満たす組 $(x_{1},\dots,x_{n})$ を方程式の解というわけである．

$\m{x}\in\R^{n}$ の方程式と言っただけでは，連立方程式とは限らない．たとえば，

$\begin{align*} x^2+y^2=1 \end{align*}$

は $\bmat{x\\y}\in\R^2$ の方程式であり，この解は $(x,y)=(\cos{\theta},\sin{\theta})$ である．

連立１次方程式

$\m{x}\in\R^n$ の１次方程式の連立方程式を $\m{x}$ の連立１次方程式という．

単一の１次方程式も１個の１次方程式の連立方程式とみなせば，たとえば

$\begin{align*} \begin{cases} x+y+z=2\\ 3x-2y+2z=4\\ 2x-3y+z=2\\ x+2y-5=2 \end{cases},\quad \begin{cases} x+y+z=2\\ 2x+2y+2z=5 \end{cases},\quad x+y+2z=0 \end{align*}$

はいずれも $\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$ の連立１位次方程式である．

このように，

(未知数の個数)<(連立している方程式の個数)
(未知数の個数)>(連立している方程式の個数)

のいずれの場合もありうる．

ベクトルと行列を用いた連立方程式の表し方

$x$ , $y$ , $z$ に関する連立方程式

$\begin{align*} \begin{cases} x+2y+3z=6\\ 4x+5y+6z=9\\ 7x+8y+9z=12 \end{cases} \end{align*}$

は

$\begin{align*} x\bmat{1\\4\\7}+y\bmat{2\\5\\8}+z\bmat{3\\6\\9}=\m{c} \end{align*}$

とベクトルの和として表せる．さらに， $A=\bmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}$ , $\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$ とすると，連立方程式は

$\begin{align*} A\m{x}=\m{c} \end{align*}$

と行列を用いても表せる．

これを一般化すると，次のようになる．

$A=(a_{ij})=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]\in\Mat_{mn}(\K)$ と $\m{c}=\bmat{c_{1}\\\vdots\\c_{m}}\in\K^{m}$ に対し， $A\m{x}=\m{c}$ は $\m{x}=[x_{1},\dots,x_{n}]^{T}$ に関する $m$ 元連立1次方程式である(方程式は $n$ 個)：

$\begin{align*} &\begin{cases} a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n=c_{1}\\ \hspace{3em}\vdots\\ a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n=c_{m} \end{cases} \\\iff& x_1\m{a}_1+\dots+x_n\m{a}_n=\m{c} \\\iff& A\m{x}=\m{c} \end{align*}$

これについて，以下のように定義する．

$A\in\Mat_{mn}(\K)$ と $\m{c}\in\K^{m}$ に対し， $A$ , $[A,\m{c}]$ をそれぞれ連立方程式 $A\m{x}=\m{c}$ の係数行列 (coefficient matrix)，拡大係数行列 (enlarged coefficient matrix)という．

例えば， $A=\bmat{1&2&3\\4&5&6}$ , $\m{c}=\bmat{7\\8}$ に対し， $\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$ の連立1次方程式 $A\m{x}=\m{c}$ は

$\begin{align*} &\bmat{1&2&3\\4&5&6}\bmat{x\\y\\z}=\bmat{7\\8} \\\iff&\begin{cases} x+2y+3z=7\\ 4x+5y+6z=8 \end{cases} \end{align*}$

である．この係数行列，拡大係数行列はそれぞれ

$\begin{align*} A=\bmat{1&2&3\\4&5&6},\quad [A,\m{c}]=\bmat{1&2&3&7\\4&5&6&8} \end{align*}$

である．

行列の基本変形

行列の重要な変形に基本変形というものがある．

基本変形は連立１次方程式の加減法と密接に関わっているので，まずは加減法を復習する．

連立方程式の加減法

連立方程式

$\begin{align*} \begin{cases} 2x+3y=8\\ x+2y=5 \end{cases} \end{align*}$

は，たとえば以下のように加減法により解くことができる．

$\begin{align*} \left\{\begin{matrix} 2x&+&3y&=&8\\ x&+&2y&=&5 \end{matrix}\right. \iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ 2x&+&3y&=&8 \end{matrix}\right. \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &&y&=&2 \end{matrix}\right. \end{align*}$

この加減法を一般化して，加減法とは以下のようにいうことができる．

連立１次方程式について，

ある等式を $k$ 倍する( $k\neq0$ )
ある等式の $k$ 倍を別の等式に加える
ある等式と別の等式の順番を入れ替える

という３つの操作を繰り返すことによって解を求める手続きを加減法という．

基本変形

結局，連立１次方程式の加減法は係数だけを見ていれば良いことに気が付く．

すなわち，いまみた加減法は以下のように拡大係数行列 $\bmat{2&3&8\\1&2&5}$ の変形と対応している．

$\begin{align*} &\left\{\begin{matrix} 2x&+&3y&=&8\\ x&+&2y&=&5 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{2&3&8\\1&2&5} \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ 2x&+&3y&=&8 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&2&5\\2&3&8} \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&2&5\\0&-1&-2} \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&0&1\\0&-1&-2} \\\iff&\left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &&y&=&2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&0&1\\0&1&2} \end{align*}$

この連立１次方程式の加減法に対応する行列の変形を行基本変形という．すなわち，以下のように定義する．

行列について，

ある行を $k$ 倍する( $k\neq0$ )
ある行の $k$ 倍を別の行に加える
ある行と別の行を入れ替える

という３つの変形を併せて行基本変形という．

掃き出し法

拡大係数行列の行基本変形によって連立１次方程式を解く方法を掃き出し法という．

掃き出し法で考える際には，元の連立１次方程式とどのように対応しているかを考えることが重要である．

たとえば，連立１次方程式 $\begin{cases}x+2y+z=3\\3x+4y+5z=3\end{cases}$ の拡大係数行列は $\bmat{1&2&1&3\\3&4&5&3}$ なので，行基本変形により

$\begin{align*} \bmat{1&2&1&3\\3&4&5&3} \to&\bmat{1&2&1&3\\0&-2&2&-6} \\\to&\bmat{1&2&1&3\\0&1&-1&3} \\\to&\bmat{1&0&3&-3\\0&1&-1&3} \end{align*}$

だから，

$\begin{align*} \begin{cases} x+2y+z=3\\ 3x+4y+5z=3 \end{cases} \iff \begin{cases} x+3z=-3\\ y-z=3 \end{cases} \end{align*}$

なので，解は

$\begin{align*} \begin{cases} x=-3-3c, y=3+c, z=c \end{cases} \end{align*}$

と解ける．ただし， $c$ は任意定数である．

任意定数

今の例で任意定数が登場したので，その考え方を説明しておく．

連立方程式を変形してできた $\begin{cases}x+3z=-3\\y-z=3\end{cases}$ から，たとえば

$z=0$ なら $x=-3$ , $y=3$
$z=1$ なら $x=-6$ , $y=4$
$z=2$ なら $x=-9$ , $y=5$

のように， $z$ の値を決めれば $x$ と $y$ の値も決まる．

そこで， $z=c$ とおいて得られる解 $x=-3-3c$ , $y=3+c$ が全ての解となる．

このことについては，次の記事でも詳しく説明する．