線形代数４<br>連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形

たとえば

$\begin{align*} \begin{cases}x+y+z=2\\x+2y+3z=4\end{cases} \end{align*}$

のように，いくつかの１次方程式を同時に満たす複数の未知数に関する方程式を連立１次方程式といいます．

中学以来扱ってきたように連立１次方程式の基本解法として加減法がありますが，加減法は行列を考えることによって本質的に全く同じことができ，この行列を用いた解法を掃き出し法といいます．

加減法が分かっていれば掃き出し法は簡単に理解できる解法ですが，線形代数の理論は掃き出し法がベースにあるといってもよいくらい掃き出し法は重要な考え方です．

この記事では

連立１次方程式を行列とベクトルで表す方法
掃き出し法

を説明します．

なお，この記事では特に断らない限り実行列・実ベクトルを扱うことにしますが，複素行列など一般の体を成分とする行列・ベクトルに対しても同様です．

「線形代数学の基本」の一連の記事はこちら

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】

・行列と列ベクトル
【線形代数１｜線形代数は「多変数バージョンの比例」という話】
【線形代数２｜行列の計算の基本！行列の積はなぜこうなる？】
【線形代数３｜逆行列を考えると何が嬉しいのか？】
【線形代数４｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】←今の記事
【線形代数５｜正則の条件を簡単に！基本変形と行列の積の話】
【線形代数６｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】
【線形代数７｜連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度】
【線形代数８｜線形独立のイメージと線形独立であるための条件】

・行列式
【線形代数９｜行列の正則性を判定できる行列式のイメージ】
【線形代数10｜行列式を定義するための置換の性質を理解する】
【線形代数11｜「行列式」は線形代数の要！定義と性質を解説】
【線形代数12｜[余因子展開]と[行列式による正則条件]を解説】

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【線形代数13｜列ベクトル空間の部分空間の定義と具体例】
【線形代数14｜部分空間の基底を具体例から理解する(準備中)】
【線形代数15｜部分空間の同型と部分空間の次元(準備中)】
【線形代数16｜線形写像の像と核と次元定理(準備中)】
【線形代数17｜部分空間の和空間と共通部分の空間(準備中)】

・固有値と固有ベクトル
【線形代数18｜「固有値」「固有ベクトル」「対角化」とは？】
【線形代数19｜固有値と固有ベクトルは２ステップで求める！】
【線形代数20｜固有値・固有ベクトルの基本性質のまとめ】
【線形代数21｜固有空間はなぜ大切か？対角化の必要十分条件】

1 オススメの入門書
- 1.1 手を動かしてまなぶ線形代数
2 連立１次方程式
3 行列の基本変形
4 正則行列
5 参考文献
- 5.1 手を動かしてまなぶ線形代数
- 5.2 線型代数入門

オススメの入門書

以下は初学者向けのオススメの教科書です．この記事の著者も数学教室の集団授業で使っています．

手を動かしてまなぶ線形代数

[藤岡敦著/裳華房]

線形代数の入門書で，説明も非常に丁寧なので初学者にも読み進めやすい教科書です．

数学で初めて出会った概念で詰まった時には，具体例を考えることで理解できるようになることはよくあります．

特に線形代数は高校数学で扱ってきた数学よりも抽象度がやや増すので，いきなり抽象的に理解するよりも「具体例を理解→抽象化」という学び方が効果的です．

本書は具体例と例題が豊富で，実際に手を動かしながらイメージを掴んで抽象的に理解することを目指しています．

また，続巻も発行されていますが，この第１巻だけでも正方行列の対角化(固有値・固有ベクトル)まで学ぶことができます．

【手を動かしてまなぶ線形代数】
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【手を動かしてまなぶ続・線形代数】
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連立１次方程式

連立１次方程式は線形代数の理論と関わりが深い，というより「線形代数のベースは連立１次方程式である」と言っても言い過ぎではないでしょう．

方程式の解

「方程式の解」とは次のように定義されるのでした．

$x_{1},\dots,x_{n}$の方程式$f(x_{1},\dots,x_{n})=0$に対して，

$\begin{align*} f(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})=0 \end{align*}$

が成り立つとき，$(x_{1},\dots,x_{n})=(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$を方程式$f(x_{1},\dots,x_{n})=0$の解といい，方程式の解を全て求めることを，方程式を解くという．

また，$\m{x}=\bmat{x_{1}\\\vdots\\x_{n}}$とするとき，$x_{1},\dots,x_{n}$の方程式のことを$\m{x}$の方程式ともいう．

要するに，代入して成り立つものが方程式の解なわけですね．

連立１次方程式

$\m{x}\in\R^n$の１次方程式の連立方程式を$\m{x}$の連立１次方程式といいます．たとえば

$\begin{align*} \begin{cases} x+y+z=2\\ 3x-2y+2z=4\\ 2x-3y+z=2\\ x+2y-5=2 \end{cases},\quad \begin{cases} x+y+z=2\\ 2x+2y+2z=5 \end{cases} \end{align*}$

はいずれも$\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$の連立１次方程式ですね．

このように，

(未知数の個数) < (連立している方程式の個数)
(未知数の個数) > (連立している方程式の個数)

のいずれの場合もありえます．

$x+y+2z=0$のような単一の１次方程式も１個の１次方程式の連立方程式とみなすこともよくあります．

ベクトルと行列を用いた連立方程式の表し方

$x$, $y$, $z$に関する連立方程式

$\begin{align*} \begin{cases} x+2y+3z=6\\ 4x+5y+6z=9\\ 7x+8y+9z=12 \end{cases} \end{align*}$

は$A=\bmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}$, $\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$, $\m{c}=\bmat{6\\9\\12}$とすると，

$\begin{align*} A\m{x}=\m{c} \end{align*}$

と行列を用いて表すことができますね．

これを一般化すると，次のようにいうことができます．

$x_1,x_2,\dots,x_n$に関する連立１次方程式

$\begin{align*} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=c_{1}\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=c_{2}\\ \hspace{5em}\vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n=c_{m} \end{cases} \end{align*}$

は$A\m{x}=\m{c}$と表すことができる．

ただし，$A$, $\m{c}$, $\m{x}$はそれぞれ$m\times n$次行列，$m$次列ベクトル，$n$次列ベクトルで

$\begin{align*} A=(a_{ij}),\quad \m{c}=\bmat{c_{1}\\\vdots\\c_{m}},\quad \m{x}=\bmat{x_1\\\vdots\\x_n} \end{align*}$

である．

これについて，以下のように定義します．

$m\times n$次行列$A$と$\m{c}\in\R^{m}$に対し，行列$A$, $[A,\m{c}]$をそれぞれ連立方程式$A\m{x}=\m{c}$の係数行列 (coefficient matrix)，拡大係数行列 (enlarged coefficient matrix)という．

例えば，連立方程式

$\begin{align*} \begin{cases} x+2y+3z=7\\ 4x+5y+6z=8 \end{cases} \end{align*}$

は$A=\bmat{1&2&3\\4&5&6}$, $\m{c}=\bmat{7\\8}$, $\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$とおけば，$A\m{x}=\m{c}$と表せますね：

$\begin{align*} &\bmat{1&2&3\\4&5&6}\bmat{x\\y\\z}=\bmat{7\\8} \\\iff A\m{x}=\m{c}. \end{align*}$

また，このときの係数行列，拡大係数行列はそれぞれ

$\begin{align*} A=\bmat{1&2&3\\4&5&6},\quad [A,\m{c}]=\bmat{1&2&3&7\\4&5&6&8} \end{align*}$

ですね．

行列の基本変形

行列の重要な変形に基本変形というものがあります．

基本変形は連立１次方程式の加減法と密接に関わっているので，念のため加減法を復習しましょう．

連立方程式の加減法

連立方程式

$\begin{align*} \begin{cases} 2x+3y=8\\ x+2y=5 \end{cases} \end{align*}$

は，たとえば以下のように加減法により解くことができます．

$\begin{align*} \left\{\begin{matrix} 2x&+&3y&=&8\\ x&+&2y&=&5 \end{matrix}\right. \iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ 2x&+&3y&=&8 \end{matrix}\right. \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &&y&=&2 \end{matrix}\right. \end{align*}$

この加減法を一般化して，加減法とは以下のようにいうことができます．

連立１次方程式について，

ある等式を$k$倍する($k\neq0$)
ある等式の$k$倍を別の等式に加える
ある等式と別の等式の順番を入れ替える

という３つの操作を繰り返すことによって解を求める手続きを加減法という．

基本変形

連立１次方程式の加減法は係数だけを見ていれば良いことに気が付きます．

つまり，いまみた加減法は以下のように拡大係数行列$\bmat{2&3&8\\1&2&5}$の変形と対応しています．

$\begin{align*} &\left\{\begin{matrix} 2x&+&3y&=&8\\ x&+&2y&=&5 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{2&3&8\\1&2&5} \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ 2x&+&3y&=&8 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&2&5\\2&3&8} \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&+&2y&=&5\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&2&5\\0&-1&-2} \\\iff& \left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &-&y&=&-2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&0&1\\0&-1&-2} \\\iff&\left\{\begin{matrix} x&&&=&1\\ &&y&=&2 \end{matrix}\right. &\leftrightarrow&&\bmat{1&0&1\\0&1&2} \end{align*}$

この連立１次方程式の加減法に対応する行列の変形を行基本変形といいます．つまり，行列の基本変形を以下のように定義します．

行列について，

ある行を$k$倍する($k\neq0$)
ある行の$k$倍を別の行に加える
ある行と別の行を入れ替える

という３つの変形を併せて行基本変形という．

掃き出し法

拡大係数行列の行基本変形によって連立１次方程式を解く方法を掃き出し法といいます．

掃き出し法で考える際には，元の連立１次方程式とどのように対応しているかを考えることが重要です．

連立方程式$\begin{cases}x+2y+z=3\\3x+4y+5z=3\end{cases}$の拡大係数行列を答え，掃き出し法により解け．

拡大係数行列は$\bmat{1&2&1&3\\3&4&5&3}$なので，行基本変形により

$\begin{align*} \bmat{1&2&1&3\\3&4&5&3} \to&\bmat{1&2&1&3\\0&-2&2&-6} \\\to&\bmat{1&2&1&3\\0&1&-1&3} \\\to&\bmat{1&0&3&-3\\0&1&-1&3} \end{align*}$

だから，

$\begin{align*} \begin{cases} x+2y+z=3\\ 3x+4y+5z=3 \end{cases} \iff \begin{cases} x+3z=-3\\ y-z=3 \end{cases} \end{align*}$

となり，解は$(x,y,z)=(-3-3c,3+c,c)$と表せます．ただし，$c$は任意定数です．

任意定数

いまの例で任意定数が登場したので，その考え方を説明しておきます．

連立方程式を変形してできた

$\begin{align*} \begin{cases}x+3z=-3\\y-z=3\end{cases} \end{align*}$

から，たとえば

$z=0$なら$x=-3$, $y=3$
$z=1$なら$x=-6$, $y=4$
$z=2$なら$x=-9$, $y=5$

のように，$z$の値を決めれば$x$と$y$の値も決まります．そこで$z=c$とおけば$(x,y,z)=(-3-3c,3+c,c)$は全て解となりますね．

この$c$のように「どんな定数でもいいなら文字でおいてしまおう」というのが任意定数の考え方なわけですね．

なお，任意定数について詳しくはのちの記事でも説明します．

正則行列

前回の記事で定義したように，実数でいう「逆数」に相当する行列を逆行列というのでした．

$n$次正方行列$A$に対し

$\begin{align*} AB=BA=I \end{align*}$

をみたす$n$次正方行列$B$が存在するとき，$B$は$A$の逆行列 (inverse matrix)であるといい，$B$を$A^{-1}$と表す．また，逆行列をもつ行列は正則 (regular)であるという．

行列の積では交換法則が成り立ちませんから，定義に則れば$AB=I$と$BA=I$の両方を示さなければ正則であるとは言えません．

しかし，実は$AB=I$または$BA=I$のどちらか一方が成り立てば，他方も自動的に成り立ち$A$が正則となることを証明することができます．

この証明のためには，行列の積を用いた行列の基本変形の考え方が重要となります．

次の記事では，行列の基本変形を説明し，この正方行列$A$が正則であるためには$AB=I$または$BA=I$が成り立てば十分であることを証明します．

「線形代数学の基本」の一連の記事はこちら

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】

・行列と列ベクトル
【線形代数１｜線形代数は「多変数バージョンの比例」という話】
【線形代数２｜行列の計算の基本！行列の積はなぜこうなる？】
【線形代数３｜逆行列を考えると何が嬉しいのか？】
【線形代数４｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数５｜正則の条件を簡単に！基本変形と行列の積の話】←次の記事
【線形代数６｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】
【線形代数７｜連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度】
【線形代数８｜線形独立のイメージと線形独立であるための条件】

参考文献

以下は参考文献です．

手を動かしてまなぶ線形代数

[藤岡敦著/裳華房]

線形代数の入門書で，説明も非常に丁寧なので初学者にも読み進めやすい教科書です．

数学で初めて出会った概念で詰まった時には，具体例を考えることで理解できるようになることはよくあります．

本書は具体例と例題が豊富で，実際に手を動かしながらイメージを掴んで抽象的に理解することを目指しています．

また，続巻も発行されていますが，この第１巻だけでも正方行列の対角化(固有値・固有ベクトル)まで学ぶことができます．

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【手を動かしてまなぶ続・線形代数】
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線型代数入門

[齋藤正彦著/東京大学出版会]

線形代数の教科書として半世紀に渡って売れ続けている超ロングセラーの教科書です．

発刊されてから本書の内容の流れが線形代数の教科書のスタンダードとなったほど，日本の線形代数の指導にインパクトを与えた名著です．

その証拠に，著者の齋藤正彦氏は本書で日本数学会出版賞を受賞しています．

「線形代数をとりあえず使えるようにするための教科書」ではなく「線形代数を理解するための教科書」のため，論理的に非常に詳しく書かれているのが特徴です．

また，テキストのレベルとしては少なくとも理論系(特に数学系)の学部生であれば，確実に理解しておきたい程度のものとなっています．

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なお，本書については，以下の記事で書評としてまとめています．

【書評｜線型代数入門(齋藤正彦著，東京大学出版会)】

本書の目次・必要な知識・良い点と気になる点・オススメの使い方などをレビューしています．

オススメの入門書

手を動かしてまなぶ 線形代数

連立１次方程式

方程式の解

連立１次方程式

ベクトルと行列を用いた連立方程式の表し方

行列の基本変形

連立方程式の加減法

基本変形

掃き出し法

任意定数

正則行列

参考文献

手を動かしてまなぶ 線形代数

線型代数入門

手を動かしてまなぶ線形代数

手を動かしてまなぶ線形代数