前回の記事までで,行列とベクトルの基本的な考え方について説明しました.
とくに前回の記事では
- 正方行列$[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$が正則
- $\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$が線形独立
が同値であることを示しました.
これまでは線形独立性を確認するために$[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$を基本変形を施してランクを求めてきましたが,別のアプローチで線形独立性を確認する方法を考えましょう.
そこで便利なのが正方行列の行列式です.
正方行列$[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$の行列式のイメージは$\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$が張る$n$次元立体の体積ですが,学ぶ段階の問題としていきなり$n$次元で考えるのは難しいでしょう.
そこで,この記事では
- 2次正方行列の行列式の定義とイメージ
- 3次以上の正方行列の行列式のイメージ
について説明します.
なお,この記事では実数$\R$を中心に説明しますが,複素数$\C$など一般の体に対しても同様です.
一連の記事はこちら
【線形代数の初学者のための道案内|線形代数のイメージを知る】
・行列と数ベクトル
【線形代数1|行列の計算の基本!行列の積はなぜこうなる?】
【線形代数2|連立1次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数3|正則の条件を簡単に!基本変形と行列の積の話】
【線形代数4|行列のランクと,行列が逆行列をもつための条件】
【線形代数5|連立1次方程式が解をもつ条件と解の自由度】
【線形代数6|線形独立のイメージと線形独立であるための条件】
・行列式
【線形代数7|行列の正則性を判定できる行列式のイメージ】←今の記事
【線形代数8|行列式を定義するための置換の性質を理解する】
【線形代数9|「行列式」は線形代数の要!定義と性質を解説】
・部分空間と基底
【線形代数10|数ベクトル空間の部分空間と基底の考え方(準備中)】
【線形代数11|部分空間の同型と部分空間の次元(準備中)】
【線形代数12|線形写像の像と核と次元定理(準備中)】
【線形代数13|部分空間の和空間と共通部分の空間(準備中)】
・固有値と固有ベクトル
【線形代数14|「固有値」「固有ベクトル」「対角化」とは?】
【線形代数15|固有値と固有ベクトルは2ステップで求める!】
【線形代数16|「固有値」と「固有ベクトル」の性質のまとめ(準備中)】
2次正方行列の行列式
最初に2次正方行列の行列式のイメージを説明します.
2つの線形独立なベクトル
前回の記事で定義した線形独立性について,次が成り立ちます.
$\m{a},\m{b}\in\R^{n}\setminus\{\m{0}\}$に対して次は同値である.
- $\m{a}$と$\m{b}$は平行である
- $\m{a}$と$\m{b}$は線形従属である
[$1\Ra2$の証明] $\m{a}$と$\m{b}$が平行なら,$\m{a}=k\m{b}$なる$k\in\R\setminus\{0\}$が存在する.
よって,$\m{a}-k\m{b}=\m{0}$となって$\m{a}$と$\m{b}$に非自明な線形関係が存在するから$\m{a}$と$\m{b}$は線形従属である.
[$2\Ra1$の証明] $\m{a}$と$\m{b}$が線形従属なら,非自明な線形関係$k\m{a}+\ell\m{b}=\m{0}$が存在する.
また,このとき$k=0$なら$\m{b}=\m{0}$だから$\ell=0$となって$k\m{a}+\ell\m{b}=\m{0}$が非自明な線形関係であることに矛盾するから$k\neq0$である.同様に$\ell\neq0$である.
よって,$\m{a}=-\frac{\ell}{k}\m{b}$となって$\m{a}$と$\m{b}$は平行である.
この命題の対偶を考えて,以下の系が従いますね.
$\m{a},\m{b}\in\R^{n}\setminus\{\m{0}\}$に対して次は同値である.
- $\m{a}$と$\m{b}$は平行でない
- $\m{a}$と$\m{b}$は線形独立である
線形独立性を大雑把に言えば「全てのベクトルが完全にバラバラな向きを向いていること」でしたから,このイメージとも一致させておいてください.
2次正方行列の行列式とイメージ
$\m{a}=[a_{1},a_{2}]^{T},\m{b}=[b_{1},b_{2}]^{T}\in\R^{2}\setminus\{\m{0}\}$が線形独立であるとします.
このとき,いま考えた系から$\m{a}$と$\m{b}$は平行ではありません.
よって,$\m{a}$と$\m{b}$によって張られる平行四辺形を考えると,この面積は0ではありません.
この平行四辺形の面積は$|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|$ですから,$a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\neq0$が成り立ちます.
逆に,$a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$なら$\m{a}$と$\m{b}$が張る平行四辺形は面積が0となって「潰れて」しまいます.
すなわち,$\m{a}$と$\m{b}$は平行となって,$\m{a}$と$\m{b}$は線形従属となります.
このことを念頭に置き,以下のように行列式を定義しましょう.
$A=\bmat{a&b\\c&d}\in\Mat_{2}(\R)$に対し,$ad-bc$を$A$の行列式 (determinant)といい,$|A|$や$\det{A}$などと表す.
この定義の上で考えたことから,一般にも以下が成り立ちます.
$A\in\Mat_{2}(\R)$に対して,以下は同値である.
- $A$は正則である.
- $|A|\neq0$が成り立つ.
例えば,$A,B,C\in\Mat_{2}(\R)$を
と定めると,
が成り立つので,$A$, $C$は正則,$B$は非正則と分かります.
3次以上の正方行列の行列式
2次の場合のイメージがあれば,$A=[\m{a},\m{b},\m{c}]\in\Mat_{3}(\R)$に対しては,$\m{a}$, $\m{b}$, $\m{c}$が張る平行六面体の体積に相当するものを$|A|$と定めれば,$\m{a}$, $\m{b}$, $\m{c}$が線形独立でないことと$|A|=0$は同値であることが分かりますね.
もし$\m{a}$, $\m{b}$, $\m{c}$が同一平面上にあれば,平行六面体は「潰れて」体積が0となりますね.
一般に,$A=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]\in\Mat_{n}(\R)$に対しては,$\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}$が張る「平行立体の$n$次元体積」に相当するものを$|A|$と定めれば,$\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}$が線形独立でないことと$|A|=0$は同値となります.
しかし,4以上の$n\in\N$に対して「平行立体の$n$次元体積」を考えるのは簡単なことではありません.
そこで,我々は体積という幾何学的なアプローチから離れて,置換という代数的な概念を用いて行列式を定義します.
次の記事では,置換について説明します.
一連の記事はこちら
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