線形代数７｜行列の正則性を判定できる行列式のイメージ

前回の記事までで，行列とベクトルの基本的な考え方について説明しました．

とくに前回の記事では

• 正方行列$[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$が正則
• $\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$が線形独立

が同値であることを示しました．

これまでは線形独立性を確認するために$[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$を基本変形を施してランクを求めてきましたが，別のアプローチで線形独立性を確認する方法を考えましょう．

そこで便利なのが正方行列の行列式です．

正方行列$[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$の行列式のイメージは$\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$が張る$n$次元立体の体積ですが，学ぶ段階の問題としていきなり$n$次元で考えるのは難しいでしょう．

そこで，この記事では

• ２次正方行列の行列式の定義とイメージ
• ３次以上の正方行列の行列式のイメージ

について説明します．

なお，この記事では実数$\R$を中心に説明しますが，複素数$\C$など一般の体に対しても同様です．

２次正方行列の行列式

最初に２次正方行列の行列式のイメージを説明します．

２つの線形独立なベクトル

前回の記事で定義した線形独立性について，次が成り立ちます．

この命題の対偶を考えて，以下の系が従いますね．

線形独立性を大雑把に言えば「全てのベクトルが完全にバラバラな向きを向いていること」でしたから，このイメージとも一致させておいてください．

２次正方行列の行列式とイメージ

$\m{a}=[a_{1},a_{2}]^{T},\m{b}=[b_{1},b_{2}]^{T}\in\R^{2}\setminus\{\m{0}\}$が線形独立であるとします．

このとき，いま考えた系から$\m{a}$と$\m{b}$は平行ではありません．

よって，$\m{a}$と$\m{b}$によって張られる平行四辺形を考えると，この面積は０ではありません．

この平行四辺形の面積は$|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|$ですから，$a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\neq0$が成り立ちます．

逆に，$a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$なら$\m{a}$と$\m{b}$が張る平行四辺形は面積が０となって「潰れて」しまいます．

すなわち，$\m{a}$と$\m{b}$は平行となって，$\m{a}$と$\m{b}$は線形従属となります．

このことを念頭に置き，以下のように行列式を定義しましょう．

この定義の上で考えたことから，一般にも以下が成り立ちます．

例えば，$A,B,C\in\Mat_{2}(\R)$を

と定めると，

が成り立つので，$A$, $C$は正則，$B$は非正則と分かります．

３次以上の正方行列の行列式

２次の場合のイメージがあれば，$A=[\m{a},\m{b},\m{c}]\in\Mat_{3}(\R)$に対しては，$\m{a}$, $\m{b}$, $\m{c}$が張る平行六面体の体積に相当するものを$|A|$と定めれば，$\m{a}$, $\m{b}$, $\m{c}$が線形独立でないことと$|A|=0$は同値であることが分かりますね．

もし$\m{a}$, $\m{b}$, $\m{c}$が同一平面上にあれば，平行六面体は「潰れて」体積が０となりますね．

一般に，$A=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]\in\Mat_{n}(\R)$に対しては，$\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}$が張る「平行立体の$n$次元体積」に相当するものを$|A|$と定めれば，$\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}$が線形独立でないことと$|A|=0$は同値となります．

しかし，４以上の$n\in\N$に対して「平行立体の$n$次元体積」を考えるのは簡単なことではありません．

そこで，我々は体積という幾何学的なアプローチから離れて，置換という代数的な概念を用いて行列式を定義します．

次の記事では，置換について説明します．