行列の積はどうしてこうなる？｜行列とベクトルの考え方

線形代数は行列とベクトルを用いて記述される．

行列とベクトルは線形代数の最初期に定義されることになるが，そもそも行列がどのような考え方で導入されたのか良く分からず，「そういうもの」という程度の理解で曖昧なまま読み進めてしまうことも多い．

後に分かってくることではあるが，行列とベクトルを使うことにより，多変数の1次式を簡単に表すことができるというメリットがある．

また，行列の積の定義を最初に見たとき，どうしてそのように定義するのか理解に苦しむ人も多いが，行列の積の定義は自然な発想に基づくものであることもこの記事で解説する．

一連の記事はこちら

【線形代数の初学者のための道案内｜線形代数のイメージを知る】
【線形代数１｜行列の積の定義はどうしてこうなる？】←今の記事
【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】
【線形代数３｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】

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一連の記事を通して，

$\N$ ：正の整数の集合
$\Z$ ：整数の集合
$\Q$ ：有理数の集合
$\R$ ：実数の集合
$\C$ ：複素数の集合

とする．また， $\K$ を体とし， $m,n\in\N$ とする．

なお，体の定義を詳しく知りたい人は以下の記事で参照されたいが，今の時点では加減乗除が定義された集合(例えば $\R$ や $\C$ )と思っておいて差し支えない．

【群と環と体の定義とそれらの例】

代数学は数学の構造を研究する分野であり，群(group)，環(ring)，体(field)上において理論が展開されることが非常に多い．群，環，体の定義を説明したのち，これらの具体例を紹介する．

行列とベクトル

ここでは，行列とベクトルの定義と考え方を述べる．

比例

実数 $a$ に対して $y=ax$ が成り立つとき，「 $y$ は $x$ に比例する」といい， $a$ を比例係数という．

様々にある関数の中でも， $f(x)=ax$ で定まる比例の関数 $f$ は非常に分かりやすい関数のため，他の関数よりも比較的容易に理解することができる．

ここで，2つの等式

$\begin{align*} \begin{cases} y_1=x_1+2x_2+3x_3\\ y_2=4x_1+5x_2+6x_3 \end{cases} \end{align*}$

を考える．比例では $x$ と $y$ が1つずつであったが，上の式では $x$ が $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ の3つ， $y$ が $y_1$ と $y_2$ の2つとなっている．

すなわち，比例では $x$ に値を代入すれば $y$ の値が分かったように，上の式では $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ に値を代入すれば $y_1$ , $y_2$ の値が分かるという状況になっている．

線形代数では，これを

$\begin{align*} \bmat{y_1\\y_2}=\bmat{1&2&3\\4&5&6}\bmat{x_1\\x_2\\x_3} \end{align*}$

のように表す．ここで，

左辺を $\m{y}:=\bmat{y_1\\y_2}$
右辺の係数部分を $A:=\bmat{1&2&3\\4&5&6}$
右辺の変数部分を $\m{x}:=\bmat{x_1\\x_2\\x_3}$

とおくと，上の等式は $\m{y}=A\m{x}$ と表すことができ，あたかも $A$ を「比例定数」とし $\m{y}$ は $\m{x}$ に「比例」していると捉えることができる．

行列とベクトルの定義

一般に，行列を以下のように定義する．

$p,q\in\N$ とする．また， $S$ を集合とし， $a_{ij}\in S$ ( $i=1,\dots,m$ , $j=1,\dots,n$ )とする．このとき，

$\begin{align*} \bmat{a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&\dots&a_{mn}} \end{align*}$

のように $a_{ij}$ を並べたものを $\m{m\times n}$ 行列 (matrix)といい， $(a_{ij})=(a_{ij})_{1 \le i \le m,1 \le j \le n}$ などとも表す．全ての成分が $S$ に属するような $m\times n$ 行列全体の集合を $\Mat_{mn}(S)$ などと表す．

$\Mat_{n}(S):=\Mat_{nn}(S)$ とし， $\Mat_{n}(S)$ の元を $\m{n}$ 次正方行列 ( $\m{n}$ -th square matrix)または単に $n$ 次行列という．

また，行列 $(a_{ij})$ に対して，

$\begin{align*} \bmat{a_{q1}&\dots&a_{qn}},\quad \bmat{a_{1p}\\\vdots\\a_{np}} \end{align*}$

をそれぞれ行列 $(a_{ij})$ の $p$ 行， $q$ 列といい， $a_{pq}$ を $\m{(p,q)}$ 成分という．

「並べる」というのは数学的な表現ではないが，分かりやすさを第一に考え，「並べる」という表現で満足することにする．

また，一連の記事では $S=\R$ または $S=\C$ の場合がほとんどであり， $\Mat_{mn}(\R)$ の元を実行列 (real matrix)， $\Mat_{mn}(\C)$ の元を複素行列 (complex matrix)という．

分かりにくければ，しばらくは全て $\K=\R$ と読み替えて読み進めても差し支えない．

また，ベクトルを以下のように定義する．

集合 $S$ に対して， $\Mat_{n1}(S)$ の元を $S$ 成分の $\m{n}$ 次列ベクトル (column vector)， $\Mat_{1n}(S)$ の元を $S$ 成分の $\m{n}$ 次行ベクトル (row vector)という．

また， $S^{n}:=\Mat_{n1}(S)$ とも表す．

$\R^{n}$ の元を実ベクトル (real vector)， $\C^{n}$ の元を複素ベクトル (complex vector)という．

ベクトルと行列の例

ベクトルと行列についていくつか例を考える．

例1

列ベクトルについて

$\begin{align*} \bmat{1\\2\\3}\in\N^{3}=\Mat_{31}(\N),\quad \bmat{\sqrt{3}\\\sqrt{3}\\\sqrt{3}}\in\R^{3}=\Mat_{31}(\R),\quad \bmat{1\\i\\0\\-i}\in\C^{4}=\Mat_{41}(\C) \end{align*}$

である．また，行ベクトルはコンマ,”を用いて， $[a_{11},\dots,a_{1n}]$ のようにも表す．たとえば，

$\begin{align*} [1,2,3]\in\Mat_{13}(\N),\quad [\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}]\in\Mat_{13}(\R),\quad [1,i,0,-i]\in\Mat_{14}(\C) \end{align*}$

である．

例2

$\R^n$ は $n$ 本の座標軸のある直交座標として考えることができる．例えば， $\m{a}:=\bmat{3\\1}\in\R^2$ は

と $xy$ 平面上に表せる．

例3

行列を並べることによって，行列を表すこともある．

例えば，行列 $A:=\bmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}$ は

行列 $A_1:=\bmat{1&2\\4&5}$ , $A_2:=\bmat{3\\6}$ , $A_3:=[7,8]$ , $A_4:=[9]$ によって，
$\begin{align*} A=\bmat{A_{1}&A_{2}\\A_{3}&A_{4}} \end{align*}$
行ベクトル $\m{b}_1=[1,2,3]$ , $\m{b}_2=[4,5,6]$ , $\m{b}_3=[7,8,9]$ によって，
$\begin{align*} A=\bmat{\m{b}_{1}\\\m{b}_{2}\\\m{b}_{3}} \end{align*}$

などと表せる．

基本的な行列

$\begin{align*} \bmat{0\\\vdots\\0}\in\K^{n},\quad \bmat{0&\dots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\dots&0}\in\Mat_{mn}(\K) \end{align*}$

をそれぞれ零ベクトル (zero vector)，零行列 (zero matrix)という．

$A\in\Mat_{n}(\K)$ について，第 $(k,k)$ 成分 ( $k=1,\dots,n$ )を $A$ の対角成分 (diagonal element)といい，対角成分以外の成分が $0$ なら $A$ を対角行列 (diagonal matrix)という．また，第 $(k,k)$ 成分が $a_{k}$ の対角行列を

$\begin{align*} \diag{(a_{1},\dots,a_{n})} \end{align*}$

と表す．とくに，対角成分が全て1の対角行列 $\diag{(1,\dots,1)}$ を単位行列 (identity matrix)という．

記号について，

$\m{0}_{n}$ ： $n$ 次零ベクトル
$O_{mn}$ ： $m\times n$ 次零行列
$O_{n}$ ： $n$ 次零行列
$I_{n}$ ： $n$ 次単位行列

とする．次数が明らかな場合には添字の $n$ を省略することも多い．

零ベクトル，零行列についてはどのテキストでも記号の揺れはほぼないが，単位行列については $E_n$ で表すこともあるので注意する．

なお，例えば

$\begin{align*} \bmat{1&0\\0&2},\quad \bmat{\sqrt{2}&0&0\\0&-\sqrt{2}&0\\0&0&\sqrt{2}},\quad \bmat{1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0} \end{align*}$

はいずれも対角行列であり，

$\begin{align*} I_2=\bmat{1&0\\0&1},\quad I_3=\bmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1} \end{align*}$

はいずれも単位行列である．

行列 $A$ の第 $(i,j)$ 成分を第 $(j,i)$ 成分にとり直した行列を $A$ の転置行列 (transposed matrix)といい， ${}^{t}A$ , $A^{T}$ などと表す．

すなわち， $A=(a_{ij})$ とすると， $A^{T}={}^{t}A=(a_{ji})$ である．

$A=\bmat{1&2\\3&4\\5&6}$ , $B=\bmat{2\\-3\\1}$ に対して，

$\begin{align*} {}^{t}A=A^{T}=\bmat{1&3&5\\2&4&6},\quad {}^{t}B=B^{T}=[2,-3,1] \end{align*}$

である．

転置行列について，以下は明らかであろう．

任意の行列 $A$ に対して， $A$ の転置行列の転置行列は $A$ である．すなわち， $(A^{T})^{T}=A$ である．

行列とベクトルの計算

行列やベクトルと区別して，単なる $\alpha\in\K$ をスカラー (scalar)という．

行列のスカラー倍と和，差

$A=(a_{ij}), B=(b_{ij})\in\Mat_{mn}(\K)$ とする．このとき， $A=(a_{ij})$ の $\alpha\in\K$ 倍と，和，差 $A\pm B$ をそれぞれ

$\begin{align*} &\alpha A =(\alpha a_{ij}) =\bmat{ \alpha a_{11}&\dots&\alpha a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha a_{m1}&\dots&\alpha a_{mn} },\quad A\pm B =(a_{ij}\pm b_{ij}) =\bmat{ a_{11}\pm b_{11}&\dots&a_{1n}\pm b_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}\pm b_{m1}&\dots&a_{mn}\pm b_{mn} } \end{align*}$

で定義する(複号同順)．

すなわち， $\alpha$ 倍は全ての成分に $\alpha$ をかければ良く，和と差は同じ成分同士で和と差を取れば良い．

任意の $\m{a}\in\K^{n}$ に対して， $\m{a}+\m{a}'=\m{0}$ となる $\m{a}'\in\K^{n}$ は $\m{a}'=(-1)\m{a}$ のみである．

[証明]

$\m{a}=\bmat{a_{1}\\\vdots\\a_{n}}\in\K^{n}$ とし， $\m{a}'=\bmat{a_{1}'\\\vdots\\a_{n}'}\in\K^{n}$ が $\m{a}+\m{a}'=\m{0}$ を満たすとする．

このとき，

$\begin{align*} \m{a}+\m{a}'=\m{0} \iff&\bmat{a_{1}+a_{1}'\\\vdots\\a_{n}+a_{n}'}=\bmat{0\\\vdots\\0} \\\iff&\bmat{a_{1}'\\\vdots\\a_{n}'}=\bmat{-a_{1}\\\vdots\\-a_{n}} \\\iff&\m{a}'=(-1)\m{a} \end{align*}$

だから， $\m{a}'$ はただ1つ存在して $(-1)\m{a}$ である．

[証明終]

$\m{a}\in\K^{n}$ に対して， $\m{a}+\m{a}'=\m{0}$ となる $\m{a}'\in\K^{n}$ を $\m{a}$ の逆ベクトル (inverse vector)といい， $\m{a}'=-\m{a}$ と表す．

上で見た補題から分かるように， $\m{a}\in\K^{n}$ の逆ベクトル $-\m{a}$ は $(-1)\m{a}$ に一致する．

すなわち， $-\m{a}=(-1)\m{a}$ である．

$\m{a},\m{b}\in\K^{n}\setminus\{\m{0}\}$ が平行であるとは， $k\m{a}=\m{b}$ をみたす $k\in\K$ が存在することをいう．

$\m{a},\m{b}\in\R^{n}$ が平行であるとは，図形的には $\m{a}$ の伸び縮みだけで $\m{b}$ に一致させられることをいう．

ただし， $k<0$ の場合には $\m{a}$ と $\m{b}$ は逆向きになる(すなわち，逆向きに伸び縮みさせると考える)．

たとえば， $\m{a}:=\bmat{1\\2\\3},\m{b}:=\bmat{2\\4\\6},\m{c}:=\bmat{-i\\-2i\\-3i}\in\C^{3}$ は

$\begin{align*} 2\m{a}=\m{b},\quad i\m{a}=\m{b},\quad 2i\m{c}=\m{b} \end{align*}$

を満たすから， $\m{a}$ , $\m{b}$ , $\m{c}$ は全て互いに平行である．

行列とベクトルの積

この記事のはじめの方で

$\begin{align*} \begin{cases} y_1=x_1+2x_2+3x_3\\ y_2=4x_1+5x_2+6x_3 \end{cases} \end{align*}$

を

$\begin{align*} \bmat{y_1\\y_2}=\bmat{1&2&3\\4&5&6}\bmat{x_1\\x_2\\x_3} \end{align*}$

と表すと述べたが，このことを定義しておこう．行列とベクトルの積を以下で定義する．

$\m{x}=[x_{1},\dots,x_{n}]^{T}\in\K^{n}$ , $A=(a_{ij})\in\Mat_{mn}(\K)$ に対して， $\m{x}$ に左から $A$ をかけた積 $A\m{x}$ を

$\begin{align*} A\m{x} =&\bmat{a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&\dots&a_{mn}}\bmat{x_{1}\\\vdots\\x_{n}} \\:=&\bmat{a_{11}x_{1}+\dots+a_{1n}x_{n}\\\vdots\\a_{m1}x_{1}+\dots+a_{mn}x_{n}} \end{align*}$

で定義する．

例えば，

$\begin{align*} \bmat{1&2&3\\4&5&6}\bmat{x\\y\\z} =\bmat{x+2y+3z\\4x+5y+6z},\quad \bmat{1&2\\3&4\\5&6}\bmat{a\\b} =\bmat{a+2b\\3a+4b\\5a+6b} \end{align*}$

である．

行列の積

次に行列の積を定義するが，どのように定義するのが良さそうか考えたい．

行列とベクトルの積については，定義から $B\in\Mat_{mn}(\R)$ と $\m{x}\in\R^n$ に対して， $B\m{x}\in\R^m$ となる．

よって， $B\m{x}$ にさらに左から $A\in\Mat_{m\ell}(\R)$ をかけると $A(B\m{x})\in\R^{\ell}$ となる．

$\begin{align*} \begin{matrix} \R^n & \to & \R^m & \to & \R^\ell \\ \rotatebox[origin=c]{90}{$\in$} & & \rotatebox[origin=c]{90}{$\in$} & & \rotatebox[origin=c]{90}{$\in$} \\ \m{x} & \mapsto & B\m{x} & \mapsto & A(B\m{x}) \end{matrix} \end{align*}$

さて，ここで行列 $A$ と $B$ の積 $AB$ をするとき，結合法則 $A(B\m{x})=(AB)\m{x}$ が成り立っていて欲しいと思うのは自然であろう．

たとえば， $A=\bmat{2&2\\-3&1}$ , $B=\bmat{-2&0\\3&1}$ , $\m{x}=\bmat{x\\y}$ の場合を考えると，

$\begin{align*} A(B\m{x}) =&A\bra{\bmat{-2&0\\3&1}\bmat{x\\y}} =A\bmat{-2x\\3x+y} \\=&\bmat{2&2\\-3&1}\bmat{-2x\\3x+y} =\bmat{2(-2x)+2(3x+y)\\-3(-2x)+(3x+y)} \\=&\bmat{2x+2y\\9x+y} =\bmat{2&2\\9&1}\bmat{x\\y} =\bmat{2&2\\9&1}\m{x} \end{align*}$

となるから， $AB=\bmat{2&2\\9&1}$ と定義されていれば，結合法則 $A(B\m{x})=(AB)\m{x}$ が成り立つ．

このように，行列の積が結合法則をもつように定義しようとすると，行列の積の定義は以下のようになる．

$A=(a_{ij})\in\Mat_{mn}(\K)$ , $B=(b_{ij})\in\Mat_{n\ell}(\K)$ とする．このとき，積 $AB$ を以下で定義する．

$\begin{align*} AB :=\bra{\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}}_{1\leqq i\leqq m,1\leqq j\leqq \ell} =\bmat{ \sum_{k=1}^{n} a_{1k}b_{k1}&\dots&\sum_{k=1}^{n} a_{1k}b_{k\ell}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \sum_{k=1}^{n} a_{mk}b_{k1}&\dots&\sum_{k=1}^{n} a_{mk}b_{k\ell} } \end{align*}$

たとえば， $A=\bmat{1&2\\3&6}$ , $B=\bmat{-1&3\\1&0}$ , $C=\bmat{2&0\\-1&0}$ とすると，

$\begin{align*} &AB =\bmat{1\cdot(-1)+2\cdot1&1\cdot3+2\cdot0\\3\cdot(-1)+6\cdot1&3\cdot3+6\cdot0} =\bmat{1&3\\3&9}, \\&BA =\bmat{(-1)\cdot1+3\cdot3&(-1)\cdot2+3\cdot6\\1\cdot1+0\cdot3&1\cdot2+0\cdot6} =\bmat{8&16\\1&2}, \\&AC =\bmat{1\cdot2+2\cdot(-1)&1\cdot0+2\cdot0\\3\cdot2+6\cdot(-1)&3\cdot0+6\cdot0} =\bmat{0&0\\0&0} \end{align*}$

である．よって， $AB\neq BA$ , $AC=O$ である．このように，

行列の積は可換(交換可能)とは限らないし，
行列の積が零行列であってもどちらかが零行列であるとは限らない

ことに注意する．

行列の積の表し方

$A=(a_{ij})\in\Mat_{mn}(\K)$ , $B=(b_{ij})\in\Mat_{n\ell}(\K)$ に対して，積 $AB$ を次の命題の形で表すことも多い．

$A=(a_{ij})\in\Mat_{mn}(\K)$ , $B=(b_{ij})\in\Mat_{n\ell}(\K)$ を

$\begin{align*} A=\bmat{\m{a}_1\\\vdots\\\m{a}_m},\quad B=[\m{b}_1,\dots,\m{b}_{\ell}] \end{align*}$

とすると，積 $AB$ は以下の4通りの表し方ができる．

$\begin{align*} AB =&\bmat{\sum_{k=1}^{n} a_{1k}b_{k1}&\dots&\sum_{k=1}^{n} a_{1k}b_{k\ell}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \sum_{k=1}^{n} a_{mk}b_{k1}&\dots&\sum_{k=1}^{n} a_{mk}b_{k\ell}} \\=&\bmat{\m{a}_1\m{b}_1&\dots&\m{a}_1\m{b}_\ell\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \m{a}_m\m{b}_1&\dots&\m{a}_m\m{b}_\ell} \\=&[A\m{b}_1,\dots,A\m{b}_\ell] \\=&\bmat{\m{a}_{1}B\\\vdots\\\m{a}_{m}B} \end{align*}$

[証明]

最初の等号は定義に他ならない．任意の $i=1,\dots,m$ に対して，

$\begin{align*} \m{a}_{i}=[a_{i1},\dots,a_{in}],\quad \m{b}_{i}=\bmat{b_{1i}\\\vdots\\b_{ni}} \end{align*}$

だから，

$\begin{align*} \m{a}_{i}\m{b}_{j} =a_{i1}b_{1j}+\dots+a_{in}b_{nj} =\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj} \end{align*}$

であり，定義からこれは積 $AB$ の $(i,j)$ 成分だから，

$\begin{align*} AB=\bmat{\m{a}_1\m{b}_1&\dots&\m{a}_1\m{b}_\ell\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \m{a}_m\m{b}_1&\dots&\m{a}_m\m{b}_\ell} \end{align*}$

が成り立つ．この等式の第 $j$ 列は

$\begin{align*} \bmat{\m{a}_1\m{b}_j\\\vdots\\\m{a}_m\m{b}_j} =\bmat{\m{a}_1\\\vdots\\\m{a}_m}\m{b}_j =A\m{b}_j \end{align*}$

だから，積 $AB$ は

$\begin{align*} AB=[A\m{b}_1,\dots,A\m{b}_l] \end{align*}$

と表せる．同様に，先ほどの等式の第 $i$ 列は

$\begin{align*} [\m{a}_i\m{b}_1,\dots,\m{a}_i\m{b}_l] =\m{a}_{i}[\m{b}_1,\dots,\m{b}_l] =\m{a}_{i}C \end{align*}$

だから，積 $AB$ は

$\begin{align*} AB=\bmat{\m{a}_{1}B\\\vdots\\\m{a}_{m}B} \end{align*}$

と表せる．

[証明終]

基本的な行列の性質

ここでは，線形代数でよく現れる

零行列
単位行列
転置行列
正則行列

について説明する．

零行列と単位行列

零行列と単位行列の席に関する重要な性質をみておく．

$T\in\Mat_{n}(\K)$ に対して，次は同値である．

$T$ は零行列である．
任意の $A\in\Mat_{n}(\K)$ に対して， $AT=TA=O$ を満たす．

[証明]

$(1)\Ra(2)$ は明らかである．

逆に，もし(1)を満たさなければ，すなわち $T\neq O$ ならば， $A=I$ としたときに $AT=T\neq O$ となって(2)を満たさない．よって，この対偶を考えることにより $(2)\Ra(1)$ が従う．

[証明終]

$T\in\Mat_{n}(\K)$ に対して，次は同値である．

$T$ は単位行列である．
任意の $A\in\Mat_{n}(\K)$ に対して， $AT=TA=A$ を満たす．

[証明]

$A=(a_{ij})$ とする．第 $k$ 成分が1で他の成分が0の $\R^n$ のベクトルを $\m{e}_k$ とすると， $I=[\m{e}_{1},\dots,\m{e}_{n}]$ と表せるから，

$\begin{align*} AI =[A\m{e}_{1},\dots,A\m{e}_{n}] =\bmat{a_{11}&\dots&{a}_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\dots&a_{nn}} =A \end{align*}$

が従う． $IA=A$ も同様に計算から従う．よって， $(1)\Ra(2)$ が成り立つ．

逆に，もし(1)を満たさなければ，すなわち $T\neq I$ であれば， $A=T$ としたときに $AT=T\neq I$ となって(2)を満たさない．よって，この対偶を考えることにより $(2)\Ra(1)$ が従う．

[証明終]

転置行列

行列の積と転置行列の関係はよく用いるので，ここで述べておく．

$A\in\Mat_{mn}(\K)$ , $B\in\Mat_{n\ell}(\K)$ に対し， $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ である．

[証明]

$A\in\Mat_{mn}(\K)$ , $B\in\Mat_{n\ell}(\K)$ を $A=\bmat{\m{a}_1\\\vdots\\\m{a}_m}$ , $B=[\m{b}_1,\dots,\m{b}_{\ell}]$ とすると，

$\begin{align*} (AB)^{T} =\bmat{\m{a}_1\m{b}_1&\dots&\m{a}_1\m{b}_\ell\\\vdots&\ddots&\vdots\\\m{a}_m\m{b}_1&\dots&\m{a}_m\m{b}_\ell}^{T} =\bmat{\m{a}_1\m{b}_1&\dots&\m{a}_m\m{b}_1\\\vdots&\ddots&\vdots\\\m{a}_1\m{b}_\ell&\dots&\m{a}_m\m{b}_\ell} =\bmat{\m{b}_{1}^{T}\m{a}_{1}^{T}&\dots&\m{b}_{1}^{T}\m{a}_{m}^{T}\\\vdots&\ddots&\vdots\\\m{b}_{\ell}^{T}\m{a}_{1}^{T}&\dots&\m{b}_{\ell}^{T}\m{a}_{m}^{T}} =B^{T}A^{T} \end{align*}$

が従う．

[証明終]

正則行列

逆行列は実数でいう逆数に相当する概念である逆行列を定義する．

$A\in\Mat_n(\K)$ に対し，

$\begin{align*} AB=BA=I \end{align*}$

をみたす $B\in\Mat_n(\K)$ が存在するとき， $B$ は $A$ の逆行列 (inverse matrix)であるといい， $B$ を $A^{-1}$ と表す．また，逆行列をもつ行列は正則 (regular)であるという．

$B$ が $A$ の逆行列であれば， $A$ は $B$ の逆行列である．すなわち，元の行列とその逆行列は互いに逆行列の関係にある．

先ほど逆行列は「実数でいう逆数の概念」であると述べた．

しかし，実数の場合には０でなければ逆数を持つが，行列の場合には $O$ でなくても逆行列を持たないことがあるという点は大きく異なる点である．

例えば， $\bmat{1&2\\2&4}$ は逆行列を持たない．

他にも，全ての成分が０である行や列をもつ行列なども正則行列になり得ない．

正則行列はどの行，どの列も0でない成分を含む．

[証明]

正則行列 $A=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]$ に対して， $\m{a}_{k}=\m{0}$ となる $k\in\{1,\dots,n\}$ が存在するとする．

このとき， $A$ の逆行列を $B$ とすると，から $BA=[B\m{a}_{1},\dots,B\m{a}_{n}]$ だから， $BA$ の第 $k$ 行は零ベクトルであるが， $BA=I$ だからこれは矛盾である．

よって，全ての $k\in\{1,\dots,n\}$ に対して $\m{a}_{k}\neq\m{0}$ である．

行に関しては， $A$ を行ベクトルで表して積 $AB$ を考えれば，同様に従う．

[証明終]

正則行列の積について，次が成り立つ．

正則な $A,B\in\Mat_{n}(\K)$ に対して，積 $AB$ は正則であり， $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ が成り立つ．

[証明]

$AA^{-1}=A^{-1}A=BB^{-1}=B^{-1}B=I$ より，

$\begin{align*} &(AB)(B^{-1}A^{-1}) =A(BB^{-1})A^{-1} =AIA^{-1} =AA^{-1} =I, \\&(B^{-1}A^{-1})(AB) =B^{-1}(A^{-1}A)B =B^{-1}IB =B^{-1}B =I \end{align*}$

が成り立つから， $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ を得る．

[証明終]

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