線形代数１
線形代数は「多変数バージョンの比例」という話

線形代数学は理系大学生の多くが大学初年度に学ぶことになります．

線形代数では行列とベクトルが線形代数の最初に定義され，行列のイメージが掴めないまま抽象的な議論に進んでしまい，ずるずると線形代数を苦手としてしまうパターンはかなり多いように思います．

しかし，線形代数とは「中学校以来扱ってきた比例$y=ax$の変数$x$を複数の変数(多変数)にするとどうなるのか」ということを考える分野で，そのことが理解できると色々なところが見通しよく考えられるようになります．

そのため，この記事では

• 行列とベクトルがどのようなものか
• 線形代数がどういう意味で「多変数の比例」といえるのか

を説明します．

オススメの入門書

以下は初学者向けのオススメの教科書です．この記事の著者も数学教室の集団授業で使っています．

手を動かしてまなぶ 線形代数

[藤岡敦 著/裳華房]

多変数の「比例」

比例とは次のように定義されるものでした．

様々ある関数の中でも$f(x)=ax$で定まる比例の関数$f$は非常に分かりやすい関数ですね．

ここで，この比例を「拡張」することを考えます．例えば，２つの等式

   

を考えましょう．

比例$y=ax$では$x$と$y$が１つずつでしたが，この２つの等式では

• $x$が$x_1$, $x_2$, $x_3$の３つ
• $y$が$y_1$と$y_2$の２つ

に増えているわけですね．

あとできちんと定義しますが，これを線形代数では

   

のように右辺を係数部分と変数部分に分けて表します．

このとき，

• 左辺を$\m{y}:=\bmat{y_1\\y_2}$
• 右辺の係数部分を$A:=\bmat{1&2&3\\4&5&6}$
• 右辺の変数部分を$\m{x}:=\bmat{x_1\\x_2\\x_3}$

とおくと，上の等式は

   

と表すことができ，あたかも$A$を「比例定数」とし$\m{y}$は$\m{x}$に「比例」していると捉えることができます．

これについて，

• $\m{x}$, $\m{y}$のように一列に数を並べたものを数ベクトル
• $A$のように長方形型に数を並べたものを行列

といいます．

行列とベクトルの定義

次に，いま紹介した行列とベクトルをきちんと定義しておきましょう．

行列の定義

この一連の記事では

• 成分が集合$S$の元である$m\times n$行列全部の集合を$\Mat_{mn}(S)$
• 成分が集合$S$の元である$n$次正方行列全部の集合を$\Mat_{n}(S)$

と表します．

例１

$A:=\bmat{1&2&3\\4&5&6}$は$2\times3$行列で

• $A$の第$(1,2)$成分は$2$
• $A$の第$2$行は$\bmat{4&5&6}$
• $A$の第$3$列は$\bmat{3\\6}$は

ですね．

例２

線形代数を学ぶ段階では行列の成分は実数または複素数であることがほとんどで，そのことを強調してそれぞれ実行列 (real matrix)，複素行列 (complex matrix)ということも多いです．

例えば，

• $A:=\bmat{1&2&3\\4&5&6}$は$2\times3$実行列で
• $B:=\bmat{1&2+i&3-i\\2-i&5&0\\3+i&0&9}$は$3$次複素正方行列

ですね．

ベクトルの定義

例１

$S$成分の$n$次列ベクトルを$S^{n}$と表す($S^{n}:=\Mat_{n1}(S)$)と表します．

列ベクトルについて

   

です．

行列と同様に$\R^{n}$の元を実ベクトル (real vector)，$\C^{n}$の元を複素ベクトル (complex vector)といいます．

例２

行ベクトルはコンマ“,”を用いて，$[a_{11},\dots,a_{1n}]$のように表すことも多いです．たとえば，

   

ですね．

例３

$\R^n$は$n$本の座標軸のある直交座標として考えることができます．

例えば，$\m{a}:=\bmat{3\\1}\in\R^2$は

と$xy$平面上に表せます．

例４

行列を並べることによって，行列を表すこともよくあります．

例えば，行列$A:=\bmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}$は

• 行列$A_1:=\bmat{1&2\\4&5}$, $A_2:=\bmat{3\\6}$, $A_3:=[7,8]$, $A_4:=[9]$によって，

     

• 行ベクトル$\m{b}_1=[1,2,3]$, $\m{b}_2=[4,5,6]$, $\m{b}_3=[7,8,9]$によって，

     

などと表すことができます．

重要な行列とベクトル

この記事の最後に，頻繁に現れる重要な行列とベクトルを紹介しておきます．

零行列・零ベクトル

零行列・零ベクトルは実数や複素数でいう０に相当する行列・ベクトルです．

零ベクトルは$\m{0}$，零行列は$O$と表すことが多く，次数を明示するときには

• $\m{0}_{n}$：$n$次零ベクトル
• $O_{mn}$：$m\times n$次零行列
• $O_{n}$：$n$次零行列

などと添字で表すことが多いです．

対角行列と単位行列

単位行列は$I$や$E$で表すことが多く，次数を明示するときには

• $I_{n}$：$n$次単位行列
• $E_{n}$：$n$次単位行列

などと添字で表すことが多いです．

例えば

• $\diag{(1,2)}=\bmat{1&0\\0&2}$
• $\diag{(\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{2})}=\bmat{\sqrt{2}&0&0\\0&-\sqrt{2}&0\\0&0&\sqrt{2}}$
• $\diag{(1,-1,0)}=\bmat{1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0}$

はいずれも対角行列であり，

• $I_2=\bmat{1&0\\0&1}$
• $I_3=\bmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}$

はいずれも単位行列ですね．

転置行列

たとえば，$A=\bmat{1&2\\3&4\\5&6}$, $B=\bmat{2\\-3\\1}$に対して

• ${}^{t}A=A^{T}=\bmat{1&3&5\\2&4&6}$
• ${}^{t}B=B^{T}=[2,-3,1]$

ですね．転置行列については次が成り立ちますね．

行列の演算

次の記事では行列には和と積を定義します．

行列の和$A+B$については分配法則

   

が成り立ち，行列の積$AB$については結合法則

   

が成り立ちます．

参考文献

以下は参考文献です．

手を動かしてまなぶ 線形代数

[藤岡敦 著/裳華房]

線型代数入門

[齋藤正彦 著/東京大学出版会]

なお，本書については，以下の記事で書評としてまとめています．