線形代数１｜行列の計算の基本！行列の積はなぜこうなる？

線形代数学は理系大学生の多くが大学初年度に学ぶことになります．

線形代数では行列とベクトルが線形代数の最初に定義され，行列のイメージが掴めないまま抽象的な議論に進んでしまい，ずるずると線形代数を苦手としてしまうパターンはかなり多いように思います．

しかし，線形代数とは「中学校以来扱ってきた比例$y=ax$の変数$x$を複数の変数(多変数)にするとどうなるのか」ということを考える分野で，そのことが理解できると色々なところが見通しよく考えられるようになります．

そのため，この記事では最初に行列とベクトルのイメージを掴むところから説明します．

また，行列の積をどうしてそのように定義するのか理解に苦しむ人も多いのですが，これも「多変数の比例」のイメージが掴めていると自然な発想に基づいていることが分かります．

なお，この記事では実数$\R$を中心に説明しますが，複素数$\C$など一般の体に対しても同様です．

行列とベクトル

ここでは，行列とベクトルの定義をイメージから説明します．

多変数の「比例」

実数$a$に対して$y=ax$が成り立つとき，「$y$は$x$に比例する」といい，$a$を比例係数というのでした．

様々にある関数の中でも$f(x)=ax$で定まる比例の関数$f$は非常に分かりやすい関数のため，他の関数よりも比較的容易に理解することができますね．

ここで，比例を「拡張」することを考えます．

例えば，２つの等式

   

を考えましょう．

比例$y=ax$では$x$と$y$が１つずつでしたが，この２つの等式では

• $x$が$x_1$, $x_2$, $x_3$の３つ
• $y$が$y_1$と$y_2$の２つ

に増えているわけですね．

つまり，比例では$x$に値を代入すれば$y$の値が分かったように，上の式では$x_1$, $x_2$, $x_3$に値を代入すれば$y_1$, $y_2$の値が分かるという状況になっています．

線形代数では，これを

   

のように表します．つまり，右辺では係数部分と変数部分を分けているわけですね．

このとき，

• 左辺を$\m{y}:=\bmat{y_1\\y_2}$
• 右辺の係数部分を$A:=\bmat{1&2&3\\4&5&6}$
• 右辺の変数部分を$\m{x}:=\bmat{x_1\\x_2\\x_3}$

とおくと，上の等式は$\m{y}=A\m{x}$と表すことができ，あたかも$A$を「比例定数」とし$\m{y}$は$\m{x}$に「比例」していると捉えることができます．

これについて，

• $\m{x}$, $\m{y}$のように一列に成分を並べたものを数ベクトル
• $A$のように長方形型に成分を並べたものを行列

といいます．

行列の定義

いまみた行列をきちんと定義しておきましょう．

一連の記事では$S=\R$または$S=\C$の場合がほとんどで

• $\Mat_{mn}(\R)$の元を実行列 (real matrix)
• $\Mat_{mn}(\C)$の元を複素行列 (complex matrix)

といいます．例えば，

• $A:=\bmat{1&2&3\\4&5&6}$は$2\times3$実行列で
• $B:=\bmat{1&2+i&3-i\\2-i&5&0\\3+i&0&9}$は$3$次複素正方行列

ですね．

また，行列の一部を次のようによびます．

例えば，$A:=\bmat{1&2&3\\4&5&6}$は$2\times3$行列に対して

• $A$の第$(1,2)$成分は$2$
• $A$の第$2$行は$\bmat{4&5&6}$
• $A$の第$3$列は$\bmat{3\\6}$は

ですね．

ベクトルの定義

次にベクトルを以下のように定義します．

行列と同様に

• $\R^{n}$の元を実ベクトル (real vector)
• $\C^{n}$の元を複素ベクトル (complex vector)

といいます．

例１

列ベクトルについて

• $\bmat{1\\2\\3}\in\N^{3}$
• $\bmat{\sqrt{3}\\\sqrt{3}\\\sqrt{3}}\in\R^{3}$
• $\bmat{1\\i\\0\\-i}\in\C^{4}$

です．

また，行ベクトルはコンマ“,”を用いて，$[a_{11},\dots,a_{1n}]$のようにも表します．たとえば，

• $[1,2,3]\in\Mat_{13}(\N)$
• $[\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}]\in\Mat_{13}(\R)$
• $[1,i,0,-i]\in\Mat_{14}(\C)$

ですね．

例２

$\R^n$は$n$本の座標軸のある直交座標として考えることができます．

例えば，$\m{a}:=\bmat{3\\1}\in\R^2$は

と$xy$平面上に表せます．

例３

行列を並べることによって，行列を表すこともあります．

例えば，行列$A:=\bmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}$は

• 行列$A_1:=\bmat{1&2\\4&5}$, $A_2:=\bmat{3\\6}$, $A_3:=[7,8]$, $A_4:=[9]$によって，

     

• 行ベクトル$\m{b}_1=[1,2,3]$, $\m{b}_2=[4,5,6]$, $\m{b}_3=[7,8,9]$によって，

     

などと表すことができます．

基本的な行列とベクトル

零ベクトルは$\m{0}$，零行列は$O$，単位行列は$I$と表すことが多く，次数を明示するときには，添え字として

• $\m{0}_{n}$：$n$次零ベクトル
• $O_{mn}$：$m\times n$次零行列
• $O_{n}$：$n$次零行列
• $I_{n}$：$n$次単位行列

とするのが普通です．

例えば

• $\diag{(1,2)}=\bmat{1&0\\0&2}$
• $\diag{(\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{2})}=\bmat{\sqrt{2}&0&0\\0&-\sqrt{2}&0\\0&0&\sqrt{2}}$
• $\diag{(1,-1,0)}=\bmat{1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0}$

はいずれも対角行列であり，

• $I_2=\bmat{1&0\\0&1}$
• $I_3=\bmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}$

はいずれも単位行列ですね．

たとえば，$A=\bmat{1&2\\3&4\\5&6}$, $B=\bmat{2\\-3\\1}$に対して

• ${}^{t}A=A^{T}=\bmat{1&3&5\\2&4&6}$
• ${}^{t}B=B^{T}=[2,-3,1]$

ですね．

転置行列について，以下は明らかでしょう．

行列とベクトルの計算

単なる$\alpha\in\R$を行列やベクトルと区別してスカラー (scalar)といいます．

行列のスカラー倍と和，差

すなわち，$\alpha$倍は全ての成分に$\alpha$をかければ良く，和と差は同じ成分同士で和と差を取れば良いわけですね．

ベクトルは行列の特別な場合(行または列が１つの行列)なので，ベクトルについても同様に$\alpha\in\R$倍と和が定義されます．

$\m{a}\in\R^n$の逆ベクトル$-\m{a}$は$(-1)\m{a}$に一致します．つまり，$-\m{a}=(-1)\m{a}$ですね．

$\m{a},\m{b}\in\R^{n}$が平行であるとは，図形的には$\m{a}$の伸び縮みだけで$\m{b}$に一致させられることをいうわけですね．

ただし，$k<0$の場合には$\m{a}$と$\m{b}$は逆向きになります(すなわち，逆向きに伸び縮みさせると考えます)．

なお，複素ベクトルの場合にも同様に定義されます．よって，$\m{a}:=\bmat{1\\2\\3},\m{b}:=\bmat{2\\4\\6},\m{c}:=\bmat{-i\\-2i\\-3i}\in\C^{3}$は

   

を満たすので，$\m{a}$, $\m{b}$, $\m{c}$は全て互いに平行となります．

行列とベクトルの積

さきほど，連立方程式$\begin{cases}y_1=x_1+2x_2+3x_3\\y_2=4x_1+5x_2+6x_3\end{cases}$を

   

と表すと述べました．実はこの式の右辺は

• 行列$\bmat{1&2&3\\4&5&6}$
• ベクトル$\bmat{x_1\\x_2\\x_3}$

の積と考えます．

行列とベクトルの積を一般に以下のように定義します．

例えば，

   

ですね．

行列の積

次に行列の積を定義しますが，どのように定義するのが良いか考えましょう．

行列とベクトルの積については，定義から

• $B\in\Mat_{nm}(\R)$を左から$\m{x}\in\R^n$にかけて$B\m{x}\in\R^m$
• さらに左から$A\in\Mat_{m\ell}(\R)$をかけると$A(B\m{x})\in\R^{\ell}$

となります：

   

さて，ここで行列$A$と$B$の積$AB$をするとき，結合法則$A(B\m{x})=(AB)\m{x}$が成り立っていて欲しいと思うのは自然なことですね．

たとえば，$A=\bmat{2&2\\-3&1}$, $B=\bmat{-2&0\\3&1}$, $\m{x}=\bmat{x\\y}$の場合を考えると，

   

となるので，$AB=\bmat{2&2\\9&1}$と定義されていれば，結合法則$A(B\m{x})=(AB)\m{x}$が成り立ちます．

このように，行列の積が結合法則をもつように定義しようとすると，行列の積の定義は以下のようになります．

たとえば，$A=\bmat{1&2\\3&6}$, $B=\bmat{-1&3\\1&0}$, $C=\bmat{2&0\\-1&0}$とすると，

   

となります．

さて，この例から$AB\neq BA$, $AC=O$となることが分かります．このように，

• 行列の積は可換(交換可能)とは限らないし，
• 行列の積が零行列であってもどちらかが零行列であるとは限らない

ということに注意してください．

行列の積の表し方

$A=(a_{ij})\in\Mat_{mn}(\R)$, $B=(b_{ij})\in\Mat_{n\ell}(\R)$に対して，積$AB$を次の命題の形で表すことはとてもよくあります．

逆行列

最後に逆行列を説明します．

逆行列は実数でいう逆数に相当する概念で，以下のように定義されます．

「逆行列は実数でいう逆数の概念」であると書きましたが，実数の場合には０でなければ逆数を持ちますが，行列の場合には零行列$O$でなくても逆行列を持たないことがあるという点は大きな違いです．

例えば，$\bmat{1&2\\2&4}$は逆行列を持たないことがのちの記事で(それほど難しくなく)分かります．

他にも，全ての成分が０である行や列をもつ行列なども正則行列になり得ません．

さて，正則行列の積について，次が成り立ちます．

掃き出し法

たとえば

   

のように，いくつかの１次方程式を同時に満たす複数の未知数に関する方程式を連立１次方程式といいます．

連立１次方程式の解法として加減法がありますが，加減法は行列を考えることによって本質的に全く同じことができ，この行列を用いた解法を掃き出し法といいます．

加減法が分かっていれば掃き出し法は簡単に理解できる解法ですが，線形代数の理論は掃き出し法がベースにあるといってもよいくらい掃き出し法は重要な考え方です．

次の記事では，この掃き出し方の考え方を説明します．

参考文献

なお，本書については，以下の記事で書評としてまとめています．