2018年度 院試解説｜京都大学 数学・数理解析専攻｜基礎科目

$n\in\N$に対して$V_n:=\set{(x,y,z)\in V}{z\le n^2}$とおくと，$\{V_n\}$は

を満たす体積確定な有界閉集合の列である．被積分関数は$V$上で非負だから

である．

各$V_n$上で座標変換$(x,y,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,\eta)$（$r\ge0$）を施すと，$V_n$は

に対応し，ヤコビ行列式は

である．よって，２次元の極座標変換と同様に重積分が書き換えられて

となるから，求める広義積分はこの$n\to\infty$の極限で

を得る．

$\m{b}:=\bmat{1\\1\\1}$とする．行列$\brc{A,\m{b}}$に行基本変形を施すと，

である．

(1)上の行基本変形により，

である．

(2)上の行基本変形により，$(a,b)\neq\bra{\frac{5}{2},2}$のとき$\operatorname{rank}{A}=\operatorname{rank}{[A,\m{b}]}$であり，$(a,b)=\bra{\frac{5}{2},2}$のときはこれを満たさない．

よって，求める実数$a$, $b$は$(a,b)\neq\bra{\frac{5}{2},2}$である．

複素関数$f:\C\to\C$を

で定め，任意の$R>2$に対して$C_{R},L_{R}\subset\C$を

で定める．このとき，

である．ただし，$\xi\in\C$に対して，$\xi$の実部を$\operatorname{Re}\xi$で表す．

[1]$\int_{C_{R}\cup L_{R}}f(z)\,dz$を考える．

なので，$1+z^{2}+z^{4}=0$の解は$z$の６乗根のうち$\pm1$を除いた$e^{\pi i/3}$, $e^{2\pi i/3}$, $e^{4\pi i/3}$, $e^{5\pi i/3}$である．

よって，$e^{\pi i/3},e^{2\pi i/3},e^{4\pi i/3},e^{5\pi i/3}$は$f$の１位の極であり，この他に$f$は極をもたないから，$e^{\pi i/3}$, $e^{2\pi i/3}$を除く$C_{R}\cup L_{R}$の周および内部は$f$が正則な領域に含まれる．

$e^{\pi i/3}$, $e^{2\pi i/3}$での$f$の留数は

だから，留数定理より，

である．

[2]$\int_{C_{R}}f(z)\,dz$を考える．

ここで，$R>2$に注意して三角不等式を繰り返し用いて

となるから，

である．よって，$\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{C_{R}}f(z)\,dz=0$が従う．

[1], [2]より$\dint_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(\pi x)}{1+x^{2}+x^{4}}\,dx=\pi e^{-\pi\sqrt{3}/2}$を得る．

(1)任意の$0\le s<t<1$に対して$f_{n}(s)\le f_{n}(t)$だから，両辺で$n\to\infty$とすると$f(s)\le f(t)$が従う．

よって，$f$, $f_n$はともに広義単調増加だから，任意の$n\in\{1,2,\dots\}$と$z\in[x,y]$に対して，

が成り立つ．よって，

が従う．

(2)任意に$\epsilon>0$をとる．$f$は有界閉区間$[0,1]$で連続だから，$f$は$[0,1]$上一様連続である．すなわち，ある$\delta>0$が存在して，$|x-y|<\delta$なら$|f(x)-f(y)|<\epsilon$が成り立つ．

よって，$\frac{1}{N}<\delta$を満たす$N\in\N$をとると，任意の$k\in\{0,1,\dots,N-1\}$に対して，

が成り立つ．

また，関数列$\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$が$n\to\infty$で関数$f$に各点収束するから，任意の$k\in\{0,1,\dots,N-1\}$に対して，ある$n_{k}\in\N$が存在して，$n>n_{k}$なら

が成り立つ．よって，(1)を用いると，$n>n_{k}$なら

が成り立つ．よって，$n>\max\{n_0,n_1,\dots,n_{N-1}\}$なら，

が成り立つから，題意が従う．

$I$を３次正方行列とし，$A, B\in G$を

で定める．

任意の$n\in\Z$に対して，

が成り立つ．実際，$n=1$のときは明らかで，ある$n$で成り立つとすると

となるから帰納的に従う．$B$, $C$も同様である．よって，任意の$a,b,c\in\mathbb{F}_{p}$に対して，

となることが分かり，$G=\anb{A,B,C}$を得る．

いま，$A^{-1}=A^{p-1}$, $C=C^{p-1}$だから$A$, $C$はいずれも正則で，

より$B=ACA^{-1}C^{-1}$となることと併せて，結局$G=\anb{A,C}$が従う．

ここで，$f:G\to\C^{\times}$を準同型とすると，$f(A)^{p}=f(A^{p})=I$で$p$は素数だから$f(A)=e^{2\pi ik/p}$（$k=1,\dots,p$）である．同様に$f(C)=e^{2\pi i\ell/p}$（$\ell=1,\dots,p$）である．

また，$C$の乗法群$\C^{\times}$は可換だから

である．よって，任意の$B^{b}C^{c}A^{a}\in G$に対して，

が成り立つ．

逆に，$k,\ell\in\{1,\dots,p\}$を固定し，写像$f:G\to\C^{\times}$を

で定める．任意の$B^{b}C^{c}A^{a},B^{b’}C^{c’}A^{a’}\in G$に対して，

なので，

となるから，$f$は準同型である．また，$f(A)=e^{2\pi ik/p}$, $f(C)=e^{2\pi i\ell/p}$である．

よって，$k$, $\ell$の選び方はともに$|\{1,2,\dots,p\}|=p$通りだから，$G$から乗法群$\C^{\times}=\C\setminus\{0\}$への準同型写像の個数は$p^{2}$である．

(1)写像$g:\R^{4}\to\R^{2}$，実２次正方行列$A$, $B$を

で定める．$M=g^{-1}(0,0)$であり，$(1,0,0,0)\in M$だから$M\neq\emptyset$である．

ここで，任意の$p:=(x,y,z,w)\in M$が$g$の正則点であることを示す．そのために，$\operatorname{rank}Jg_{p}\neq2$と仮定して矛盾を導く．

だから，$(x,z)=(\pm y,\pm w)$（複号任意）のいずれかが成り立つ．

(i)もし$(x,z)=(\pm y,\pm w)$（複号同順)なら，$xy+zw=0$より$x^2+z^2=0$となって$p=(0,0,0,0)$となるが，これは$x^2+y^2+z^2+w^2=1$を満たさない．

(ii)もし$(x,z)=(y,-w)$なら，行基本変形により

となるから$y=0$または$w=0$である．$xy+zw=0$と併せると$p=(0,0,0,0)$となるが，これは$x^2+y^2+z^2+w^2=1$を満たさない．

(iii)もし$(x,z)=(-y,w)$なら，(ii)と同様に矛盾．

以上より仮定は誤りで任意の$p\in M$が$g$の正則点である．よって，正則値定理より$M=g^{-1}(0,0)$は微分可能多様体で，次元は$4-2=2$である．

(2)$f:M\to\R$の$\R^4$への延長$F:\R^4\to\R$を$\tilde{f}(x,y,z,w)=x$で定める．

このとき，$p=(x,y,z,w)\in M$が$f$の臨界点であることと，$T_{p}M\subset\operatorname{Ker}dF_{p}$が成り立つことは同値である．

さらに，$M\subset\R^{4}$より$T_{p}M\subset\R^{4}$とみなすことができ，$JF_{p}=[1,0,0,0]$より$\operatorname{Ker}dF_{p}=\{0\}\times\R^{3}$なので，$T_{p}M\subset\{0\}\times\R^{3}$となる$p\in M$を全て求めればよい．

ここで，

であることに注意する．

[1]$z\neq\pm w$のとき，$B$は正則だから

なので，第１成分が0でないベクトルが$T_{p}M$に属するから$T_{p}M\subset\{0\}\times\R^{3}$とはなり得ない．

[2]$z=\pm w$かつ$z\neq0$のとき，複号同順で

なので，たとえば$\bra{1,\pm1,-\frac{x}{z},-\frac{y}{z}}\in T_{p}M$だから，$T_{p}M\subset\{0\}\times\R^{3}$とはなり得ない．

[3]$z=w=0$のとき，$p\in M$と併せて

となる．

[1]-[3]より，$p\in M$なら$p=(\pm1,0,0,0),(0,\pm1,0,0)$を満たす．

逆に，このとき$A$は正則で$B$は零行列となるから，

となるから，$f$の臨界点は$(\pm1,0,0,0)$, $(0,\pm1,0,0)$である．

$A$は複素（実）正方行列なので，ある正則行列$P$が存在して

が成り立つ．ここに$a_{1},\dots,a_{q}\in\C\setminus\{0\}$であり，$J_{n}(a)$は固有値$a$の$n$次Jordan細胞である．任意の$m\in\N$に対して

であり，正則行列をかけることによって階数は不変だから，

である．ここで，Jordan細胞$J_{n}(a)$は以下を満たす：

• $a\in\R\setminus\{0\}$のとき，任意の$m\in\N$に対して$\rank{(J_{n}(a)^{m+1})}=\rank{(J_{n}(a)^m)}$
• $a=0$かつ$n\ge2$のとき，
  • 任意の$m\in\{1,2,\dots,n-1\}$に対して，$\rank{(J_{n}(a)^{m+1})}+1=\rank{(J_{n}(a)^m)}$
  • 任意の$m\in\{n,n+1,\dots\}$に対して，$\rank{(J_{n}(a)^{m+1})}=\rank{(J_{n}(a)^m)}$
• $a=0$かつ$n=1$のとき，任意の$m\in\N$に対して$\rank{(J_{n}(a)^{m+1})}=\rank{(J_{n}(a)^m)}$

よって，$\rank{(A^{k+1})}=\rank{(A^k)}$が成り立つ最小の$k$は$k:=\max\{n_1,\dots,n_p\}$であり，任意の整数$m\ge\max\{n_1,\dots,n_p\}$に対し，

が従う．