いくつかの１次方程式を同時に満たす複数の未知数に関する方程式を連立１次方程式といいますね．例えば，
\begin{align*}\begin{cases}x+y+z=2\\x+2y+3z=4\end{cases}\end{align*}
は$x,y,z$の連立１次方程式です．
未知数と方程式の本数が一致していなくても構いません．
実は「線形代数のベースは連立１次方程式である」と言っても良いほど，線形代数では連立１次方程式が重要です．
中学数学以来扱ってきたように，連立１次方程式の基本解法として加減法がありますが，加減法は行列を考えることによって本質的に全く同じことができ，この行列を用いた解法を掃き出し法といいます．
この記事では
- 連立１次方程式の係数行列・拡大係数行列
- 連立１次方程式の加減法と行列の基本変形
- 連立１次方程式の掃き出し法
を順に解説します．
なお，この記事では特に断らない限り実行列・実ベクトルを扱うことにしますが，複素行列など一般の体を成分とする行列・ベクトルに対しても同様です．
「線形代数学の基本」の一連の記事
- 行列と列ベクトル
- 行列式
- $\R^n$の部分空間と基底
線形代数学の参考文献
以下は線形代数学に関するオススメの教科書です．
大学教養 線形代数（加藤文元 著）
数学科など理論系の学生向けの線形代数の入門書です．平易な例から丁寧に説明されています．
手を動かしてまなぶ 線形代数（藤岡敦 著）
理論と演習のバランスをとりながら勉強したい人にオススメの入門書です．
連立１次方程式の係数行列・拡大係数行列
まずは連立１次方程式を行列・ベクトルを用いて表す方法を考えましょう．
連立１次方程式とは？
複数の方程式を併せたものを連立方程式といい，とくに連立している全ての方程式が１次式であるとき連立１次方程式といいます．例えば，
\begin{align*}\begin{cases}x+y+z=2\\3x-2y+2z=4\\2x-3y+z=2\\x+2y-5z=2\end{cases},\quad
\begin{cases}x+y+z=2\\2x+2y+2z=5\end{cases}\end{align*}
はいずれも$x,y,z$の連立１次方程式ですね．未知数を列ベクトルにまとめて$\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$として，単に$\m{x}$の方程式ということもよくあります．
連立方程式では
- $(\text{未知数の個数})<(\text{連立している方程式の個数})$
- $(\text{未知数の個数})>(\text{連立している方程式の個数})$
のいずれの場合もありえます．
連立方程式の解とは？
一般に，方程式の解とは方程式に代入して等式が成り立つもののことをいいます．例えば，方程式$x^2-2x-3=0$は左辺を因数分解して
\begin{align*}(x-3)(x+1)=0\end{align*}
となります．実数をかけて０となるには，かけたいずれかの実数が０であることと必要十分ですから，$x=3,-1$は等式$x^2-2x-3=0$を満たし，他の$x$では等式$x^2-2x-3=0$を満たしません．
よって，方程式$x^2-2x-3=0$の解は$x=3,-1$で，他に解はありません．このように，方程式の解を全て見つけることを方程式を解くといいます．
連立１次方程式を行列・ベクトルで表す方法
例えば，連立１次方程式$\begin{cases}x+2y+3z=6\\4x+5y+6z=9\\7x+8y+9z=12\end{cases}$は列ベクトルの等式として
\begin{align*}\bmat{x+2y+3z\\4x+5y+6z\\7x+8y+9z}=\bmat{6\\9\\12}\end{align*}
と表せますね．さらに，この左辺は行列を用いて
\begin{align*}\bmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}\bmat{x\\y\\z}=\bmat{6\\9\\12}\end{align*}
と行列とベクトルの積に書き換えられますね．
このように，連立１次方程式は行列・ベクトルを用いて表すことができます．
$x_1,x_2,\dots,x_n$に関する連立１次方程式
\begin{align*}\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=c_{1}\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=c_{2}\\
\hspace{5em}\vdots\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n=c_{m}\end{cases}\end{align*}
は$A\m{x}=\m{c}$と表せる．ただし，$A$は$m\times n$次行列，$\m{x}\in\R^n$, $\m{c}\in\R^m$で
\begin{align*}A=\bmat{a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\dots&\vdots\\a_{m1}&\dots&a_{mn}},\quad
\m{x}=\bmat{x_1\\\vdots\\x_n},\quad
\m{c}=\bmat{c_{1}\\\vdots\\c_{m}}\end{align*}
である．
係数行列・拡大係数行列
連立１次方程式$\begin{cases}x+2y+3z=6\\4x+5y+6z=9\\7x+8y+9z=12\end{cases}$が
\begin{align*}\bmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}\bmat{x\\y\\z}=\bmat{6\\9\\12}\end{align*}
と表せるように，$\m{x}$の連立１次方程式$A\m{x}=\m{c}$の$A$は係数をまとめた行列になっています．
このことを踏まえて，次のように名前をつけましょう．
$m\times n$次行列$A$と$\m{c}\in\R^m$を考える．$\m{x}$の方程式$A\m{x}=\m{c}$に対して，
- 行列$A$を係数行列（coefficient matrix）
- 行列$[A,\m{c}]$を拡大係数行列（augmented coefficient matrix）
という．
例えば，上の連立１次方程式$\begin{cases}x+2y+3z=6\\4x+5y+6z=9\\7x+8y+9z=12\end{cases}$に対して，
- 係数行列は$\bmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9}$
- 拡大係数行列は$\bmat{1&2&3&6\\4&5&6&9\\7&8&9&12}$
ですね．
連立１次方程式の加減法と行列の基本変形
行列の重要な変形に基本変形というものがあり，基本変形は連立１次方程式の加減法と密接に関わっています．
連立１次方程式の加減法
連立１次方程式を解く方法として加減法がありました．
連立１次方程式について
- ある等式を$k$倍する($k\neq0$)
- ある等式の$k$倍を別の等式に加える
- ある等式と別の等式の順番を入れ替える
という３つの操作を繰り返すことによって解を求める手続きを加減法という．
例えば，方程式$\begin{cases}2x+3y=8\\x+2y=5\end{cases}$は以下のように加減法により解くことができますね．
\begin{align*}\left\{\begin{matrix}2x&+&3y&=&8\\x&+&2y&=&5\end{matrix}\right.
&\iff\left\{\begin{matrix}x&+&2y&=&5\\2x&+&3y&=&8\end{matrix}\right.
\\&\iff\left\{\begin{matrix}x&+&2y&=&5\\&-&y&=&-2\end{matrix}\right.
\\&\iff\left\{\begin{matrix}x&&&=&1\\&-&y&=&-2\end{matrix}\right.
\\&\iff\left\{\begin{matrix}x&&&=&1\\&&y&=&2\end{matrix}\right.\end{align*}
行基本変形
連立１次方程式の加減法では係数だけを見ていれば十分だということに気が付きます．
このため，いまの加減法は以下のように拡大係数行列$\bmat{2&3&8\\1&2&5}$の変形と対応していますね．
\begin{align*}&\left\{\begin{matrix}2x&+&3y&=&8\\x&+&2y&=&5\end{matrix}\right.
&\leftrightarrow&&\bmat{2&3&8\\1&2&5}
\\&\iff\left\{\begin{matrix}x&+&2y&=&5\\2x&+&3y&=&8\end{matrix}\right.
&\leftrightarrow&&\bmat{1&2&5\\2&3&8}
\\&\iff\left\{\begin{matrix}x&+&2y&=&5\\&-&y&=&-2\end{matrix}\right.
&\leftrightarrow&&\bmat{1&2&5\\0&-1&-2}
\\&\iff\left\{\begin{matrix}x&&&=&1\\&-&y&=&-2\end{matrix}\right.
&\leftrightarrow&&\bmat{1&0&1\\0&-1&-2}
\\&\iff\left\{\begin{matrix}x&&&=&1\\&&y&=&2\end{matrix}\right.
&\leftrightarrow&&\bmat{1&0&1\\0&1&2}\end{align*}
この連立１次方程式の加減法に対応する行列の変形を行基本変形といいます．
行列について
- ある行を$k$倍する($k\neq0$)
- ある行の$k$倍を別の行に加える
- ある行と別の行を入れ替える
という３つの変形を併せて行基本変形という．
連立１次方程式の掃き出し法
拡大係数行列の行基本変形によって連立１次方程式を解く方法を掃き出し法といいます．掃き出し法で考える際には，元の連立１次方程式とどのように対応しているかを考えることが大切です．
連立１次方程式$\begin{cases}x+2y+z=3\\3x+4y+5z=3\end{cases}$の拡大係数行列を答えよ．また，掃き出し法により解け．
拡大係数行列は$\bmat{1&2&1&3\\3&4&5&3}$である．この拡大係数行列は行基本変形により
\begin{align*}\bmat{1&2&1&3\\3&4&5&3}
\to&\bmat{1&2&1&3\\0&-2&2&-6}
\\\to&\bmat{1&2&1&3\\0&1&-1&3}
\\\to&\bmat{1&0&3&-3\\0&1&-1&3}\end{align*}
となるから，連立１次方程式は
\begin{align*}\begin{cases}x+2y+z=3\\3x+4y+5z=3\end{cases}
\iff\begin{cases}x+3z=-3\\y-z=3\end{cases}\end{align*}
と変形されることが分かる．よって，解は$(x,y,z)=(-3-3k,3+k,k)$である（$k$は任意定数）．
いまの問題で任意定数が登場したので，任意定数が何なのかを説明しておきます．いまの問題の連立１次方程式を変形してできた
\begin{align*}\begin{cases}x+3z=-3\\y-z=3\end{cases}\end{align*}
から，たとえば
- $z=0$なら$x=-3$, $y=3$
- $z=1$なら$x=-6$, $y=4$
- $z=2$なら$x=-9$, $y=5$
のように，$z$の値を決めれば$x$と$y$の値も決まります．そこで$z=k$とおけば$(x,y,z)=(-3-3k,3+k,k)$は全て解となりますね．この$k$のように「どんな定数でもいいなら文字でおいてしまおう」というのが任意定数の考え方なわけですね．
なお，任意定数の取り方については，のちの連立１次方程式の解の存在性の記事でも詳しく説明します．
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