$\R^n$の２つの部分空間$U$, $V$から，$\R^n$の部分空間である和空間$U+V$が
\begin{align*}U+V=\set{\m{u}+\m{v}\in\R^n}{\m{u}\in U,\m{v}\in V}\end{align*}
と定義されるのでした．つまり，$U$, $V$から列ベクトルを取り出してそれらを足し合わせてできる列ベクトル全部の空間が和空間$U+V$というわけですね．
さて，$U\cap V=\{\m{0}\}$となっているときの和空間$U+V$は次元が求めやすいなど扱いやすい性質を持っており，このとき和空間$U+V$は直和であるといいます．
この記事では
- 部分空間の直和の定義と具体例
- 和空間の次元と直和
を順に解説します．
なお，特に断らない限り以下では実行列・実ベクトルを扱うことにしますが，複素行列など一般の体を成分とする行列・ベクトルに対しても同様です．
この記事の内容は一般の線形空間でも同様に成り立ちますが，簡単のためここでは$\R^n$の部分空間に限って話を進めます．
「線形代数学の基本」の一連の記事
- 行列と列ベクトル
- 行列式
- $\R^n$の部分空間と基底
線形代数学の参考文献
以下は線形代数学に関するオススメの教科書です．
大学教養 線形代数（加藤文元 著）
数学科など理論系の学生向けの線形代数の入門書です．平易な例から丁寧に説明されています．
手を動かしてまなぶ 線形代数（藤岡敦 著）
理論と演習のバランスをとりながら勉強したい人にオススメの入門書です．
部分空間の直和の定義と具体例
部分空間の直和を定義して具体例を考えましょう．
つまり，$U$と$V$の両方に属する列ベクトルが零ベクトル$\m{0}_n$のみであるとき，和空間$U+V$を直和というわけですね．
具体例１（$\R^3$上の$x$軸と$y$軸の和空間）
$\R^3$の部分空間$U$, $V$を
\begin{align*}U=\set{\bmat{x\\0\\0}\in\R^3}{x\in\R},\quad
V=\set{\bmat{0\\y\\0}\in\R^3}{y\in\R}\end{align*}
とする．和空間$U+V$は直和か？
任意に$\bmat{a\\b\\c}\in U\cap V$をとる．共通部分$U\cap V$は$U$, $V$の部分空間（部分集合）なので，
\begin{align*}\bmat{a\\b\\c}\in U,\quad\bmat{a\\b\\c}\in V\end{align*}
が成り立つ．$U$に属する列ベクトルは第２成分と第３成分が０，$V$に属する列ベクトルは第１成分と第３成分が０なので，$a=b=c=0$が成り立つ．
よって，$U\cap V=\{\m{0}_3\}$なので，和空間$U+V$は直和である．
任意に$\bmat{a\\b\\c}\in U\cap V$をとって$a=b=c=0$が証明できたということは，もともと$U\cap V$には零ベクトル$\m{0}_3$しか存在していなかったということですね．
具体例２（$\R^3$上の平面と直線の和空間）
$\R^3$の部分空間$U$, $V$を
\begin{align*}U&=\set{\bmat{x\\y\\z}\in\R^3}{x+2y-z=0},
\\V&=\set{\bmat{x\\y\\z}\in\R^3}{\begin{aligned}&x+y+z=0,\\&x-y=0\end{aligned}}\end{align*}
とする．和空間$U+V$は直和か？
任意に$\bmat{a\\b\\c}\in U\cap V$をとる．共通部分$U\cap V$は$U$, $V$の部分空間（部分集合）なので，
\begin{align*}\bmat{a\\b\\c}\in U,\quad\bmat{a\\b\\c}\in V\end{align*}
が成り立つ．よって，$a+2b-c=0$, $a+b+c=0$, $a-b=0$を満たすので，この連立１次方程式を解いて$a=b=c=0$が成り立つ．
これより$U\cap V=\{\m{0}_3\}$なので，和空間$U+V$は直和である．
具体例３（$\R^3$上の平面と平面の和空間）
$\R^3$の部分空間$U$, $V$を
\begin{align*}U&=\set{\bmat{x\\y\\z}\in\R^3}{x+2y-z=0},
\\V&=\set{\bmat{x\\y\\z}\in\R^3}{x+y+z=0}\end{align*}
とする．和空間$U+V$は直和か？
$U$, $V$は平行でない平面ですね．３次元空間上の平行でない２つの平面は交線を持ちますから，$U\cap V\neq\{\m{0}_3\}$となり$U+V$は直和ではなさそうですね．
任意に$\bmat{a\\b\\c}\in U\cap V$をとる．共通部分$U\cap V$は$U$, $V$の部分空間（部分集合）なので，
\begin{align*}\bmat{a\\b\\c}\in U,\quad\bmat{a\\b\\c}\in V\end{align*}
が成り立つ．よって，$a+2b-c=0$, $a+b+c=0$を満たすから，例えば$a=3$, $b=-2$, $c=-1$ととれる．
これより$\bmat{3\\-2\\-1}\in U\cap V$が取れるから$U\cap V\neq\{\m{0}_3\}$なので，和空間$U+V$は直和でない．
和空間の次元と直和
ここで和空間$U+V$の次元について成り立つ定理と，直和との関係を考えましょう．
和空間の次元
有限集合$A,B$に対して，元の個数について
\begin{align*}n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\end{align*}
が成り立つのでした（有限集合$X$の元の個数を$n(X)$で表す）．この類似として，和空間$U+V$と共通部分$U\cap V$の次元について，次の等式が成り立ちます．
$\R^n$の部分空間$U$, $V$について，等式
\begin{align*}\dim{(U+V)}=\dim{U}+\dim{V}-\dim{(U\cap V)}\end{align*}
が成り立つ．
つまり，部分空間$U$, $V$の次元の和$\dim{U}+\dim{V}$から共通部分の次元$\dim{(U\cap V)}$を引けば，和空間の次元$\dim{(U+V)}$が得られるということですね．
$U\subset V$のときは
\begin{align*}&\dim{(U+V)}=\dim{V},
\\&\dim{U}+\dim{V}-\dim{(U\cap V)}=\dim{U}+\dim{V}-\dim{U}=\dim{V}\end{align*}
だから成り立ち，同様に$V\subset U$のときも成り立つ．よって，あとは$U\subset V$でも$V\subset U$でもない場合に示せばよい．
次元を$\dim{(U\cap V)}=r$, $\dim{U}=s$, $\dim{V}=t$（$r<s,t$）とし，$U\cap V$の基底$\anb{\m{w}_1,\dots,\m{w}_r}$をとる．$U\cap V\subset U,V$なので
- $U$の基底$\anb{\m{w}_1,\dots,\m{w}_r,\m{u}_{r+1},\dots,\m{u}_s}$
- $V$の基底$\anb{\m{w}_1,\dots,\m{w}_r,\m{v}_{r+1},\dots,\m{v}_t}$
が取れる．このとき$\anb{\m{w}_1,\dots,\m{w}_r,\m{u}_{r+1},\dots,\m{u}_s,\m{v}_{r+1},\dots,\m{v}_t}$が$U+V$の基底になることを示せば，$\dim{(U+V)}=s+t-r$となって等式が従う．
$U=\spn{(\m{w}_1,\dots,\m{w}_r,\m{u}_{r+1},\dots,\m{u}_s)}$, $V=\spn{(\m{w}_1,\dots,\m{w}_r,\m{v}_{r+1},\dots,\m{v}_t)}$だから
\begin{align*}U+V=\spn{(\m{w}_1,\dots,\m{w}_r,\m{u}_{r+1},\dots,\m{u}_s,\m{v}_{r+1},\dots,\m{v}_t)}\end{align*}
なので，あとは$\m{w}_1,\dots,\m{w}_r,\m{u}_{r+1},\dots,\m{u}_s,\m{v}_{r+1},\dots,\m{v}_t$の線形独立性を示せばよい．
線形関係
\begin{align*}&c_1\m{w}_1+\dots+c_r\m{w}_r
\\&\quad+d_{r+1}\m{u}_{r+1}+\dots+d_{s}\m{u}_s
\\&\qquad+e_{r+1}\m{v}_{r+1}+\dots+e_{t}\m{v}_t=\m{0}_n\quad\dots(*)\end{align*}
を考える．もとより$e_{r+1}\m{v}_{r+1}+\dots+e_{t}\m{v}_t\in V$であり，線形結合$(*)$で移項して
\begin{align*}&e_{r+1}\m{v}_{r+1}+\dots+e_{t}\m{v}_t
\\&=-(c_1\m{w}_1+\dots+c_r\m{w}_r+d_{r+1}\m{u}_{r+1}+\dots+d_{s}\m{u}_s)\in U\end{align*}
でもあるから$e_{r+1}\m{v}_{r+1}+\dots+e_{t}\m{v}_t\in U\cap V$となる．よって，$\anb{\m{w}_1,\dots,\m{w}_r}$が$U\cap V$の基底であることと併せて
\begin{align*}&c’_1\m{w}_1+\dots+c’_r\m{w}_r=e_{r+1}\m{v}_{r+1}+\dots+e_{t}\m{v}_t
\\\iff&c’_1\m{w}_1+\dots+c’_r\m{w}_r-e_{r+1}\m{v}_{r+1}-\dots-e_{t}\m{v}_t=\m{0}_n\end{align*}
なる$c’_1,\dots,c’_r\in\R$が存在する．
さらに$\anb{\m{w}_1,\dots,\m{w}_r,\m{v}_{r+1},\dots,\m{v}_t}$は$V$の基底だから$\m{w}_1,\dots,\m{w}_r,\m{v}_{r+1},\dots,\m{v}_t$は線形独立なので，$(c’_1=\dots=c’_r=)e_{r+1}=\dots=e_{t}=0$が成り立つ．
線形結合$(*)$に代入すると
\begin{align*}c_1\m{w}_1+\dots+c_r\m{w}_r+d_{r+1}\m{u}_{r+1}+\dots+d_{s}\m{u}_s=\m{0}_n\end{align*}
となり，$\anb{\m{w}_1,\dots,\m{w}_r,\m{u}_{r+1},\dots,\m{u}_s}$が$U$の基底であることから$\m{w}_1,\dots,\m{w}_r,\m{u}_{r+1},\dots,\m{u}_s$は線形独立なので，$c_1=\dots=c_r=d_{r+1}=\dots=d_{s}=0$が成り立つ．
以上より，線形結合$(*)$の係数は全て０であることが分かったので，$\m{w}_1,\dots,\m{w}_r,\m{u}_{r+1},\dots,\m{u}_s,\m{v}_{r+1},\dots,\m{v}_t$が線形独立であることが分かった．
直和であることの必要十分条件
最後に$\R^n$の部分空間$U$, $V$の和空間$U+V$が直和であるための必要十分条件を紹介しておきます．
$\R^n$の部分空間$U$, $V$について，次は互いに同値である．
- 和空間$U+V$は直和である．
- $\dim{(U+V)}=\dim{U}+\dim{V}$が成り立つ．
- 和空間$U+V$の任意の元は$\m{u}+\m{v}$（$\m{u}\in U$, $\m{v}\in V$）の形に１通りに表せる．
和空間$U+V$が直和であることが分かれば，この定理の(1)⇒(2)より，$U$の次元と$V$の次元を足すだけで和空間$U+V$の次元が求まりますね．
(1)⇔(2)の証明
先ほど証明した和空間と共通部分の次元に関する等式
\begin{align*}\dim{(U+V)}=\dim{U}+\dim{V}-\dim{(U\cap V)}\end{align*}
が成り立つから，(1)の定義が$U\cap V=\{\m{0}_n\}$であることより(1)⇔(2)を得る．
(1)⇒(3)の証明
和空間$U+V$のある元が$\m{u}+\m{v}=\m{u}’+\m{v}’$（$\m{u},\m{u}’\in U$, $\m{v},\m{v}’\in V$）と２通りに表せたとすると，
\begin{align*}U\ni \m{u}-\m{u}’=\m{v}’-\m{v}\in V\end{align*}
が成り立つから，$\m{u}-\m{u}’$, $\m{v}’-\m{v}$はともに$U\cap V$に属する．和空間$U+V$が直和なら直和の定義より$U\cap V=\{\m{0}_n\}$なので，$\m{u}-\m{u}’=\m{v}’-\m{v}=\m{0}_n$となって$\m{u}=\m{u}’$, $\m{v}=\m{v}’$を得る．
よって，和空間$U+V$の任意の元は$\m{u}+\m{v}$（$\m{u}\in U$, $\m{v}\in V$）の形に１通りに表せる．
(3)⇒(1)の証明
対偶を示す．$U\cap V\neq\{\m{0}_n\}$と仮定すると，$\m{0}$でない$\m{a}\in U\cap V$が存在する．一般に部分空間は零ベクトルをもつから$\m{0}_n\in U$, $\m{0}_n\in V$が成り立つことに注意すると，$\m{a}$を
- $\m{a}=\m{a}+\m{0}_n$（$\m{a}\in U$, $\m{0}_n\in V$）
- $\m{a}=\m{0}_n+\m{a}$（$\m{0}_n\in U$, $\m{a}\in V$）
と２通りに表すことができ(3)は成り立たない．
(2)⇒(3)と(3)⇒(2)は直接は示していませんが，例えば(2)⇒(3)は(1)⇔(2)と(1)⇒(3)より成り立つことが分かります．同様に(3)⇒(2)も(1)⇔(2)と(3)⇒(1)より成り立ちます．
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