固有値・固有ベクトルの求め方｜固有方程式から２ステップで！

正方行列$A$の対角化は，$A$の固有値・固有ベクトルに密接に関わっているのでした．

そのため，正方行列を対角化するためには，固有値・固有ベクトルが求められるようになっておくことは大切です．

この記事では

固有方程式と固有値の求め方
固有ベクトルの求め方

を説明します．

なお，この記事の行列・ベクトルは特に断らない限り複素成分とします．

「線形代数学の基本」の一連の記事

行列と列ベクトル

行列式

$\R^n$の部分空間と基底

正方行列の対角化

線形代数学の参考文献
1. 大学教養線形代数（加藤文元著）
2. 手を動かしてまなぶ線形代数（藤岡敦著）
固有方程式と固有値の求め方
固有ベクトルの求め方

線形代数学の参考文献

以下は線形代数学に関するオススメの教科書です．

大学教養線形代数（加藤文元著）

数学科など理論系の学生向けの線形代数の入門書です．平易な例から丁寧に説明されています．

手を動かしてまなぶ線形代数（藤岡敦著）

理論と演習のバランスをとりながら勉強したい人にオススメの入門書です．

固有方程式と固有値の求め方

正方行列の固有値は固有方程式を解くことによって求めることができます．

固有方程式の定義

固有値を求めるために，まずは固有方程式を準備します．

$n$次正方行列$A$に対して，

$x$の多項式$|xI-A|$を$A$の固有多項式（characteristic polynomial）
$x$の方程式$|xI-A|$を$A$の固有方程式（characteristic equation）

という．ただし，$I$は$n$次正方行列であり，$|xI-A|$は正方行列$xI-A$の行列式である．

最初は$|xI-A|$が$x$の多項式には見えないかもしれませんが，具体例を考えると$n$次多項式であることが見えてきます．

具体例１（２次正方行列）

正方行列$A=\bmat{1&2\\2&1}$の固有多項式と固有方程式を求めよ．また，固有方程式を解け．

$A=\bmat{1&2\\2&1}$の固有多項式は

$\begin{align*}|xI-A| =&\abs{x\bmat{1&0\\0&1}-\bmat{1&2\\2&1}} =\vmat{x-1&-2\\-2&x-1} \\=&(x-1)\cdot(x-1)-(-2)\cdot(-2) \\=&x^2-2x-3 =(x-3)(x+1)\end{align*}$

である．よって，固有方程式は$(x-3)(x+1)=0$であり，これを解くと$x=-1,3$である．

実際に行列式$|xI-A|$を計算することで$x$の２次式となっていることが見てとれますね．

具体例２（３次正方行列）

正方行列$B=\bmat{1&1&0\\2&0&0\\0&0&-1}$の固有多項式と固有方程式を求めよ．また，固有方程式を解け．

$B=\bmat{1&1&0\\2&0&0\\0&0&-1}$の固有多項式は

$\begin{align*}|xI-B| =&\abs{x\bmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}-\bmat{1&1&0\\2&0&0\\0&0&-1}} =\vmat{x-1&-1&0\\-2&x&0\\0&0&x+1} \\=&(x+1)\vmat{x-1&-1\\-2&x} =(x+1)\{(x-1)\cdot x-(-1)\cdot(-2)\} \\=&(x+1)(x^2-x-2) =(x+1)^2(x-2)\end{align*}$