行列Aの像Im Aの定義・考え方｜求め方を例題から理解する

$\R^n$の部分空間の中でも行列の像と呼ばれる部分空間はよく用いられます．

例えば，行列$A$を$A=\bmat{1&2\\2&1\\1&0}$とするとき，

$\begin{align*}A\bmat{1\\0}=\bmat{1\\2\\1},\quad A\bmat{0\\1}=\bmat{2\\1\\0}\end{align*}$

のように，２次列ベクトルに$A$を左からかけると３次列ベクトルができあがりますね．

このように，行列$A$を左からかけてできあがる列ベクトルたちを全て集めてできる集合を$A$の像といいます．

この記事では

行列の像の定義
行列の像の具体例
行列の像が部分空間であることの証明

を順に説明します．

なお，特に断らない限り以下では実行列・実ベクトルを扱うことにしますが，複素行列など一般の体を成分とする行列・ベクトルに対しても同様です．

この記事の内容は一般の線形写像でも同様に成り立ちますが，簡単のためここでは$\R^n$の部分空間に限って話を進めます．

「線形代数学の基本」の一連の記事

行列と列ベクトル

行列式

$\R^n$の部分空間と基底

正方行列の対角化

線形代数学の参考文献
1. 大学教養線形代数（加藤文元著）
2. 手を動かしてまなぶ線形代数（藤岡敦著）
行列の像$\Ima{A}$の定義と具体例
部分空間としての行列の像
1. 行列の像が生成される部分空間となることの証明
2. 行列の像の次元

線形代数学の参考文献

以下は線形代数学に関するオススメの教科書です．

大学教養線形代数（加藤文元著）

数学科など理論系の学生向けの線形代数の入門書です．平易な例から丁寧に説明されています．

手を動かしてまなぶ線形代数（藤岡敦著）

理論と演習のバランスをとりながら勉強したい人にオススメの入門書です．

行列の像$\Ima{A}$の定義と具体例

行列の像$\Ima{A}$の定義を見てから具体例を考えましょう．

定義

$m\times n$行列$A$を考える．$\R^n$の列ベクトルに左から$A$をかけてできる列ベクトル全部のからなる$\R^m$の部分集合を$A$の像（image）といい，$\Ima{A}$と表す：

$\begin{align*}\Ima{A}=\set{A\m{x}\in\R^m}{\m{x}\in\R^n}.\end{align*}$

物理の実験などで凸レンズを通った光で「凸レンズの像」ができあがるように，列ベクトルに行列を左からかけてできあがる集合を「行列の像」というわけですね．

冒頭の行列$A=\bmat{1&2\\2&1\\1&0}$に対しては，例えば

$\begin{align*}A\bmat{1\\0}=\bmat{1\\2\\1},\quad A\bmat{0\\1}=\bmat{2\\1\\0}\end{align*}$

なので$\bmat{1\\2\\1},\bmat{2\\1\\0}\in\Ima{A}$ですね．

像$\Ima{A}$は「行列$A$をかけた後の空間」の話であるという点をしっかり意識しましょう．

のちに示すように，行列の像は必ず生成される部分空間となります．

具体例１（３×２行列の像）

冒頭で考えた行列$A$の像を考えましょう．

$A=\bmat{1&2\\2&1\\1&0}$とする．$\Ima{A}$を求めよ．

繰り返しになりますが，行列$A$は２次列ベクトルに左からかけることができ，このとき３次列ベクトルができあがりますね：

$\begin{align*}\bmat{1&2\\2&1\\1&0}\bmat{{*}\\{*}}=\bmat{{*}\\{*}\\{*}}.\end{align*}$

このため，$\Ima{A}$は$\R^3$の部分集合となります．

$\m{x}=\bmat{x\\y}\in\R^2$に対して，

$\begin{align*}A\m{x}=\bmat{1&2\\2&1\\1&0}\bmat{x\\y}=\bmat{x+2y\\2x+y\\x}=x\bmat{1\\2\\1}+y\bmat{2\\1\\0}\end{align*}$

なので，像の定義より

$\begin{align*}\Ima{A}&=\set{A\m{x}}{\m{x}\in\R^2} \\&=\set{x\bmat{1\\2\\1}+y\bmat{2\\1\\0}}{x,y\in\R} \\&=\spn{\bra{\bmat{1\\2\\1},\bmat{2\\1\\0}}}\end{align*}$

となる．すなわち，$\Ima{A}$は$\bmat{1\\2\\1},\bmat{2\\1\\0}$により生成される部分空間である．

ここで，$A$の像$\Ima{A}$を生成する$\bmat{1\\2\\1},\bmat{2\\1\\0}$は，行列$A=\bmat{1&2\\2&1\\1&0}$をなす列ベクトルとなっていることに注目しておきましょう．

具体例２（３次正方行列の像）

$A=\bmat{1&2&3\\2&1&3\\1&0&1}$とする．$\Ima{A}$を求めよ．

この具体例の行列$A$は３次列ベクトルに左からかけることができ，３次列ベクトルになりますから，今回も$\Ima{A}$は$\R^3$の部分集合ですね：

$\begin{align*}\bmat{1&2&3\\2&1&3\\1&0&1}\bmat{{*}\\{*}\\{*}}=\bmat{{*}\\{*}\\{*}}.\end{align*}$

やることは具体例１と同じです．

任意の$\m{x}=\bmat{x\\y\\z}\in\R^3$に対して，

$\begin{align*}A\m{x}=\bmat{1&2&3\\2&1&3\\1&0&1}\bmat{x\\y\\z}=x\bmat{1\\2\\1}+y\bmat{2\\1\\0}+z\bmat{1\\0\\1}\end{align*}$

なので，像の定義より

$\begin{align*}\Ima{A}&=\set{A\m{x}\in\R^3}{\m{x}\in\R^2} \\&=\set{x\bmat{1\\2\\1}+y\bmat{2\\1\\0}+z\bmat{1\\0\\1}}{x,y\in\R} \\&=\spn{\bra{\bmat{1\\2\\1},\bmat{2\\1\\0},\bmat{1\\0\\1}}}\end{align*}$

となる．すなわち，$\Ima{A}$は$\bmat{1\\2\\1},\bmat{2\\1\\0},\bmat{1\\0\\1}$により生成される部分空間である．

この具体例でも$A$の像$\Ima{A}$を生成する$\bmat{1\\2\\1},\bmat{2\\1\\0},\bmat{1\\0\\1}$は，行列$A=\bmat{1&2&3\\2&1&3\\1&0&1}$をなす列ベクトルとなっていますね．

部分空間としての行列の像

いまの例からみてとれるように，行列$A$の像$\Ima{A}$は$A$をなす列ベクトルたちにより生成される部分空間となります．

行列の像が生成される部分空間となることの証明

$m\times n$行列$A=[\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_n]$に対して

$\begin{align*}\Ima{A}=\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_n)}\end{align*}$

となる．よって，$\Ima{A}$は$\R^m$の部分空間である．

任意の$\m{x}=\bmat{x_1\\x_2\\\vdots\\x_n}\in\R^n$に対して，

$\begin{align*}A\m{x}=&[\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_n]\bmat{x_1\\x_2\\\vdots\\x_n} \\=&x_1\m{a}_1+x_2\m{a}_2+\dots+x_n\m{a}_n\end{align*}$

なので，像の定義より

$\begin{align*}\Ima{A}=&\set{A\m{x}\in\R^m}{\m{x}\in\R^n} \\=&\set{x_1\m{a}_1+x_2\m{a}_2+\dots+x_n\m{a}_n}{x_1,x_2,\dots,x_n\in\R} \\=&\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_n)}\end{align*}$