行列式の基本性質を総まとめ！計算の具体例も紹介します

任意の$\sigma\in S_n$に対して，$\sigma$は全単射だから$\sigma^{-1}\in S_n$である．$S_n$は有限集合なので，

\begin{align*}S_n\to S_n;\sigma\longmapsto\sigma^{-1}\end{align*}

が単射であることを示せばよい．$\sigma,\tau\in S_n$が$\sigma^{-1}=\tau^{-1}$を満たせば，

\begin{align*}\sigma=(\sigma^{-1})^{-1}=(\tau^{-1})^{-1}=\tau\end{align*}

が成り立つ．よって，単射なので$S_n=\set{\sigma^{-1}}{\sigma\in S_n}$が従う．

任意の$\tau\in S_n$に対して，$\tau$は全単射だから$\sigma\tau$も全単射なので，$\sigma\tau\in S_n$である．$S_n$は有限集合なので，

\begin{align*}S_n\to S_n;\tau\longmapsto\sigma\tau\end{align*}

が単射であることを示せばよい．$\tau,\iota\in S_n$が$\sigma\tau=\sigma\iota$を満たせば，

\begin{align*}\tau=(\sigma^{-1}\sigma)\tau=\sigma^{-1}(\sigma\tau)=\sigma^{-1}(\sigma\iota)=(\sigma^{-1}\sigma)\iota=\iota\end{align*}

が成り立つ．よって，単射なので$S_n=\set{\sigma\tau}{\tau\in S_n}$が従う．同様に$S_n=\set{\tau\sigma}{\tau\in S_n}$も従う．

$\sigma$, $\tau$がそれぞれ$k$個の互換の積，$\ell$個の互換の積で表されるとすると，$\sigma\tau$, $\tau\sigma$はいずれも$k+\ell$個の互換の積で表せるから，

\begin{align*}&\sgn{(\sigma)}=(-1)^k,\quad
\sgn{(\tau)}=(-1)^\ell,
\\&\sgn{(\sigma\tau)}=\sgn{(\tau\sigma)}=(-1)^{k+\ell}\end{align*}

が成り立つ．よって，

\begin{align*}\sgn{(\sigma)}\sgn{(\tau)}=\sgn{(\sigma\tau)}=\sgn{(\tau\sigma)}\end{align*}

が成り立つ．

また，$\tau=\sigma^{-1}$とすると$\sigma\tau$は単位置換なので$\sgn{\sigma}\sgn{\sigma^{-1}}=1$となるから，$(\sgn{\sigma},\sgn{\sigma^{-1}})=(\pm1,\pm1)$（複号同順）である．

よって，$\sgn{\sigma}=\sgn{\sigma^{-1}}$が従う．

$A=(a_{ij})$を$n$次正方行列とする．任意の$\sigma\in S_n$に対して$\{1,\dots,n\}=\{\sigma(1),\dots,\sigma(n)\}$だから

\begin{align*}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}=a_{\sigma^{-1}(1)1}a_{\sigma^{-1}(2)2}\dots a_{\sigma^{-1}(n)n}\end{align*}

なので

\begin{align*}|A|&=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn{(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}
\\&=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn{(\sigma)}a_{\sigma^{-1}(1)1}a_{\sigma^{-1}(2)2}\dots a_{\sigma^{-1}(n)n}
\\&=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn{(\sigma)}a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\dots a_{\sigma(n)n}=|A^{T}|\end{align*}

が従う．なお，３行目最初の等号については，上の置換の［補題１］より$S_n=\set{\sigma^{-1}}{\sigma\in S_n}$だから和として等しい．

$A=(a_{ij})$とする．置換の性質より

\begin{align*}&\sgn{(\sigma)}|\m{a}_{\sigma(1)},\dots,\m{a}_{\sigma(n)}|
\\&=\sgn{(\sigma)}\sum_{\tau\in S_n}\sgn(\tau)a_{1\tau\sigma(1)}\dots a_{n\tau\sigma(n)}
\\&=\sum_{\tau\sigma\in S_n}\sgn{(\tau\sigma)}a_{1\tau\sigma(1)}\dots a_{n\tau\sigma(n)}=|A|\end{align*}

が従う．なお，３行目最初の等号については，上の置換の［補題２］より$S_n=\set{\tau\sigma}{\tau\in S_n}$だから和として等しい．

$n$次正方行列$A=[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$について，$i,j\in\{1,\dots,n\}$（$i<j$）が$\m{a}_i=\m{a}_j$を満たすとする．互換$\sigma:=(i,j)\in S_n$について，行列式の交代性から

\begin{align*}|A|&=\sgn(\sigma)|\m{a}_{\sigma(1)},\dots,\m{a}_{\sigma(i)},\dots,\m{a}_{\sigma(j)},\dots,\m{a}_{\sigma(n)}|
\\&=-|\m{a}_1,\dots,\m{a}_j,\dots,\m{a}_i,\dots,\m{a}_n|
\\&=-|\m{a}_1,\dots,\m{a}_i,\dots,\m{a}_j,\dots,\m{a}_n|=-|A|\end{align*}

だから，$|A|=0$が従う．

任意の$k=1,\dots,i-1,i+1,\dots,n$に対して$\m{a}_k=\bmat{a_{1k}\\\vdots\\a_{nk}}$とし，$\m{b}_i=\bmat{b_{1i}\\\vdots\\b_{ni}}$, $\m{c}_i=\bmat{c_{1i}\\\vdots\\c_{ni}}$とすると，行列式の定義より

\begin{align*}&|\m{a}_1,\dots,p\m{b}_i+q\m{c}_i,\dots,\m{a}_n|
\\&=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots(pb_{i\sigma(i)}+qc_{i\sigma(i)})\dots a_{n\sigma(n)}
\\&=p\sum_{\sigma\in S_n}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots b_{i\sigma(i)}\dots a_{n\sigma(n)}
\\&\quad+q\sum_{\sigma\in S_n}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots c_{i\sigma(i)}\dots a_{n\sigma(n)}
\\&=p|\m{a}_1,\dots,\m{b}_i,\dots,\m{a}_n|+q|\m{a}_1,\dots,\m{c}_i,\dots,\m{a}_n|\end{align*}

が従う．

$AA^{-1}=I$だから$|A||A^{-1}|=|AA^{-1}|=|I|=1$となって，$|A^{-1}|=|A|^{-1}$が成り立つ．

仮定より$\sigma(1)\neq1$なら$a_{1\sigma(1)}=0$だから$a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}=0$なので

\begin{align*}|A|&=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}
\\&=a_{11}\sum_{\substack{\sigma\in S_n\\\sigma(1)=1}} \sgn(\sigma)a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}\end{align*}

である．$\set{\sigma\in S_n}{\sigma(1)=1}$は$\{2,\dots,n\}$の置換全体の集合なので，$S_{n-1}$と同一視できるから

\begin{align*}a_{11}\sum_{\substack{\sigma\in S_n\\\sigma(1)=1}}\sgn(\sigma)a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}
=a_{11}\vmat{a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n2}&\dots&a_{nn}}\end{align*}

となる．

(1)は行列式の交代性より成り立ち，(2)は行列式の線形性より成り立つ．以下，(3)を示す．

$c\in\R$, $k,\ell\in\{1,2,\dots,n\}$（$k\neq\ell$）に対して，$A=[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$の第$k$列の$c$倍を第$\ell$列に加えた行列の行列式は，行列式の線形性と交代性の系より

\begin{align*}&|\m{a}_1,\dots,\m{a}_{\ell}+c\m{a}_k,\dots,\m{a}_n|
\\&=|\m{a}_1,\dots,\m{a}_{\ell},\dots,\m{a}_n|+c|\m{a}_1,\dots,\m{a}_k,\dots,\m{a}_k,\dots,\m{a}_n|
\\&=|\m{a}_1,\dots,\m{a}_n|+c\cdot 0=|A|\end{align*}

となる．