行列式の基本性質を総まとめ！計算の具体例も紹介します

前々回の記事で置換の定義・基本事項を説明し，前回の記事で行列式を定義しました．

以前の記事で示唆していたように，正方行列$A$に対して

$A$が正則行列であること
行列式$|A|$が$0$でないこと

が同値となる（証明は次の記事）ので，行列式を計算できることは大切です．

そこで，この記事では

準備（置換の集合）
行列式と基本性質
行列式の計算の具体例

を順に説明します．

なお，この記事では特に断らない限り実行列・実ベクトルを扱うことにしますが，複素行列など一般の体を成分とする行列・ベクトルに対しても同様です．

この記事では$n$を２以上の整数とし，$\{1,\dots,n\}$の置換全部の集合を$S_n$と表します．

「線形代数学の基本」の一連の記事

行列と列ベクトル

行列式

$\R^n$の部分空間と基底

正方行列の対角化

線形代数学の参考文献
1. 大学教養線形代数（加藤文元著）
2. 手を動かしてまなぶ線形代数（藤岡敦著）
準備
1. 補題１（逆置換の集合）
2. 補題２（置換の積の集合）
行列式と基本性質
行列式の計算の具体例

線形代数学の参考文献

以下は線形代数学に関するオススメの教科書です．

大学教養線形代数（加藤文元著）

数学科など理論系の学生向けの線形代数の入門書です．平易な例から丁寧に説明されています．

手を動かしてまなぶ線形代数（藤岡敦著）

理論と演習のバランスをとりながら勉強したい人にオススメの入門書です．

準備

まずは行列式の性質を示す際に必要となる２つの補題を用意しておきます．

補題１（逆置換の集合）

１つ目は「置換$\sigma$を$S_n$全体で漏れなく重複なく動かすとき，逆置換$\sigma^{-1}$も$S_n$全体を漏れなく重複なく動く」という補題です．

［補題１］$S_{n}=\set{\sigma^{-1}}{\sigma\in S_{n}}$が成り立つ．

任意の$\sigma\in S_{n}$に対して，$\sigma$は全単射だから$\sigma^{-1}\in S_n$である．

よって，$S_n$が有限集合であることから，$S_n\to S_n;\sigma\longmapsto\sigma^{-1}$が単射であることを示せばよい．

$\sigma_{1},\sigma_{2}\in S_{n}$が$\sigma_{1}^{-1}=\sigma_{2}^{-1}$を満たせば，

$\begin{align*}\sigma_{1}=(\sigma_{1}^{-1})^{-1}=(\sigma_{2}^{-1})^{-1}=\sigma_{2}\end{align*}$

が成り立つ．よって，単射なので$S_{n}=\set{\sigma^{-1}}{\sigma\in S_{n}}$が従う．

補題２（置換の積の集合）

２つ目は「置換$\sigma\in S_n$を固定し，置換$\tau$を$S_n$全体で漏れなく重複なく動かすとき，置換の積$\sigma\tau$, $\tau\sigma$も$S_n$全体を漏れなく重複なく動く」という補題です．

［補題２］任意の$\sigma\in S_{n}$に対して，$S_{n}=\set{\sigma\tau}{\tau\in S_{n}}=\set{\tau\sigma}{\tau\in S_{n}}$が成り立つ．

任意の$\tau\in S_{n}$に対して，$\tau$は全単射だから$\sigma\tau$も全単射なので，$\sigma\tau\in S_n$である．

よって，$S_n$が有限集合であることから，$S_n\to S_n;\tau\longmapsto\sigma\tau$が単射であることを示せばよい．

$\tau_{1},\tau_{2}\in S_{n}$が$\sigma\tau_{1}=\sigma\tau_{2}$を満たせば，

$\begin{align*}\tau_{1}=(\sigma^{-1}\sigma)\tau_{1}=\sigma^{-1}(\sigma\tau_{1})=\sigma^{-1}(\sigma\tau_{2})=(\sigma^{-1}\sigma)\tau_{2}=\tau_{2}\end{align*}$

が成り立つ．よって，単射なので$S_{n}=\set{\sigma\tau}{\tau\in S_{n}}$が従う．

同様に$S_{n}=\set{\tau\sigma}{\tau\in S_{n}}$も従う．

行列式と基本性質

行列式の基本性質として，転置行列の行列式・行列式の交代性・行列式の線形性・積の行列式を説明します．

転置行列の行列式

行列式は転置行列にしても変わりません．

正方行列$A$に対して，$|A|=|A^{T}|$が成り立つ．

$A=(a_{ij})$を$n$次正方行列とする．任意の$\sigma\in S_{n}$に対して$\{1,\dots,n\}=\{\sigma(1),\dots,\sigma(n)\}$だから

$\begin{align*}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}=a_{\sigma^{-1}(1)1}a_{\sigma^{-1}(2)2}\dots a_{\sigma^{-1}(n)n}\end{align*}$

なので

$\begin{align*}|A|&=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn{(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)} \\&=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn{(\sigma)}a_{\sigma^{-1}(1)1}a_{\sigma^{-1}(2)2}\dots a_{\sigma^{-1}(n)n} \\&=\sum_{\sigma\tau\in S_n}\sgn{(\sigma)}a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\dots a_{\sigma(n)n}=|A^{T}|\end{align*}$

が従う．

なお，３行目最初の等号については，上の［補題１］より$S_{n}=\{\sigma\tau|\sigma\in S_{n}\}$だから和として等しい．

この命題から行列式について行で成り立つ性質は列でも成り立ち，逆に行列式について列で成り立つ性質は行でも成り立つことになりますね．

行列式の交代性

次の命題の性質を行列式の交代性（反対称性, antisymmetry）といいます．

$n$次正方行列$A=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]$と$\sigma\in S_{n}$に対して，以下が成り立つ．

$\begin{align*}|A|=\sgn{(\sigma)}|\m{a}_{\sigma(1)},\dots,\m{a}_{\sigma(n)}|\end{align*}$

$A=(a_{ij})$とする．置換の性質より

$\begin{align*}&\sgn{(\sigma)}|\m{a}_{\sigma(1)},\dots,\m{a}_{\sigma(n)}| \\&=\sgn{(\sigma)}\sum_{\tau\in S_{n}}\sgn(\tau)a_{1,\tau\sigma(1)}\dots a_{n,\tau\sigma(n)} \\&=\sum_{\tau\in S_{n}}\sgn{(\tau\sigma)}a_{1,\tau\sigma(1)}\dots a_{n,\tau\sigma(n)}=|A|\end{align*}$

が従う．なお，２行目最初の等号については，上の［補題２］より$S_{n}=\{\sigma^{-1}|\sigma\in S_{n}\}$だから和として等しい．

この命題から，次の系が容易に得られます．

等しい２つの列をもつ正方行列の行列式は０である．

$A=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]\in\Mat_{n}(\R)$について，$i,j\in\{1,\dots,n\}$ ($i<j$)が$\m{a}_{i}=\m{a}_{j}$をみたすとする．

互換$\sigma:=(i,j)\in S_{n}$について，行列式の交代性から

$\begin{align*}|A|&=\sgn(\sigma)|\m{a}_{\sigma(1)},\dots,\m{a}_{\sigma(i)},\dots,\m{a}_{\sigma(j)},\dots,\m{a}_{\sigma(n)}| \\&=-|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{j},\dots,\m{a}_{i},\dots,\m{a}_{n}| \\&=-|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i},\dots,\m{a}_{j},\dots,\m{a}_{n}|=-|A|\end{align*}$

だから，$|A|=0$が従う．

行列式の線形性

次の命題の性質を行列式の（多重）線形性（linearity）といいます．

$\alpha,\beta\in\R$とする．$n$次正方行列の行列式について，以下が成り立つ．

$\begin{align*}&|\m{a}_{1},\dots,\alpha\m{a}_{i_{1}}+\beta\m{a}_{i_{2}},\dots,\m{a}_{n}| \\=&\alpha|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i_{1}},\dots,\m{a}_{n}|+\beta|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i_{2}},\dots,\m{a}_{n}|\end{align*}$

任意の$k=1,\dots,i_{1},i_{2},\dots,n$に対して，$\m{a}_{k}:=[a_{k1},\dots,a_{kn}]^{T}$とすると

$\begin{align*}&|\m{a}_{1},\dots,\alpha\m{a}_{i_{1}}+\beta\m{a}_{i_{2}},\dots,\m{a}_{n}| \\&=\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots(\alpha a_{i_{1}\sigma(i)}+\beta a_{i_{2}\sigma(i)})\dots a_{n\sigma(n)} \\&=\alpha\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots a_{i_{1}\sigma(i)}\dots a_{n\sigma(n)} \\&\quad+\beta\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots a_{i_{2}\sigma(i)}\dots a_{n\sigma(n)} \\&=\alpha|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i_{1}},\dots,\m{a}_{n}|+\beta|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{i_{2}},\dots,\m{a}_{n}| \end{align*}$

が従う．

積の行列式

任意の$n$次正方行列$A,B$に対し，$|AB|=|A||B|$が成り立つ．

$A=(a_{ij})=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]$, $B=(b_{ij})=[\m{b}_{1},\dots,\m{b}_{n}]$とすると，行列式の線形性より

$\begin{align*}|AB|&=\abs{[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]\bmat{b_{11}&\dots&b_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&\dots&b_{nn}}} \\&=\abs{\sum_{k_{1}=1}^{n}b_{k_{1}1}\m{a}_{k_{1}},\dots,\sum_{k_{n}=1}^{n}b_{k_{n}n}\m{a}_{k_{n}}} \\&=\sum_{k_{1}=1}^{n}\dots\sum_{k_{n}=1}^{n}b_{k_{1}1}\dots b_{k_{n}n}|\m{a}_{k_{1}},\dots,\m{a}_{k_{n}}|\end{align*}$

である．もし$k_{1},\dots,k_{n}$の中に同じものがあれば，交代性の系から$|\m{a}_{k_{1}},\dots,\m{a}_{k_{n}}|=0$だから

$\begin{align*}|AB|&=\sum_{\substack{\{k_{1},\dots,k_n\}\\=\{1,\dots,n\}}}b_{k_{1}1}\dots b_{k_{n}n}|\m{a}_{k_{1}},\dots,\m{a}_{k_{n}}| \\&=\sum_{\sigma\in S_{n}}b_{\sigma(1)1}\dots b_{\sigma(n)n}|\m{a}_{\sigma(1)},\dots,\m{a}_{\sigma(n)}| \\&=\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn{(\sigma)}b_{\sigma(1)1}\dots b_{\sigma(n)n}\cdot\sgn{(\sigma)}|\m{a}_{\sigma(1)},\dots,\m{a}_{\sigma(n)}| \\&=|A|\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn{(\sigma)}b_{\sigma(1)1}\dots b_{\sigma(n)n}=|A||B^{T}|=|A||B|\end{align*}$

となる．

この命題から逆行列の行列式について，以下が得られます．

$n$次正則行列$A$に対して，$|A^{-1}|=|A|^{-1}$が成り立つ．

$AA^{-1}=I$だから$|A||A^{-1}|=|AA^{-1}|=|I|=1$となって，$|A^{-1}|=|A|^{-1}$が成り立つ．

行列式の計算の具体例

以下の命題は行列式を具体的に求める際に非常に有用な性質です．

$a_{1j}=0$（$j=2,\dots,n$）をみたす$n$次正方行列$A=(a_{ij})$について，以下が成り立つ．

$\begin{align*}|A|=\vmat{a_{11}&0&\dots&0\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}} =a_{11}\vmat{a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n2}&\dots&a_{nn}}\end{align*}$

仮定より$\sigma(1)\neq1$なら$a_{1\sigma(1)}=0$だから$a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}=0$なので

$\begin{align*}|A|&=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)} \\&=a_{11}\sum_{\substack{\sigma\in S_n\\\sigma(1)=1}} \sgn(\sigma)a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}\end{align*}$

である．$\set{\sigma\in S_n}{\sigma(1)=1}$は$\{2,\dots,n\}$の置換全体の集合なので，$S_{n-1}$と同一視できるから

$\begin{align*}a_{11}\sum_{\substack{\sigma\in S_n\\\sigma(1)=1}}\sgn(\sigma)a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)} =a_{11}\vmat{a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n2}&\dots&a_{nn}}\end{align*}$

となる．

この命題を用いるには$a_{1j}=0$ ($j=2,\dots,n$)になっていることが必要なので，行列式をこの形に変形する必要がありますね．

そこで行列の基本変形に関する次の命題が非常に便利です．

行列式について，次が成り立つ．

２つの列を入れ替えると，行列式の値は$-1$倍になる．
任意の列を$c$倍すると，行列式の値は$c$倍になる．
任意の列に他の列の何倍かを加えても行列式の値は変わらない．

(1)は行列式の交代性より成り立ち，(2)は行列式の線形性より成り立つ．

(3) $c\in\R$, $k,\ell\in\{1,2,\dots,n\}$ ($k\neq\ell$)に対して，$A=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]$の第$k$列の$c$倍を第$\ell$列に加えた行列の行列式は，行列式の線形性と交代性の系より

$\begin{align*}&|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{\ell}+c\m{a}_{k},\dots,\m{a}_{n}| \\&=|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{\ell},\dots,\m{a}_{n}|+c|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{k},\dots,\m{a}_{k},\dots,\m{a}_{n}| \\&=|\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}|+c\cdot 0=|A|\end{align*}$

となる．

例えば，行列式$\vmat{-11&-5&-6\\-11&-1&-14\\11&9&17}$を計算したいときは，いまみた２つの命題を使えば

$\begin{align*}\vmat{-11&-5&-6\\-11&-1&-14\\11&9&17}&=11\vmat{-1&-5&-6\\-1&-1&-14\\1&9&17} \\&=11\vmat{1&5&6\\1&1&14\\1&9&17}=11\vmat{0&4&-8\\1&1&14\\0&8&3} \\&=-11\vmat{1&1&14\\0&4&-8\\0&8&3}=-11\cdot1\vmat{4&-8\\8&3} \\&=-11\cdot\{4\cdot3-(-8)\cdot8\}=-836\end{align*}$