行列の正則条件を簡単に！AB=IまたはBA=Iであれば正則

$n$次正方行列$A$に対して$AB=BA=I$を満たす正方行列$B$が存在するとき

$A$を正則行列
$B$を$A$の逆行列

といい，$B=A^{-1}$と表すのでした（$I$は単位行列）．

このように正則行列であることの定義式は$AB=BA=I$ですが，実は$AB=I$か$BA=I$の少なくとも一方が成り立てば正則行列となることが証明できます．

このことを証明するためには基本変形が行列の掛け算で表せることを理解しておきたいところです．

この記事では

行基本変形の確認
基本変形を引き起こす行列
行列の簡約化と正方行列の正則性の条件

を順に解説します．

なお，この記事では特に断らない限り実行列・実ベクトルを扱うことにしますが，複素行列など一般の体を成分とする行列・ベクトルに対しても同様です．

「線形代数学の基本」の一連の記事

行列と列ベクトル

行列式

$\R^n$の部分空間と基底

正方行列の対角化

線形代数学の参考文献
1. 大学教養線形代数（加藤文元著）
2. 手を動かしてまなぶ線形代数（藤岡敦著）
行基本変形の確認
基本変形を引き起こす行列
1. 基本変形
2. 基本変形を引き起こす行列
行列の簡約化と正方行列の正則性の条件

線形代数学の参考文献

以下は線形代数学に関するオススメの教科書です．

大学教養線形代数（加藤文元著）

数学科など理論系の学生向けの線形代数の入門書です．平易な例から丁寧に説明されています．

手を動かしてまなぶ線形代数（藤岡敦著）

理論と演習のバランスをとりながら勉強したい人にオススメの入門書です．

行基本変形の確認

まずは行基本変形がどういうものだったか確認しておきましょう．

連立１次方程式$\begin{cases}2x+3y=8\\x+2y=5\end{cases}$は以下のように加減法により解くことができます：

\begin{align*}\left\{\begin{matrix}2x&+&3y&=&8\\x&+&2y&=&5\end{matrix}\right.
&\iff\left\{\begin{matrix}x&+&2y&=&5\\2x&+&3y&=&8\end{matrix}\right.
\\&\iff\left\{\begin{matrix}x&+&2y&=&5\\&-&y&=&-2\end{matrix}\right.
\\&\iff\left\{\begin{matrix}x&&&=&1\\&-&y&=&-2\end{matrix}\right.
\\&\iff\left\{\begin{matrix}x&&&=&1\\&&y&=&2\end{matrix}\right.\end{align*}

連立１次方程式の加減法は係数と定数をいじっているだけなので，以下のように拡大係数行列$\bmat{2&3&8\\1&2&5}$の変形と対応しますね．

\begin{align*}&\left\{\begin{matrix}2x&+&3y&=&8\\x&+&2y&=&5\end{matrix}\right.&\leftrightarrow&&\bmat{2&3&8\\1&2&5}
\\&\iff\left\{\begin{matrix}x&+&2y&=&5\\2x&+&3y&=&8\end{matrix}\right.&\leftrightarrow&&\bmat{1&2&5\\2&3&8}
\\&\iff\left\{\begin{matrix}x&+&2y&=&5\\&-&y&=&-2\end{matrix}\right.&\leftrightarrow&&\bmat{1&2&5\\0&-1&-2}
\\&\iff\left\{\begin{matrix}x&&&=&1\\&-&y&=&-2\end{matrix}\right.&\leftrightarrow&&\bmat{1&0&1\\0&-1&-2}
\\&\iff\left\{\begin{matrix}x&&&=&1\\&&y&=&2\end{matrix}\right.&\leftrightarrow&&\bmat{1&0&1\\0&1&2}\end{align*}

この連立１次方程式の加減法に対応する行列の変形を行基本変形というのでした．

行列について

２つの行を入れ替える
１つの行を$k$倍する（$k\neq0$）
１つの行の$k$倍を別の１つの行に加える

という３つの変形を併せて行基本変形という．

基本変形を引き起こす行列

連立１次方程式の加減法をもとに定義された行基本変形ですが，実は行列の掛け算をかけることで基本変形を引き起こすことができます．

基本変形

いま行基本変形の定義を述べましたが，行列の列に関しての同様の変形を列基本変形といいます．

行列について

ある列と別の列を入れ替える
ある列を$k$倍する($k\neq0$)
ある列の$k$倍を別の列に加える

という３つの変形を併せて列基本変形という．

列基本変形の定義は，行基本変形の定義で「行」を「列」に読み替えただけですね．

列基本変形と行基本変形を併せて基本変形という．

基本変形を引き起こす行列

行列$A:=\bmat{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\10&11&12}$と，以下の行列を考えます．

\begin{align*}P_{34}:=\bmat{1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0},\quad
Q_{2}^{(3)}:=\bmat{1&0&0&0\\0&3&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1},\quad
R_{14}^{(2)}:=\bmat{1&0&0&2\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1}\end{align*}

このとき，定義通り計算すると

\begin{align*}P_{34}A=\bmat{1&2&3\\4&5&6\\10&11&12\\7&8&9},\quad
Q_{2}^{(3)}A=\bmat{1&2&3\\12&15&18\\7&8&9\\10&11&12},\quad
R_{14}^{(2)}A=\bmat{21&24&27\\4&5&6\\7&8&9\\10&11&12}\end{align*}

となります．この結果ともとの$A$を見比べてみると

$P_{34}A$は第３行と第４行の入れ替え
$Q_{2}^{(3)}A$は第２行の３倍
$R_{14}^{(2)}A$は第１行に第４行の２倍の付け加え

という基本変形が起こっていることが分かります．

一般の基本変形もいま見た例のような正方行列$P_{ij}$, $Q_{i}^{(k)}$, $R_{ij}^{(k)}$をかけることによって引き起こすことができます．

$k\in\R$，$A$を$n$行の行列，$I$を$n$次単位行列とする．また

$P_{ij}$を$I$の第$i$列と第$j$列を入れ替えた行列
$Q_{i}^{(k)}$を$I$の第$(i,i)$成分を$k$とした行列（$k\neq0$）
$R_{ij}^{(k)}$を$I$の第$i$行に第$j$行の$k\in\R$倍を加えた行列

とする．このとき，これらを行列に左からかけることで次のように行基本変形が引き起こされる：

$P_{ij}A$は$A$の第$i$行と第$j$行を入れ替えてできる行列
$Q_{i}^{(k)}A$は$A$の第$i$行を$k$倍してできる行列（$k\neq0$）
$R_{ij}^{(k)}A$は$A$の第$i$行に$A$の第$j$行の$k$倍を加えてできる行列

また，$P_{ij}$, $Q_{i}^{(k)}$, $R_{ij}^{(k)}$を$A$に右からかけると，同様の列基本変形が引き起こされる．

実際に計算することにより，この命題は容易に証明することができます．

この命題の３種類の行列$P_{ij}$, $Q_{i}^{(k)}$, $R_{ij}^{(k)}$を合わせて基本行列といいます．いまの命題より基本行列はいずれも正則行列であることが分かりますね．

$P_{ij}$, $Q_{i}^{(k)}$, $R_{ij}^{(k)}$はいずれも正則で，それぞれ$P_{ij}$, $Q_{i}^{(1/k)}$, $R_{ij}^{(-k)}$が逆行列である．

行列の簡約化と正方行列の正則性の条件

この記事の本題です．本来，正方行列$A$が正則行列であるとは，

\begin{align*}AB=BA=I_n\end{align*}

を満たす$n$次正方行列$B$が存在することをいいますが，実は$AB=I_n$と$BA=I_n$のいずれか一方さえ成り立てば他方も自動的に成り立つことが証明できます．この証明のために，行列の簡約化を考えましょう．

階段行列の定義

１つ下の行に移るにつれて左から０が増えていく

\begin{align*}
\bmat{\color{blue}\m{*}&\color{blue}\dots&\color{blue}*&\color{blue}*&\color{blue}\dots&\color{blue}*&\color{blue}*&\color{blue}\dots&\color{blue}*&\color{blue}*
\\0&\dots&0&\color{blue}\m{*}&\color{blue}\dots&\color{blue}*&\color{blue}*&\color{blue}\dots&\color{blue}*&\color{blue}*
\\0&\dots&0&0&\dots&0&\color{blue}\m{*}&\color{blue}\dots&\color{blue}*&\color{blue}*
\\\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots}
\end{align*}

のような形の行列を階段行列といいます．例えば，

\begin{align*}
&\bmat{\color{blue}\m{1}&\color{blue}2&\color{blue}3&\color{blue}4\\0&\color{blue}\m{1}&\color{blue}0&\color{blue}-2\\0&0&0&\color{blue}\m{1}},\quad
\bmat{0&\color{blue}\m{1}&\color{blue}5&\color{blue}8\\0&0&\color{blue}\m{-3}&\color{blue}2\\0&0&0&0},\quad
\bmat{\color{blue}\m{4}&\color{blue}0\\0&\color{blue}\m{3}\\0&0}
\end{align*}

はいずれも階段行列です．

また，階段行列の各行の０でない一番左の成分（上の式で太字になっている成分）をその行の主成分といいます．ただし，全ての成分が０の行には主成分が存在しないとします．

きちんと階段行列の定義を述べると以下のようになりますが，上の例でどういうものか分かっていればきちんと読めなくても問題ありません．

$m\times n$行列$A=(a_{ij})$が階段形（echelon form）または階段行列（echelon matrix）であるとは，任意の$i\in\{1,\dots,m-1\}$に対して，次が成り立つことをいう．

$m\ge2$なら$a_{2,1}=0$
$a_{i,k}=0$ ($k=1,\dots,j$, $j<n$)なら，$a_{i+1,k}=0$ ($k=1,\dots,j+1$)である．
$a_{i,k}=0$ ($k=1,\dots,n$)なら，$a_{i+1,k}=0$ ($k=1,\dots,n$)である．

また，階段行列において，零ベクトルでない行の０でない最も左の成分を，その行の主成分（pivot, pivot element）という．

簡約行列の定義

階段行列の主成分が全て１であり，主成分が存在する列の主成分以外の成分が全て０である

\begin{align*}\bmat{\color{blue}\m{1}&\color{blue}\dots&\color{blue}*&\color{blue}0&\color{blue}\dots&\color{blue}*&\color{blue}0&\color{blue}\dots&\color{blue}*&\color{blue}*
\\0&\dots&0&\color{blue}\m{1}&\color{blue}\dots&\color{blue}*&\color{blue}0&\color{blue}\dots&\color{blue}*&\color{blue}*
\\0&\dots&0&0&\dots&0&\color{blue}\m{1}&\color{blue}\dots&\color{blue}*&\color{blue}*
\\\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots}\end{align*}

のような行列を簡約行列といいます．例えば，

\begin{align*}\bmat{\color{blue}\m{1}&\color{blue}0&\color{blue}3&\color{blue}0\\0&\color{blue}\m{1}&\color{blue}0&\color{blue}0\\0&0&0&\color{blue}\m{1}},\quad
\bmat{0&\color{blue}\m{1}&\color{blue}0&\color{blue}4\\0&0&\color{blue}\m{1}&\color{blue}2\\0&0&0&0},\quad
\bmat{\color{blue}\m{1}&\color{blue}0\\0&\color{blue}\m{1}\\0&0}\end{align*}

はいずれも簡約行列です．

次を満たす階段行列を簡約行列（reduced matrix）という．

主成分は全て１である．
主成分の存在する列において，主成分以外の成分はすべて０である．

行列の簡約化

さて，掃き出し法と同様に考えれば，簡約行列に関して次の命題が成り立ちます．

任意の行列は行基本変形により簡約行列に変形できる．

例えば，行列$\bmat{2&3&-2\\2&-2&8\\-3&0&-6}$は行基本変形により

\begin{align*}\bmat{2&3&-2\\2&-2&8\\-3&0&-6}
\to&\bmat{2&3&-2\\1&-1&4\\-3&0&-6}
\to\bmat{2&3&-2\\1&-1&4\\-1&0&-2}
\\\to&\bmat{1&-1&4\\2&3&-2\\-1&0&-2}
\to\bmat{1&-1&4\\0&5&-10\\0&-1&2}
\\\to&\bmat{1&-1&4\\0&1&-2\\0&-1&2}
\to\bmat{1&0&2\\0&1&-2\\0&0&0}\end{align*}

と簡約行列に変形できますね．

行列$A$を行基本変形により簡約行列$B$に変形することを簡約化（reduction）という．また，簡約行列$B$自体も$A$の簡約化という．

上の例より$\bmat{2&3&-2\\2&-2&8\\-3&0&-6}$の簡約化は$\bmat{1&0&2\\0&1&-2\\0&0&0}$ですね．