例えば,正方行列に対して,正則行列を用意すると,
とは対角行列となります.
このように,正方行列に対して,うまく正則行列を用意してを対角行列にすることを,正方行列の対角化といいます.
実は「正方行列の対角化があることによって線形代数が広く応用される分野になっている」と言ってもよいくらい,正方行列の対角化は非常に応用範囲が広く,線形代数の中でも特に重要です.
この記事では
- 対角化と対角化の応用例
- 対角化と固有値・固有ベクトル
- 固有値,固有ベクトルの図形的な意味
を順に説明します.
線形代数学の参考文献
以下は線形代数学に関するオススメの教科書です.
大学教養 線形代数(加藤文元 著)
数学科など理論系の学生向けの線形代数の入門書です.平易な例から丁寧に説明されています.
手を動かしてまなぶ 線形代数(藤岡敦 著)
理論と演習のバランスをとりながら勉強したい人にオススメの入門書です.
対角化と対角化の応用例
まずは正方行列の冪の計算に対角化が利用できることを説明します.
行列の冪と対角行列
例えば,とすると,
と計算することができますが,この計算を見れば分かるように一般に正方行列の冪を直接計算するのはとても面倒です.
一方,対角行列の冪は
のように対角行列の冪は簡単に計算することができます.一般に次が成り立ちます.
数学的帰納法により示す.のときに成り立つことは明らかで,あるで成り立つとすると
となってでも成り立つ.
つまり,「対角行列の乗は対角成分を乗した対角行列になる」というわけですね.
対角化と行列の冪
対角行列の冪が簡単に計算できることを用いて,一般の正方行列の冪を(直接計算するより)簡単に計算する方法を考えましょう.
次正方行列に対して,が成り立つような次対角行列と次正則行列が得られたとします.
このとき,両辺を乗()すると,行列の積の結合法則から
が成り立ちます.正方行列の間にできているは単位行列となるので,積を計算すると消えて連続したの積になっているわけですね.
このように得られたの両辺に左から,右からをかけると
が得られます.対角行列の冪は簡単に計算でき,もともとは得られているので,を計算すれば,が計算できることになりますね.
ここで考えたを次のようにいいます.
[対角化]正方行列に対して,正則行列が存在してが対角行列となるとき,はにより対角化可能であるといい,をの対角化という.
対角化可能な正方行列の冪は簡単に計算できる,というのが今説明したことですね.
全ての正方行列が対角化可能であるとは限りません.つまり,を満たす対角行列と正則行列が存在しないこともあります.
対角化と固有値・固有ベクトル
次に正方行列が対角化可能であるときに,どのようなことが成り立つのかを考えます.
対角化可能な正方行列
対角化可能な次正方行列に対して,を満たす対角行列と正則行列が存在するので,
とおきましょう.は対角行列で,は次ベクトルを並べてできた行列ですね.
の両辺に左からをかけるとで,これを列ベクトルを用いて表すと
となりますね.ここで,等式の各列を比較すると
はを満たしていますね.
固有値・固有ベクトルの定義
ここで,固有値・固有ベクトルを次のように定義します.
[固有値・固有ベクトル]次正方行列に対して,スカラーとでない次列ベクトルが存在してが成り立つとき,をの固有値,をの固有値に属する固有ベクトルという.
この「固有値」「固有ベクトル」という言葉を用いると,いま説明したことは以下のようになりますね.
[対角化可能な正方行列]次対角行列が次正則行列によって
と対角化されるとき,
- はの固有値()
- の第列は,の固有値に属する固有ベクトル
である:
この意味で,正方行列の対角化は固有値と固有ベクトルと密接に関わっていることになります.
逆に「どのようなときに対角化可能か」を考えるには,固有値・固有ベクトルについての知識が必要です.
固有値・固有ベクトルの図形的な意味
最後に固有値・固有ベクトルの図形的な意味を考えておきましょう.
まずでないを用意します.
このに左から次正方行列をかけるととなりますが,一般にこのがに平行かどうかは分かりません.つまり,によっては
- 平行になっていなかったり

- とが平行になっていたり

するわけですが,後者のようにうまくをとってとが平行(または)になっていれば,
となるが存在します.

この等式はまさに固有値と固有ベクトルの定義式で,このときのを固有ベクトルといい,このときの伸び率を固有値というわけですね.
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