正方行列が対角化可能であるための必要十分条件と固有空間

(1)⇒(2)の証明

ある$n$次正則行列$P$と$n$次対角行列$B$が存在して$P^{-1}AP=B$が成り立つ．このとき，

\begin{align*}B&=\bmat{\lambda_1&0&\dots&0\\0&\lambda_2&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\dots&0&\lambda_n}\quad\dots(*),
\\P&=[\m{p}_1,\m{p}_2,\dots,\m{p}_n]\quad\dots(**)\end{align*}

とおくと，

\begin{align*}AP=PB
\iff[A\m{p}_1,A\m{p}_2,\dots,A\m{p}_n]=[\lambda_1\m{p}_1,\lambda_2\m{p}_2,\dots,\lambda_n\m{p}_n]\end{align*}

が成り立つ．両辺で各列を比較すると$A\m{p}_k=\lambda_k\m{p}_k$（$k=1,2,\dots,n$）が成り立つから，$\m{p}_k$は固有ベクトルである．

また，一般に正則行列をなす列ベクトルは線形独立なので，$P$をなす列ベクトル$\m{p}_1,\m{p}_2,\dots,\m{p}_n$は線形独立である．よって，$A$は線形独立な$n$個の固有ベクトルをもつ．

(2)⇒(1)の証明

$A$の線形独立な$n$個の固有ベクトルを$\m{p}_1,\m{p}_2,\dots,\m{p}_n$とし，それぞれ$A$の固有値$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$に属する固有ベクトルとする（$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$の中には等しいものがあってもよい）．

さらに，対角行列$B$を$(*)$で定める．固有値・固有ベクトルの定義より$\lambda_k\m{p}_k=A\m{p}_k$ ($k=1,2,\dots,n$)が成り立つから，正方行列$P$を$(**)$で定めると

\begin{align*}PB&=[\lambda_1\m{p}_1,\lambda_2\m{p}_2,\dots,\lambda_n\m{p}_n]
\\&=[A\m{p}_1,A\m{p}_2,\dots,A\m{p}_n]
\\&=A[\m{p}_1,\m{p}_2,\dots,\m{p}_n]
=AP\end{align*}

となる．いま$\m{p}_1,\dots,\m{p}_n$は線形独立だから，$P$は正則行列である．よって，$PB=AP$の両辺に左から$P^{-1}$をかけて$B=P^{-1}AP$となり，$A$は対角化可能である．

$A$の固有値$\lambda$に属する線形独立な固有ベクトルが$r$個存在するとし，それらを$\m{p}_1,\dots,\m{p}_r$とする．このとき，$\m{p}_{r+1},\dots,\m{p}_n\in\C^n$が存在して，組$\m{p}_1,\dots,\m{p}_{r},\m{p}_{r+1},\dots,\m{p}_n$は$\C^n$の基底となる．

このとき，$P:=[\m{p}_1,\dots,\m{p}_n]$とすると，$P$は正則行列で

\begin{align*}I=P^{-1}P=\brc{P^{-1}\m{p}_1,\dots,P^{-1}\m{p}_n}\end{align*}

だから，各列を比較して$\m{e}_\ell=P^{-1}\m{p}_\ell$（$\ell=1,\dots,n$）が成り立つ．また，$\m{p}_1,\dots,\m{p}_r$は$A$の固有値$\lambda$に属する固有ベクトルだったから

\begin{align*}P^{-1}AP
&=P^{-1}[A\m{p}_1,\dots,A\m{p}_r,A\m{p}_{r+1},\dots,A\m{p}_n]
\\&=P^{-1}[\lambda\m{p}_1,\dots,\lambda\m{p}_r,*,\dots,*]
\\&=[\lambda P^{-1}\m{p}_1,\dots,\lambda P^{-1}\m{p}_r,*,\dots,*]
\\&=[\lambda\m{e}_1,\dots,\lambda\m{e}_r,*,\dots,*]\end{align*}

となる．よって，固有多項式は

\begin{align*}|tI-A|&=|P|^{-1}|P||tI-A|=|P^{-1}||tI-A||P|
\\&=|P^{-1}(tI-A)P|=|tI-P^{-1}AP|
\\&=|t[\m{e}_1,\dots,\m{e}_r,\m{e}_{r+1},\dots,\m{e}_n]-[\lambda\m{e}_1,\dots,\lambda\m{e}_r,*,\dots,*]|
\\&=|(t-\lambda)\m{e}_1,\dots,(t-\lambda)\m{e}_r,*,\dots,*|
\\&=(t-\lambda)^r|\m{e}_1,\dots,\m{e}_r,*,\dots,*|\end{align*}

が成り立つ．なお，最後の等号では行列式の多重線形性を用いた．固有多項式$|tI-A|$は因数$t-\lambda$を高々$m$個しか持たないから$r\le m$を得る．すなわち，固有値$\lambda$に属する線形独立な固有ベクトルは$m$個以下である．

$A-\lambda I$は$n$次正方行列だから，次元定理より

\begin{align*}\dim{W_A(\lambda)}=\dim{\Ker{(A-\lambda I)}}=n-\dim{\Ima{(A-\lambda I)}}\end{align*}

が成り立つ．また，一般に行列の像の次元は行列のランクに等しいから，

\begin{align*}\dim{W_A(\lambda)}=n-\operatorname{rank}{(A-\lambda I)}\end{align*}

が従う．