行列式のために置換を定義する｜代数学でも重要な置換の基礎

２次正方行列$A=\bmat{a&b\\c&d}$に対して，$ad-bc$を$A$の行列式といい

$A$は正則行列である
$ad-bc\neq0$が成り立つ

は同値となるのでした．つまり，行列式$ad-bc$が０であるか否かで行列の正則性が判定できるわけですね．

３次以上の正方行列に対しても，０であるか否かで正方行列の正則性が判定できる行列式が定義できます．

しかし，３次以上の正方行列の行列式は２次正方行列の行列式ほど簡単ではなく，置換というものを用いる定義が一般的です．

この記事では

置換の基礎知識
重要な置換

を順に説明します．

「線形代数学の基本」の一連の記事

行列と列ベクトル

行列式

$\R^n$の部分空間と基底

正方行列の対角化

線形代数学の参考文献
1. 大学教養線形代数（加藤文元著）
2. 手を動かしてまなぶ線形代数（藤岡敦著）
置換の基礎知識
巡回置換と互換

線形代数学の参考文献

以下は線形代数学に関するオススメの教科書です．

大学教養線形代数（加藤文元著）

数学科など理論系の学生向けの線形代数の入門書です．平易な例から丁寧に説明されています．

手を動かしてまなぶ線形代数（藤岡敦著）

理論と演習のバランスをとりながら勉強したい人にオススメの入門書です．

置換の基礎知識

置換の具体例から説明を始め，置換の基礎知識を解説します．また，以下では$n$を２以上の整数とします．

置換の具体例

置換とは平たく言えば「並べ替える操作」のことをいい，例えば$1,2,3,4$を

$\begin{align*}\begin{matrix}1&2&3&4\\\downarrow&\downarrow&\downarrow&\downarrow\\2&3&4&1\end{matrix}\end{align*}$

と並べ替える操作は置換です．また，この並べ替えを$\pmat{1&2&3&4\\2&3&4&1}$と表します．

他にも$1,2,3,4$を

$\begin{align*}\begin{matrix}1&2&3&4\\\downarrow&\downarrow&\downarrow&\downarrow\\2&3&1&4\end{matrix}\end{align*}$

と並べ替える操作は$\pmat{1&2&3&4\\2&3&1&4}$と表します．この置換では４は４のままですが，このように並べ換えないものがあっても構いません．

一般に$\{1,2,\dots,n\}$を並べ替える操作を$\{1,2,\dots,n\}$の置換といいます．

置換の定義

一般の置換を定義するには「全単射」という言葉を用いることになりますが，全単射の意味を知らなくても直感的には上のような並べ替えとして理解していればこの一連の記事では大きな問題ありません．

全単射$\sigma:\{1,2,\dots,n\}\to\{1,2,\dots,n\}$を$\{1,2,\dots,n\}$の置換（permutation）といい，

$\begin{align*}\sigma=\pmat{1&2&\dots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\dots&\sigma(n)}\end{align*}$

と表し，$\{1,2,\dots,n\}$の置換全体の集合を$S_n$と表す．

例えば，$\{1,2,3\}$の置換$\sigma$を$\sigma=\pmat{1&2&3\\2&3&1}$で定めると，

$\begin{align*}&\sigma(1)=2,\quad\sigma(2)=3,\quad\sigma(3)=1\end{align*}$

であり，$\{1,2,3,4\}$の置換$\tau$を$\tau=\pmat{1&2&3&4\\4&3&2&1}$で定めると，

$\begin{align*}\tau(1)=4,\quad\tau(2)=3,\quad\tau(3)=2,\quad\tau(4)=1\end{align*}$

というわけですね．

また，何も置き換えない置換を単位置換といい，例えば$\{1,2,3,4\}$の単位置換は$\pmat{1&2&3&4\\1&2&3&4}$と表せますね．

置換の積

$\{1,2,\dots,n\}$の置換$\sigma,\tau$に対して，写像の合成$\sigma\circ\tau$を$\sigma$と$\tau$の積（product）といい，$\sigma\tau$と表す．

例えば，$\{1,2,3\}$の置換$\sigma,\tau$を$\sigma=\pmat{1&2&3\\2&1&3}$, $\tau=\pmat{1&2&3\\3&1&2}$で定めると，

$\begin{align*}\sigma\tau(1)=\sigma(3)=3,\quad\sigma\tau(2)=\sigma(1)=2,\quad\sigma\tau(3)=\sigma(2)=1\end{align*}$

なので$\sigma\tau=\pmat{1&2&3\\3&2&1}$であり，

$\begin{align*}\tau\sigma(1)=\tau(2)=1,\quad\tau\sigma(2)=\tau(1)=3,\quad\tau\sigma(3)=\tau(3)=2\end{align*}$

なので$\tau\sigma=\pmat{1&2&3\\1&3&2}$ですね．

この例からも分かるように，一般に置換の積は可換とは限りません．

$\{1,2,\dots,n\}$の置換$\sigma$に対して$\sigma$の逆写像を逆置換（inverse permutation）といい，$\sigma^{-1}$で表す．

例えば，$\{1,2,3\}$の置換$\sigma=\pmat{1&2&3\\2&3&1}$, $\{1,2,3,4\}$の置換$\tau=\pmat{1&2&3&4\\4&3&2&1}$に対して，

$\begin{align*}&\sigma^{-1}=\pmat{2&3&1\\1&2&3}=\pmat{1&2&3\\3&1&2}, \\&\tau^{-1}=\pmat{4&3&2&1\\1&2&3&4}=\pmat{1&2&3&4\\4&3&2&1}\end{align*}$

ですね．

$\{1,2,\dots,n\}$の置換全体の集合$S_n$は置換の合成により非可換群となります．この群は群論でも重要な群で$n$次対称群と呼ばれます．

巡回置換と互換

次に置換の中でも重要な置換を説明していきます．

巡回置換の定義と重要性質

例えば，置換$\pmat{1&2&3&4\\2&3&1&4}$は$\{1,2,3\}$を$1\to2\to3\to1$と巡回させ，４を動かさない置換となっています．

このような一部だけを巡回させる置換を巡回置換といいます．

$\{1,2,\dots,n\}$の置換のうち

$\begin{align*}\pmat{k_1&k_2&\dots&k_{r-1}&k_r&k_{r+1}&\dots&k_n\\k_2&k_3&\dots&k_r&k_1&k_{r+1}&\dots&k_n}\end{align*}$

の形の置換を巡回置換（cyclic permutation）といい，$(k_1,k_2,\dots,k_r)$と表す．

例えば，$\{1,2,\dots,6\}$の巡回置換$\sigma=(1,2,4)$は，

$\begin{align*}\sigma=&\pmat{1&2&4&3&5&6\\2&4&1&3&5&6} \\=&\pmat{1&2&3&4&5&6\\2&4&3&1&5&6}\end{align*}$

です．つまり，$\sigma=(1,2,4)$は$1,2,4$をこの順に１つずつずらし，$3,5,6$を変えない置換ですね．

$\{1,2,\dots,n\}$の巡回置換$\sigma,\tau$が同じものを巡回させないとき，$\sigma\tau=\tau\sigma$が成り立つ．

もう少しきちんと書くと，「巡回置換$\sigma=(m_{1},\dots,m_{k}),\tau=(m_{1}’,\dots,m_{\ell}’)$に対して，$\{m_{1},\dots,m_{k}\}\cap\{m_{1}’,\dots,m_{\ell}’\}=\emptyset$なら$\sigma\tau=\tau\sigma$が成り立つ」ということですね．

$\sigma=(m_{1},\dots,m_{k})$, $\tau=(m_{1}’,\dots,m_{\ell}’)$とする．

任意に$m\in\{1,2,\dots,n\}$をとる．

$m\in\{m_{1},\dots,m_{k}\}$のとき，条件から$\tau$は$m$, $\sigma(m)$を巡回させないから，
$\begin{align*}\sigma\tau(m)=\sigma(m)=\tau\sigma(m)\end{align*}$
$m\in\{m_{1}’,\dots,m_{\ell}’\}$のとき，条件から$\sigma$は$m$, $\tau(m)$を巡回させないから，同様に$\sigma\tau(m)=\tau\sigma(m)$
$m\notin\{m_{1},\dots,m_{k},m_{1}’,\dots,m_{\ell}’\}$のとき
$\begin{align*}\sigma\tau(m)=\sigma(m)=m=\tau(m)=\tau\sigma(m)\end{align*}$

が成り立つ．よって，任意の$m\in\{1,2,\dots,n\}$に対して$\sigma\tau(m)=\tau\sigma(m)$が成り立つから，$\sigma\tau=\tau\sigma$が従う．

例えば，$\{1,2,\dots,8\}$の置換$\sigma$を

$\begin{align*}\sigma=\pmat{1&2&3&4&5&6&7&8\\3&6&4&1&2&5&8&7}\end{align*}$

で定めます．この$\sigma$は以下のように巡回置換の積で表すことができます．

まず１に繰り返し$\sigma$を施すと，$1\to3\to4\to1$と巡回する．
$1,3,4$でない$\{1,2,\dots,8\}$の元，例えば２に繰り返し$\sigma$を施すと，$2\to6\to5\to2$と巡回する．
$1,3,4,2,5,6$でない$\{1,2,\dots,8\}$の元，例えば７に繰り返し$\sigma$を施すと，$7\to8\to7$と巡回する．

このように考えれば，$\sigma=(1,3,4)(2,5,6)(7,8)$として巡回置換の積で表されます．

また，上の命題より$\sigma$をなす巡回置換$(1,3,4)$, $(2,5,6)$, $(7,8)$は入れ替えても等しいですね：

$\begin{align*}\sigma=&(1,3,4)(2,5,6)(7,8)=(1,3,4)(7,8)(2,5,6) \\=&(2,5,6)(1,3,4)(7,8)=(7,8)(1,3,4)(2,5,6) \\=&(2,5,6)(7,8)(1,3,4)=(7,8)(2,5,6)(1,3,4)\end{align*}$

この例から次の定理が成り立つことが分かりますね．

$\{1,2,\dots,n\}$の任意の置換$\sigma$は同じものを巡回させない巡回置換の積で表せる．

互換の定義と巡回置換

ちょうど２つの元を巡回させる巡回置換を互換（transposition）という．

$i,j$を入れ替える互換は，$i,j$を巡回させる巡回置換なので$(i,j)$と表せますね．

次は巡回置換と互換の積を結び付ける重要な命題です．

$\{1,2,\dots,n\}$の巡回置換は，$\{1,2,\dots,n\}$の互換の積で表せる．

$\{1,2,\dots,n\}$の任意の巡回置換$\sigma=(m_{1},\dots,m_{k})$を考える．

このとき，$\sigma$が互換$\tau_{i}:=(m_{1},m_{i})$（$i=2,3,\dots,k$）の積で$\sigma=\tau_{k}\dots\tau_{3}\tau_{2}$と表せることを以下で示す．

任意に$m\in\{1,\dots,n\}$をとる．

$m=m_i$（$i\in\{1,\dots,k-1\}$）と表せるとき
$\begin{align*}&\tau_{k}\dots\tau_{i+1}\tau_{i}\dots\tau_{3}\tau_{2}(m_{i}) \\=&\tau_{k}\dots\tau_{i}(m_{i}) =\tau_{k}\dots\tau_{i+1}(m_{1}) \\=&\tau_{k}\dots\tau_{i+2}(m_{i+1}) =m_{i+1} =\sigma(m_i)\end{align*}$
$m=m_k$のとき
$\begin{align*}\tau_{k}\tau_{k-1}\dots\tau_{3}\tau_{2}(m_{k}) =\tau_{k}(m_{k}) =m_{1} =\sigma(m_{k})\end{align*}$
$m$が$m_i$（$i\in\{1,\dots,k\}$）のどれとも異なるとき
$\begin{align*}\tau_{k}\tau_{k-1}\dots\tau_{3}\tau_{2}(m_{i}) =m_{i} =\sigma(m_{i})\end{align*}$