線形代数20
固有値・固有ベクトルの基本性質のまとめ

固有値の定義から$A\m{a}=\lambda\m{a}$, $A\m{b}=\lambda\m{b}$が成り立つ．

(1)　$A(c\m{a})=c(A\m{a})=c(\lambda\m{a})=\lambda(c\m{a})$だから，$c\m{v}$は$A$の固有値$\lambda$に属する固有ベクトルである．

(2)　$A(\m{a}+\m{b})=A\m{a}+A\m{b}=\lambda\m{a}+\lambda\m{b}=\lambda(\m{a}+\m{b})$だから，$\m{a}+\m{b}$は$A$の固有値$\lambda$に属する固有ベクトルである．

固有値の定義から$A\m{a}=\lambda\m{a}$が成り立つ．

(1)　$(cA)\m{a}=c(A\m{a})=c(\lambda\m{a})=(c\lambda)\m{a}$だから，$c\lambda$は$cA$の固有値で，$\m{a}$は$cA$の固有値$c\lambda$に属する固有ベクトルである．

(2)　$(A+cI)\m{a}=A\m{a}+cI\m{a}=\lambda\m{a}+c\m{a}=(\lambda+c)\m{a}$だから，$\lambda+c$は$A+cI$の固有値で，$\m{a}$は$A+cI$の固有値$\lambda+c$に属する固有ベクトルである．

(3)　$k$に関する数学的帰納法により示す．$k=1$の場合は$A^{k}\m{a}=A\m{a}=\lambda\m{a}=\lambda^{k}\m{a}$だから成り立つ．

次に，ある$k$で成り立つとすると

だから$k+1$でも成り立つ．よって，任意の正の整数$k$に対して，$\m{a}$は$A^{k}$の固有値$\lambda^{k}$に属する固有ベクトルである．

(4)　$A$は正則だから$A\m{a}=\lambda\m{a}$の両辺に左から$\frac{1}{\lambda}A^{-1}$をかけて，$\frac{1}{\lambda}\m{a}=A^{-1}\m{a}$が成り立つから，$\frac{1}{\lambda}$は$A^{-1}$の固有値で，$\m{a}$は$A^{-1}$の固有値$\frac{1}{\lambda}$に属する固有ベクトルである．

$r$に関する数学的帰納法により示す．

$r=1$のときは明らかに成り立つので，$r=m<n$のときに成り立つと仮定して$r=m+1$の場合を示せばよい．

$A$の相異なる固有値$\lambda_1,\dots,\lambda_{m+1}$に属する固有ベクトルをそれぞれ$\m{v}_1,\dots,\m{v}_{m+1}$とし，線形関係$c_1\m{v}_1+\dots+c_{m+1}\m{v}_{m+1}=\m{0}$を考える．

線形関係の両辺に$\lambda_{m+1}$をかけて

であり，線形関係の両辺に左から$A$をかけて

である．これら２式の辺々引いて

となるから，帰納法の仮定より$\m{v}_{1},\dots,\m{v}_{m}$は線形独立なので$(\lambda_{m+1}-\lambda_{k})c_k=0$ ($k=1,\dots,m$)が成り立つ．

いま，固有値$\lambda_1,\dots,\lambda_{m+1}$は異なると仮定していたから，$\lambda_{m+1}-\lambda_{k}\neq0$なので$c_k=0$を得る．

これをもとの線形関係に代入すると$c_{m+1}\m{v}_{m+1}=0$となるから，$\m{v}_{m+1}\neq\m{0}$より$c_{m+1}=0$を得る．

よって，$r=m+1$のときにも成り立つ．