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線形代数学
高校数学と大学以降の数学の大きな違いのひとつは「多変数関数を積極的に扱うかどうか」です．
線形代数学は「多変数関数ver.の比例を考える分野」ということができ，理系の大学生は１年生で学ぶことが多いです．線形代数学は大学以降の数学では非常に広く使われており，純粋数学だけでなく応用数学を扱う人にとっても必須な分野です．
線形代数学の基本
列ベクトルと行列は線形代数の基本的な概念です．以下の一連の記事で列ベクトルと行列の基本をまとめています．
行列と数ベクトル
- 1. 線形代数の「行列」とは何か？中学の比例から考え方を解説
- 2. 行列・ベクトルの計算の基本｜積はどうしてこの形になるのか？
- 3. 連立１次方程式の掃き出し法｜行列の行基本変形の考え方
- 4. 正則行列の定義・具体例｜逆行列を使った連立１次方程式の解法
- 5. 行列の正則条件を簡単に！AB=IまたはBA=Iであれば正則
- 6. 行列のランク｜逆行列をもつための条件・逆行列の求め方を解説
- 7. 連立１次方程式とランクの関係｜解をもつ条件・解の自由度
- 8. 線形独立性の考え方を例題から解説｜ランクとの関係も解説
行列式
- 9. 行列式の図形的イメージ｜正則性が判定できる行列式の考え方
- 10. 行列式のために置換を定義する｜代数学でも重要な置換の基礎
- 11. 行列式の定義と具体例｜置換の符号（偶置換・奇置換）から解説
- 12. 行列式の基本性質を総まとめ！計算の具体例も紹介します
- 13. 余因子展開｜行列式による正則条件を具体例とともに解説
$\R^n$の部分空間
- 14. 数ベクトル空間の部分空間の定義｜証明のテンプレも例題から解説
- 15. 数ベクトル空間の基底｜定義・考え方を具体例から丁寧に解説
- 16. ℝⁿの部分空間の次元｜基底を求める方法を具体例から解説
- 17. ℝⁿ上のspanされる（生成される）部分空間の基底・次元の求め方
- 18. 行列Aの像Im(A)の定義・考え方｜求め方を例題から理解する
- 19. 行列Aの核Ker(A)の定義・考え方｜求め方を例題から理解する
- 20. ℝⁿの部分空間の共通部分｜基底・次元の求め方を例題から解説
- 21. ℝⁿの部分空間の和空間｜基底と次元の求め方を例題から解説
- 22. ℝⁿの部分空間の直和の定義と例題｜和空間の次元の公式も紹介
対角化と固有値・固有ベクトル
- 23. 正方行列の対角化と応用例｜固有値・固有ベクトルの定義も解説
- 24. 固有値・固有ベクトルの求め方｜固有方程式から２ステップで！
- 25. 対角化の基本定理｜正方行列の固有値の個数と対角化可能性
- 26. 固有空間と正方行列の対角化｜対角化可能性の必要十分条件
線形空間の基本
上の「線形代数学の基本」では，主に$\R^n$における線形代数学の理論をまとめています．$\R^n$はより一般に線形空間に，行列はより一般に線形写像に拡張することができます．
以下の一連の記事で線形空間と線形写像の基本をまとめています．
線形空間
- 1. 線形空間（ベクトル空間）の定義｜多項式・数列の例も紹介
- 2. 線形部分空間の定義｜証明のテンプレートも例題に沿って紹介
- 3. 線形結合・線形独立性の定義と例題｜ベクトルたちの線形関係
- 4. 生成（span）される線形部分空間｜具体例から考え方を解説
- 5. 線形空間の基底の定義・基本性質｜証明のテンプレートも紹介
- 和空間と共通部分（準備中）
線形写像
- 線形写像の定義（準備中）
- 線形写像の像と核（準備中）
- 次元定理（準備中）
その他の線形代数学の記事
以下は線形代数学のさまざまなトピックの記事です．
- クラメールの公式｜連立１次方程式の解を求める便利な定理
- 正方行列が正則であるための４つの必要十分条件を整理する
- フロベニウスの定理を例題から解説｜正方行列と多項式と固有値
- ペロン・フロベニウスの定理｜成分が正の行列の最大固有値の性質
- 特異値分解（SVD）による低ランク近似｜画像圧縮への応用
微分積分学
高校数学と大学以降の数学の大きな違いのひとつは「多変数関数を積極的に扱うかどうか」です．
微分積分学は「多変数関数で微分と積分を考える分野」ということができ，理系の大学生は１年生で学ぶことが多いです．微分積分学は高校数学の数学IIIで学ぶ微分積分学をより詳しく扱っていきます．
微分積分学の基本
微分積分学では数列と関数が主役として扱われます．以下の一連の記事で列ベクトルと行列の基本をまとめています．
実数列の収束・発散
- 1. 上限supと下限inf｜最大値max・最小値minより便利なヤツら
- 2. 数列の収束の定義（ε-N論法）｜例題から考え方を理解しよう
- 3. 収束しない実数列｜実数列の３種類の発散と証明の例題
- 4. 単調有界実数列の収束定理｜漸化式を解かずに極限を求める方法
- 5. 有理数の稠密性｜実数の「アルキメデスの性質」から証明する
- 6. ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理｜区間縮小法による証明
- 7. コーシー列の便利さ｜収束列との関係と実数の集合ℝの完備性
- 8. 級数の考え方と厳密な定義｜コーシーの条件・絶対収束も解説
- 9. 正項級数の３つの基本の収束判定法｜具体例とともに解説
関数の微分法
- １変数関数と多変数関数の連続性（準備中）
- １変数関数の微分係数と導関数（準備中）
- 多変数関数の偏微分係数と偏導関数（準備中）
- テイラーの定理（準備中）
関数の積分法
- リーマン積分（準備中）
- 微分積分学の基本定理とその証明｜微分と積分の関係を導出
- 一様連続性と連続性（準備中）
- 連続関数はリーマン積分可能（準備中）
- １変数関数の広義リーマン積分（準備中）
- 重積分（準備中）
- 広義重積分（準備中）
実数列
以下は数列に関するトピックの記事です．
- 上極限と下極限のイメージ｜具体例から定義と性質を理解する
- チェザロ平均(a₁+a₂+…+aₙ)/nの極限｜ε-N論法の応用例
- チェザロ総和｜普通の意味では収束しない級数を収束させたい
- 交項級数の定義と性質｜正負の項が交互に並ぶ級数の収束性
微分法と積分法
以下は微分法と積分法に関するトピックの記事です．
- 偏微分の順序交換可能な条件と具体例｜不可能な具体例も紹介
- ラグランジュの未定乗数法｜直観的に当たり前になる考え方
- ガウス関数のフーリエ変換１｜コーシーの積分定理から計算する
- ガウス関数のフーリエ変換２｜微分方程式を用いて計算する
- ガウス積分はどうやって求める？｜極座標変換による計算
- 階乗の一般化のガンマ関数（Γ関数）を解説｜定義と基本性質
- 1/xᵖの２種類の広義積分｜収束・発散するためのpの条件
その他の微分積分学の記事
以下は微分積分学のさまざまなトピックの記事です．
複素解析学（関数論）
微分積分学では実変数実数値関数の微分と積分を考えましたが，複素変数複素数値関数の微分と積分を考えるのが複素解析学です．複素解析学は複素関数論や単に関数論とも呼ばれます．
複素解析学は理系の大学生は２年生で学ぶことが多いです．微分積分学で学んだことを流用できる部分があるものの，複素解析学の枠組みでこそ成り立つ極めて便利な性質も多く非常に整った分野となっています．
複素解析学の基本
歴史的には複素解析学は実関数への応用をひとつの目的として研究されてきたようです．そのためのひとつの重要な定理として留数定理があります．以下の一連の記事で複素関数の微分と積分の基礎から留数定理までをまとめています．
- 1. 複素関数とは何か？グラフを複素平面上に図示する方法も解説
- 2. 複素関数の微分の考え方｜正則関数の定義・重要定理も紹介
- 3. 複素積分の定義と例題｜複素平面上での積分の考え方と計算方法
- 4. コーシーの積分定理を例題から解説｜積分経路の変形への応用も
- 5. コーシーの積分公式の直観的な考え方｜コーシーの積分定理から
- 6. 正則関数のテイラー展開｜コーシーの積分公式の重要な応用
- 7. ローラン展開はテイラー展開の進化形！留数定理の一歩前
- 8. 留数定理による広義積分の計算｜例題から使い方・考え方を解説
複素関数
以下は複素関数に関するトピックの記事です．
- 複素関数sin,cos,expの定義と諸性質｜オイラーの公式と指数法則
- 冪根関数$z^{1/n}$（準備中）
- 対数関数log（準備中）
その他の複素解析学の記事
以下は複素解析学のさまざまなトピックの記事です．
ベクトル解析
ベクトル解析は大学１年生で学ぶ微分積分学と線形代数学を併せたような分野で，ベクトル値関数に関する微分と積分を扱います．大学２年生で学ぶことが多いです．
測度論
アンリ・ルベーグが博士論文で基礎を築いたルベーグ積分は，現代ではより広く測度論という分野に拡張されています．測度論の中でもルベーグ積分と確率論は学部レベルで重点的に扱われます．
ルベーグ積分の基本
微分積分学で扱うリーマン積分は数学的に扱いづらい点が多く，ルベーグ積分はその欠点を大きく解消した積分となっています．以下の一連の記事でルベーグ積分の基本をまとめています．
ルベーグ測度
- 0. ルベーグ積分はどのような積分か？｜歴史と共に考え方を解説
- 1. 外測度はルベーグ積分の第１歩！「集合の長さ」を測る方法
- 2. ルベーグ外測度の５性質｜証明とルベーグ測度との違いも紹介
- 3. ルベーグ可測集合の定義と具体例｜ルベーグ測度の定義のために
- 4. ルベーグ可測集合は完全加法族｜和集合・共通部分の可測性
- 5. 区間・開集合・閉集合のルベーグ可測性とボレル集合族の定義
- 6. ルベーグ測度の本質的に重要な４性質｜完全加法性などを証明
ルベーグ積分の定義
- 7. ルベーグ可測関数の定義と具体例｜必要十分条件も２つ紹介
- 8. 線形結合・絶対値・連続関数などのルベーグ可測性を証明
- 9. 単関数のルベーグ積分｜具体例を通して考え方を理解しよう
- 10. 単関数近似定理｜ルベーグ可測関数fを単関数列{fₙ}で近似する
- 11. ルベーグ積分の定義｜単関数による近似を踏まえて定義する
ルベーグ積分の性質
- 12. 非負値関数のルベーグ積分｜基礎となる基本性質を証明する
- 13. 単関数列の項別積分定理｜直観的な考え方・応用・証明を解説
- 14. ルベーグの単調収束定理の例題と証明｜ルベーグ積分の重要定理
- 15. ファトゥの補題の使い方を例題から解説｜ルベーグ積分と下極限
- 16. ルベーグの収束定理を例題から理解する｜証明・考え方を解説
- 17. ルベーグ積分はリーマン積分の拡張｜証明と計算の例題を解説
- 18. 微分と積分が順序交換可能な条件｜ルベーグの収束定理の応用
確率論
以下は確率論に関するトピックの記事です．
- 積率母関数が微分できて$n$次モーメントが得られることの証明
- 確率変数の４つの収束｜概収束，平均収束，確率収束，法則収束
- 一様可積分とヴィタリの収束定理｜ルベーグの収束定理の一般化
- 確率変数列の一様可積分性の判定｜十分条件と必要十分条件
- 中心極限定理を実感する｜二項分布でシミュレートしてみた
測度論のその他の記事
以下は複素関数のさまざまなトピックの記事です．
- 可測空間と測度空間｜直観的な考え方で定義・具体例を解説
- 「ほとんど至る所」の定義・具体例・応用｜測度空間の零集合
- 測度の単調収束定理｜単調増大列・単調減少列の集合の測度
- フビニの定理，トネリの定理，フビニ・トネリの定理のまとめ
- ルベーグ非可測集合の具体例｜「ヴィタリ集合」の定義と存在
- 極限と級数が順序交換であるための条件｜微分と級数の交換も解説
関数解析学
関数解析学は様々な関数のクラス（集合）の性質を考える分野です．関数解析で扱う関数空間は多くの場合で無限次元の線形空間となることから，関数解析学は「無限次元の線形代数学」と捉えることもできます．
- ストーンの定理｜強連続ユニタリ群になるための必要十分条件
- リース-トーリンの複素補間定理｜線形作用素$L^p\to L^q$の有界性を示す
- 双対性議論（duality argument）とは？｜Lᵖ双対性を証明する
- 弱$L^p$有界性とマルチンキーヴィッツの実補間定理
- バナッハ空間とヒルベルト空間の完備でない部分空間の例
関数空間
解析学では様々な関数空間を扱います．
- シュワルツ空間の定義と完備性｜急減少関数の空間を考える
- 緩増加超関数の厳密な定義と具体例｜デルタ関数，コーシーの主値
- ルベーグ空間（$L^p$空間）の共役空間｜リースの定理を添えて
- ハーディの不等式｜ソボレフ空間の重み付き空間への埋め込み
ルベーグ空間
ルベーグ空間$L^p$は基本的な関数空間としてよく知られています．以下の一連の記事でルベーグ空間の基本をまとめています．
- 1. 本質的有界な可測関数｜本質的上限(ess sup)・下限(ess inf)
- 2. 本質的有界な関数のルベーグ空間$L^\infty$｜ノルム空間として定義
- 3. ヘルダーの不等式の証明・応用｜ルベーグ積分の基本不等式
- 4. ミンコフスキーの不等式と証明｜便利な積分形も併せて紹介
- 5. ルベーグ空間（$L^p$空間）｜ルベーグ積分に関するノルム・内積
微分方程式
微分方程式は応用数学由来のものが多いものの，数学では純粋に数学的に扱います．微分方程式は大まかに未知関数が１変数の常微分方程式と，未知関数が多変数の偏微分方程式とに分けることができます．
常微分方程式
以下は常微分方程式のさまざまなトピックの記事です．
- 解ける常微分方程式１｜変数分離形・同次形の解法と具体例
- 解ける常微分方程式２｜１階線形・ベルヌーイ型の解法と具体例
- 解ける常微分方程式３｜２階線形の解法と具体例
- 解ける常微分方程式４｜定数係数線形の解法と具体例
- ピカールの逐次近似法｜常微分方程式の解を構成する方法
- ピカール-リンデレフの定理常微分方程式の解の一意存在性
- 解は存在するが一意でない常微分方程式の具体例を考える
偏微分方程式
以下は偏微分方程式のさまざまなトピックの記事です．
シュレディンガー方程式
- 線形シュレディンガー方程式｜基本解と解作用素のユニタリ群
- シュレディンガー方程式の分散性｜基本解の$L^pL^q$評価の導出
- ストリッカーツ評価｜シュレディンガー方程式の分散性評価
- シュレディンガー方程式の質量保存，エネルギー保存の証明
代数学
群論の基礎
集合論・位相空間論
集合論
- 関数の表し方｜“$f$”と“$f(x)$”で意味はどう違う？
- ベクトル空間の基底とハメル基底の存在の証明
- ハメル基底と$f(x+y)=f(x)+f(y)$を満たす関数
- 無理数は有理数よりも多い？｜対角線論法による濃度差の証明
- well-definedを理解する｜三角比の定義を具体例に考える
位相空間論
連結性
統計学
データの記述
- 統計学の基礎｜データの「真ん中」を表す平均値・中央値
- データの分散・標準偏差｜統計学で「ばらつき」を表す方法
- 共分散から相関の正負が分かる！考え方から定義を理解する
- 相関係数ρは相関の強さを表す統計量！定義と考え方を解説
重要な確率分布
離散型
- 一様分布$\mrm{Uni}(\{1,2,\dots,n\})$の期待値・分散・確率母関数を計算する
- ベルヌーイ分布$\mrm{Ber}(p)$の定義・具体例｜期待値・分散・確率母関数も計算
- 二項分布$\mrm{Bin}(n,p)$と反復試行の確率｜平均・分散・確率母関数も計算
- 幾何分布$\mrm{Geo}(p)$の期待値・分散・確率母関数｜初成功までの失敗回数
- 負の二項分布$\mrm{NB}(r,p)$の期待値・分散を計算する｜名前の由来も解説
- ポアソン分布$\mrm{Po}(\lambda)$の期待値・分散・母関数を定義から計算する
連続型
- 連続型一様分布（準備中）
- 正規分布（準備中）
- カイ二乗分布（準備中）
- $t$分布（準備中）
- $F$分布（準備中）
- 指数分布（準備中）
- ガンマ分布（準備中）
- ベータ分布（準備中）
仮説検定
確率変数の性質
回帰直線
推定
LaTeX
TikZ
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方１｜基本的な描線
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方２｜線のスタイル
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方３｜グラフの描き方
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方４｜座標の定義と計算
- LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方５｜領域に色を塗る