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線形代数7|行列式を定義するための置換の性質を理解する

前回の記事では正方行列$A=[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$の行列式$|A|$のイメージについて説明し

  • $\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$が線形独立であること
  • $|A|\neq0$をみたすこと

は同値となりそうであることを説明しました(このことは次の記事で証明します).

また,以前の記事で既に説明したように

  • $\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$が線形独立であること
  • $A$が正則であること

が同値でしたから,結局は行列式$|A|$が0であるか否かを考えることにより$A$の正則性を判定することができます.

さて,行列式のイメージが$n$次元の立体であるといっても,$n$次元を考えるのは難しいため実際に行列式$|A|$を定義するには置換を用いることがほとんどです.

この記事では,置換の考え方と性質を説明します.

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線形代数6|行列の正則性を判定できる行列式のイメージ

前回の記事までで,行列とベクトルの基本的な考え方について説明しました.

とくに前回の記事では,正方行列$[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$が正則であることと,$\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$が線形独立であることを示しました.

これまでは線形独立性を確認するために$[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$を基本変形を施してランクを求めてきましたが,別のアプローチで線形独立性を確認する方法を考えましょう.

そこで便利なのが正方行列の行列式です.

正方行列$[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$の行列式のイメージは$\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$が張る$n$次元立体の体積ですが,学ぶ段階の問題としていきなり$n$次元で考えるのは難しいでしょう.

そこで,この記事では

  • 2次正方行列の行列式の定義とイメージ
  • 一般の$n$次正方行列の行列式のイメージ

について説明します.

なお,この記事では実数$\R$を中心に説明しますが,複素数$\C$など一般の体に対しても同様です.

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線形代数5|線形独立のイメージと線形独立性とランクの関係

行列に関して重要な量として,ランク(階数)がありました.

ランクを考えることで

  • 正方行列が正則であるための条件
  • 連立1次方程式が解を持つための条件

などが分かるのでした.

前回の記事まででは,このランク(階数)は基本変形によって考えてきましたが,ベクトルの線形独立という考え方をもとにしても考えることができます.

線形独立性はとても重要な概念で,線形代数学全体において頻繁に現れます.

この記事では

  • ベクトルの線形独立を定義し
  • 線形独立性と行列のランクの関係

を説明します.

なお,この記事では実数$\R$を中心に説明しますが,複素数$\C$など一般の体に対しても同様です.

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最小二乗法から求めた回帰直線の性質と決定係数の意味

例えば「気温」と「アイスの売り上げ」のような2つのデータの関係を散布図に表し,その関係を「それっぽい直線や曲線」で表すことを回帰分析というのでした.

また,回帰分析における「それっぽい直線」のことを回帰直線といい,回帰分析を行う際には最小二乗法がよく使われます.

この最小二乗法を用いた回帰直線の求め方については以前の記事で説明しました.

この記事では,回帰直線が満たす性質を考え,回帰直線がどれくらい「それっぽいか」を表す決定係数について説明します.

なお,回帰直線の求め方については,以下の記事を参照してください.

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シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出

前回の記事では,初期値$u_0=u(0,x)$に対する自由Schrödinger方程式

    \begin{align*} i\partial_t{u}(t,x)+\Delta u(t,x)=0 \end{align*}

の解$u=e^{it\Delta}u_0$について成り立つ[$L^pL^q$評価]を示しました.

この記事では,Schrödinger(シュレディンガー)方程式を考える際に重要な不等式である[Strichartz(ストリッカーツ)評価]を説明します.

[$L^pL^q$評価]は端点の場合を示し,間の組$(p,q)$に対しては補間定理を用いることで示すことができるのでした.

なお,Schrödinger方程式の[Strichartz評価]は,歴史的にはより古い波動方程式に関する[Strichartz-Brenner評価]に対応します.

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LaTeXコマンド集4|括弧の種類と大きさを変える方法

括弧かっこのLaTeXコマンドを紹介します.

数学においては様々な括弧が用いられますが,括弧の中身によって適切な大きさの括弧は変わりますね.

LaTeXには,中身に合わせて自動で適切な括弧の大きさに変化させることができるコマンドがあります.

なお,本稿では以下のように3つのパッケージ

  • amsmath.sty
  • amsfonts.sty
  • amssymb.sty

を用います.

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LaTeXコマンド集3|数学で使う様々な矢印を出力する

矢印のLaTeXコマンドを紹介します.

単純な上下左右の向きの矢印だけでなく,斜め向きや様々な形の矢印をLaTeXによって出力できます.

また,矢印の上下に文字を記述する矢印もあります.

なお,本稿では以下のように3つのパッケージ

  • amsmath.sty
  • amsfonts.sty
  • amssymb.sty

を用います.

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常微分方程式の解の存在と一意性|逐次近似法のイメージ

例えば,初期条件$x(0)=x_0$を満たす常微分方程式

    \begin{align*} \od{x}{t}(t)=-tx(t) \end{align*}

は適切な定義域において解をただ一つもちます.

このことは[Picard(ピカール)-Lindelöf(リンデレフ)の定理]により示されます.

この[Picard–Lindelöfの定理]は常微分方程式の解を帰納的に近似していく方法により証明されますが,この近似の方法を[Picardの逐次近似法]といいます.

この記事では

  • [Picardの逐次近似法]の具体例
  • [Picard-Lindelöfの定理]の内容と証明

の2つを説明します.

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LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方5|領域に色を塗る

一連の前回の記事までは,TikZによる

  • 直線・円・楕円といった基本的な描線
  • 点線や矢印や色など線のスタイル
  • $y=f(x)$の基本的なグラフ,媒介変数表示された方程式,極方程式などの描き方
  • 便利な座標の定義や,座標計算の方法

など「描線」について説明してきました.

この記事では「領域」の塗り方について説明します.

TikZで領域が塗れるようになると,図による表現の幅が大きく広がりますね.

なお,本稿では以下のように3つのライブラリintersections, calc, arrowsを用います.

なお,ライブラリについては最初の記事で説明しています.

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ベクトル解析の基本の微分公式のまとめ|gradとdivとrot

ベクトル解析において,3つの微分作用素

  • 勾配$\operatorname{grad}$
  • 発散$\operatorname{div}$
  • 回転$\operatorname{rot}$ ($\operatorname{curl}$)

は基本的で,多くの場面で現れます.

とくに積に関する微分(例えば$\operatorname{div}{f\m{v}}$, $\operatorname{grad}(fg)$など)はよく現れ,これは公式として当たり前に使えるようになっておきたいところです.

この記事では,これら3つの基本の微分作用素の

  • 和の微分公式
  • 積の微分公式
  • 内積/外積の微分公式

をまとめます.

なお,それぞれの微分作用素の定義とイメージについては以下の記事を参照してください.

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