微分積分学の基本定理とその証明

 
 

「積分」を定義するときの1つの方法として,「Riemann和の極限(長方形近似)」を用いて積分を定義する方法がある.

この面積による積分を「Riemann積分」というが,Riemann積分を定義から計算しようとすると積分はRiemann和から計算しなければならず,計算は面倒になる.

そこで,Riemann和を経由せずに積分を計算するための定理として,「微分積分法の基本定理」がある.

この「微分積分法の基本定理」によって,積分はRiemann和を求めずとも,原始関数によって計算できることが分かる.

なお,高校数学においては「積分は微分の逆演算」として定めるが,この定義によれば「微分積分学の定理」は明らかである.しかし,積分が求積に用いられてきたという側面を見れば,この定義はいくぶん不自然である.

この記事では,「微分積分学の基本定理」の主張とその証明を述べる.

この記事での「積分」は,全てRiemann積分を指すものとする.

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双対性議論(duality argument)について

 
 

p\in[1,\infty)に対して,p'=\bra{1-\f{1}{p}}^{-1}p'\in(1,\infty]を定める(すなわち,pp'はHölder共役).このとき,L^{p}の共役空間(双対空間)(L^{p})^{*}L^{p'}と同型であることはよく知られているが,この事実を示すことは簡単ではない.

しかし,この双対的な議論をするとき,(L^{p})^{*}\cong L^{p'}まで用いる必要はなく,次の事実だけで十分なことも多い:

任意のv\in L^{p'}(\Omega)に対して,

\|v\|_{L^{p'}(\Omega)} =\sup\limits_{\|u\|_{L^{p}(\Omega)}=1}\abs{\dint_{\Omega}u(x)v(x)\,dx}

が成り立つ.

この事実は比較的容易に証明することができる.

なお,この記事では,\Omega\subset\R^{N}に対して,I_{\Omega}\Omega\subset\R^{N}上の定義関数とする.

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フビニの定理,トネリの定理,フビニ-トネリの定理のまとめ

 
 

測度空間XYに対して,重積分\dint_{X\times Y}f(x,y)\,d(x,y)と累次積分(逐次積分)\dint_{Y}\bra{\dint_{X}f(x,y)\,dx}\,dyは一致するとは限らない.

[Fubini(フビニ)の定理][Tonnelli(トネリ)の定理]は二重積分と累次積分が一致するための十分条件を述べたものであり,非常に重要な解析学の定理である.また,[Fubiniの定理]と[Tonelliの定理]を組み合わせた[Fubini-Tonelliの定理]と呼ばれる定理も存在する.

[Fubiniの定理],[Tonelliの定理],[Fubini-Tonelliの定理]を総称して「Fubiniの定理」と呼ぶ場合もある.

この記事では,[Fubiniの定理],[Tonelliの定理],[Fubini-Tonelliの定理]を概説する.

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リース-ソリンの複素補間定理とその証明

   

作用素の中でも,有界作用素は様々な良い性質をもつ.

作用素の有界性を保証する定理の一つとして,[Riesz(リース)-Thorin(ソリン)の複素補間定理]がある.

[Riesz-Thorinの複素補間定理]は以下のように述べられる.

作用素TL^{p_{0}}からL^{q_{0}}への有界作用素,かつL^{p_{1}}からL^{q_{1}}への有界作用素でもあるとき,TL^{p_{\theta}}からL^{q_{\theta}}への有界作用素となる.

ここに,p_{\theta},q_{\theta}は次の通りである.

p_{\theta}:=\left(\dfrac{1-\theta}{p_{0}}+\dfrac{\theta}{p_{1}}\right)^{-1}q_{\theta}:=\left(\dfrac{1-\theta}{q_{0}}+\dfrac{\theta}{q_{1}}\right)^{-1}

[Riesz-Thorinの複素補間定理]の証明には,[Hadamard-Phragmén-Lindelöfの三線定理]を用いる.

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1パラメータユニタリ群に関するストーンの定理

 
 

この記事では,「1パラメータユニタリ群に関するMarshall Harvey Stone(ストーン)の定理(以下,Stoneの定理)」を説明する.

Stoneの定理はHilbert空間上の作用素の族\{T_t\}_{t\in\R}がユニタリ群であるための必要十分条件を述べる定理である.

また,類似の定理としてはHille-Yosidaの定理があり,こちらはBanach空間上の線形作用素Aが半群\{T_t\}_{t\in\R}の生成作用素となる必要十分条件を述べる定理である.

Stoneの定理はHille-Yosidaの定理により証明できるが,歴史的にはStoneの定理の方が古い.

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H28院試/大阪市立大学/数物系専攻/数学系/専門分野

 
 

平成28年度/大阪市立大学大学院/理学研究科/数物系専攻/数学系の大学院入試問題の「専門分野」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は大阪市立大学のサポートセンターで借りて,コピーすることはできます.

【参考:大阪市立大学/理学部・理学研究科/大学院入試情報

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H29院試/京都大学/数学・数理解析専攻/基礎科目

 
 

平成29年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「基礎科目」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

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H26院試/京都大学/数学・数理解析専攻/専門科目

 
 

平成26年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「専門科目」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

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H27院試/京都大学/数学・数理解析専攻/専門科目

 
 

平成27年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「専門科目」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

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H28院試/京都大学/数学・数理解析専攻/専門科目

 
 

平成28年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「専門科目」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

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