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商集合の考え方と具体例|同値関係はただのグループ分け

集合論には二項関係という概念がありますが,二項関係の中でもある性質を満たすものを同値関係といいます.

最初に「同値関係」と聞くと語感からキツい印象を受けてしまいますが,実際にはただの「グループ分け」の考え方を数学的に定式化したものにほかなりません.

とはいえ,同値関係は数学の様々な分野に現れる概念であり,縁の下の力持ちともいえます.例えば

  • 代数学では剰余群G/N
  • 幾何学では射影空間\K P_n
  • 解析学ではLebesgue(ルベーグ)空間L^p(\R^n)

などは商集合の一種で,定義には同値関係が必要です.

この記事では,同値関係の基本的な考え方と,同値関係の具体例を考えます.

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無理数は有理数よりも多い?|対角線論法による濃度差の証明

たとえば

  • \frac{2}{3}=0.66666\dots
  • -\frac{1}{5}=-0.20000\dots

のように,(整数)/(整数)の形の分数は小数に直すと必ず循環する小数で表すことができ,このような数を有理数というのでした.

一方で,循環小数で表せない実数のことを無理数といい,例えば\sqrt{2}などがありますね.

義務教育下では,有理数は小学校以来扱ってきますが,無理数は中学数学で2次方程式を解くために導入される平方根に関連して\sqrt{\quad}が現れるのが最初でしょう.

さて,この記事では「無理数と有理数はどちらの方が多いでしょう?」という問題を考えますが,この問題に対してどのように考えれば良いでしょうか?

いろいろ考えるところはあると思いますが,モノの多さを計る指標として数学には濃度というものがあり,濃度を考えると「無理数の方が多い」ということができます.

この記事では濃度の基本的な考え方を説明し,「有理数が無理数よりも多い」ということを前提知識が少ない人にも分かるように,なおかつそれなりに数学的に説明します. 続きを読む


3次方程式の解の公式|「カルダノの公式」の導出と歴史

2次方程式ax^2+bx+c=0の解が

    \begin{align*} x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}

であることはよく知られており,これを[2次方程式の解の公式]といいます.

そこで[2次方程式の解の公式]があるなら[3次方程式の解の公式]はどうなのか,と考えることは自然なことと思います.

歴史的には[2次方程式の解の公式]は紀元前より知られていたものの,[3次方程式の解の公式]が発見されるには16世紀まで待たなくてはなりません.

このように,[3次方程式の解の公式]は存在すら永らく知られていませんでした.

この記事では,[3次方程式の解の公式]として知られる「カルダノの公式」の歴史と導出について説明します.

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ガウス積分はどうやって求める?|極座標変換による計算

不定積分\dint e^{-x^2}\,dxは多項式,三角関数,指数・対数といった初等関数で表せないことが知られていますが,広義積分

    \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx \end{align*}

の値は計算することができます.

この広義積分はGauss(ガウス)積分Euler-Poisson(オイラー-ポアソン)積分などと呼ばれており,値が\sqrt{\pi}になることが知られています.

一般にf(x)=Ae^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}で定まる関数f(x)Gauss関数と呼ばれ,確率の分野では正規分布において本質的な関数です.

Gauss積分はA=1, 2\sigma^2=1, \mu=0の場合のGauss関数の実数全体での積分というわけですね.

この記事では,Gauss積分の値が\sqrt{\pi}になることを極座標変換を用いて計算します.

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シュワルツ空間の定義と完備性|急減少関数の空間を考える

|x|\to\inftyのときに任意の多項式より速く減衰する関数を急減少関数 (rapidly decreasing function)といいます.

また,急減少関数全部の集合をSchwartz(シュワルツ)空間といい,Fourier(フーリエ)変換と密接な関係をもつなど重要な関数空間の1つです.

例えば,有界区間I上で1回連続微分可能な関数の空間C^1(I)

    \begin{align*} \|f\|:=\sup_{x\in I}|f(x)|+\sup_{x\in I}|f'(x)| \end{align*}

をノルムとして完備となります.

このように,適当な性質をもつ可算個のセミノルムの族を備えた完備な空間をFréchet空間といい,実はSchwartz空間もFréchet空間です.

この記事では,Schwartz空間を定義し,完備性を証明します.

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フレシェ空間とは?|セミノルムから距離空間を定義する方法

以下の3つの性質を満たす実(または複素)線形空間V上の関数\|\cdot\|:V\to\RV上のノルムというのでした:

  1. 非退化性:\|\m{v}\|=0\Ra\ \m{v}=0 (\m{v}\in V)
  2. 斉次性:\|\alpha \m{v}\|=|\alpha|\|\m{v}\| (\alpha\in\R\ \mrm{or}\ \C), \m{v}\in V)
  3. 劣加法性:\|\m{u}+\m{v}\|\le \|\m{u}\|+\|\m{v}\| (\m{u},\m{v}\in V)

ノルムを備えたベクトル空間(V,\|\cdot\|)ノルム空間といい,ノルム空間は自然に距離空間とみなすことができるのでした.

さて,ノルムの性質のうち非退化性を満たさない関数V\to\Rセミノルムといいます.

セミノルムを1つ用意するだけではベクトル空間は距離空間とみなすことはできませんが,適当なセミノルムを用意することによりベクトル空間を距離空間とみなすことができます.

さらに,このセミノルムにより定められた距離空間が完備であるとき,この空間をFréchet(フレシェ)空間といいます.

この記事では,

  • 適当な性質を持つセミノルムの族により複素線形空間は距離空間とみなせることを説明し
  • Fréchet空間の定義と具体例を説明します

なお,この記事では全て複素線形空間で考えますが,実線形空間に対してもFréchet空間は同様に定義できます.

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線形代数4|連立1次方程式が解をもつ条件と解の自由度

中学校以来よく扱ってきた\m{x}の連立1次方程式は,行列Aとベクトル\m{c}を用いてA\m{x}=\m{c}と表すことができるのでした.

このことからも分かるように連立1次方程式は線形代数学と密接に関わっており,実際に線形代数学の基礎を理解する上で連立1次方程式を理解することは非常に重要です.

連立1次方程式A\m{x}=\m{c}

  • 係数行列のランク\rank{A}
  • 拡大係数行列のランク\rank{[A,\m{c}]}

を比べることで,解をもつ条件を求めることができます.

この記事では,「係数行列」と「拡大係数行列」,行列の「ランク」について復習をしたのち,

  • 連立1次方程式が解をもつ条件
  • 解の自由度

を考えます.

なお,この記事では実数\Rを中心に説明しますが,複素数\Cなど一般の体に対しても同様です.

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ガンマ関数は階乗の一般化|定義と基本的性質

5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1のように,正整数nに対して「階乗n!」はn以下の全ての正整数の積を表します.

そこで実数や複素数に「階乗」を拡張するにはどのように考えればよいでしょうか?

結論から言えば,「階乗の一般化」として「\Gamma(ガンマ)関数」とよばれる関数があります.

積分で表される\Gamma関数は実数だけでなく,複素数に対しても定義できる場合もあり,様々な場面で用いられます.

この記事では,\Gamma関数の基礎を説明します.

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距離空間の定義のイメージと具体例|ノルム空間との関係

大学数学において,「距離空間」は位相空間論で学ぶことになります.

大雑把に言えば,距離空間とは「2点間の離れ具合が数値で表される空間」のことであり,我々が中学・高校以来扱ってきた数直線,xy平面,xyz空間などは距離空間の1つです.

また,距離空間は位相空間の例としても重要で,良い位相的な性質をもちます.

この記事では,

  • 距離空間の定義のイメージ
  • 距離空間の具体例

を説明し,最後に距離空間に似たノルム空間との関係を説明します.

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線形代数3|行列のランクと,行列が逆行列をもつための条件

0でない全ての実数は逆数を持ちますが,行列の場合は零行列でなくても正方行列が逆行列を持たないこともあります.

行列が逆行列を持つかどうかの判定する方法の1つに,行列のランクを求める方法があります.

行列のランクは前回の記事で考えた行列の基本変形に基づいて定義することができます.

この記事では行列の正則性(逆行列を持つかどうか)を調べることを目的としますが,ランクは行列を考える上で様々な場面に登場する大切な概念ですから,しっかり考え方を理解してください.

なお,この記事では実数\Rを中心に説明しますが,複素数\Cなど一般の体に対しても同様です.

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