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書評|統計検定2級対応 統計学基礎(日本統計学会編)

本記事では

「統計検定2級対応 統計学基礎」
(日本統計学会編,東京図書)

の紹介をする.

統計検定は日本統計学会が実施する検定で,階級としては

  • 1級
  • 準1級
  • 2級
  • 3級
  • 4級

がある.

本書「統計学基礎」は日本統計学会公式認定の統計検定2級の教科書である.

本書は改訂版が発行されており,より統計検定2級の範囲に即した内容となっている.

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書評|集合・位相入門(松坂和夫著,岩波書店)

本記事では

「集合・位相入門」
(松坂和夫 著,岩波書店)

の紹介をする.

1968年の発刊以来,本書は

  • 集合論
  • 位相空間論

の入門書として,半世紀以上にわたり売れ続けている超ロングセラーの教科書で,今なお多くの大学の集合・位相の授業で教科書として使われている.

なお,2018年に新装版が発売されたことからも,いかに良い教科書であるかが分かるであろう.

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書評|演習 大学院入試問題[数学](サイエンス社)

本記事では,

「演習 大学院入試問題[数学]I」
「演習 大学院入試問題[数学]II」

(姫野俊一,陳啓浩 共著,サイエンス社)

の紹介をする.

本書は数学系の大学院入試のための問題集であり,第I巻,第II巻の2巻構成である.

各分野の最初には基本事項が簡単にまとめられており,知識の抜けがないかの簡単なチェックとしても利用できる.

問題数が多く,基本問題が多く扱われているので,大学院入試の基礎固めとして最適と言える.

また,計算が必要となる問題もあるので,基礎的な計算練習としても利用できる.

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不偏分散ってなに?|不偏推定量を考え方から理解する

例えば「日本人全体の平均」などを考えたいとしても,日本人全員にアンケートをとることは現実的には不可能ですが,無作為にアンケートをとって大まかに実態を推測することは可能です.

標本から推測を行う場合には,不偏推定量の概念が重要な場合があります.

不偏推定量は母集団の統計量の「良い」推測ができる標本の統計量の1つです.

とくに,分散の不偏推定量は不偏分散として計算でき,この不偏分散はなんだかよく分からないものとして敬遠されがちなものです.

この記事では,不偏推定量の考え方を説明し

  • 平均の不偏推定量
  • 分散の不偏推定量

を考えます.

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線形代数2|連立1次方程式の掃き出し法と行列の基本変形

たとえば

    \begin{align*} \begin{cases}x+y+z=2\\x+2y+3z=4\end{cases} \end{align*}

のように,いくつかの1次方程式を同時に満たす複数の未知数に関する方程式を連立1次方程式といいます.

連立1次方程式の解法として加減法がありますが,加減法は行列を考えることによって本質的に全く同じことができ,この行列を用いた解法を掃き出し法といいます.

加減法は掃き出し法から自然に考えることのできる解法であるが,この掃き出し法を基にして線形代数の理論が組み立てられる重要な考え方です.

なお,この記事では実数\Rを中心に説明しますが,複素数\Cなど一般の体に対しても同様です.

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H30院試/京都大学/数学・数理解析専攻/基礎科目

平成30年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「基礎科目」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

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バナッハの不動点定理|完備距離空間の縮小写像の不動点

写像f:X\to Xを施しても変化しない,すなわちf(x)=xを満たす点x\in Xf不動点といいます.

不動点に関する定理は様々なものがあり,[Banach(バナッハ)の不動点定理]もその1つです.

[Banachの不動点定理]は完備距離空間X上の縮小写像に関する不動点定理で,別名[縮小写像の定理]とも呼ばれています.

例えば,常微分方程式の解の存在と一意性を証明する方法としてPicard(ピカール)の逐次近似法(Picard–Lindelöfの定理)がありますが,これは本質的に[Banachの不動点定理]です.

この記事では,[Banachの不動点定理]について説明したのち,この定理の証明をします.

なお,[Picardの逐次近似法]については以下の記事を参照してください.

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一様可積分性の判定条件|十分条件と必要十分条件

一様可積分性をもつ確率変数列は,積分と極限の順序交換に関する[Vitaliの収束定理]が成り立つ.

[Vitaliの収束定理]は一様可積分な確率変数列が0に概収束していれば,期待値も0に収束することが言えるため,[Lebesgueの収束定理]とは違って優関数をとってこなくても適用できる点が大きなメリットである.

この[Vitaliの収束定理]については前回の記事で説明したので参照されたい.

したがって,[Vitaliの収束定理]を適用するには,確率変数列が一様可積分であることを判定する必要がある.

今回の記事では一様可積分性が成り立つための

  • 十分条件
  • 必要十分条件

を説明する.

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一様可積分とヴィタリの収束定理|ルベーグの収束定理の一般化

前回の記事で,確率変数列の基本の収束については

  • 概収束と平均収束の間に関係はなく
  • 確率収束しても平均収束しない

のであった.しかし,一様可積分性のもとで確率変数列の収束を考えると,

  • 概収束すれば1次平均収束する
  • 1次平均収束と確率収束は同値である

ということが示される.

とくに前者は[Vitali(ヴィタリ)の収束定理]と呼ばれ,[Lebesgue(ルベーグ)の収束定理]の一般化となっている.

この記事で[Vitali(ヴィタリ)の収束定理]の証明をし,一様可積分性のもとで1次収束平均と確率収束が同値であることは次の記事で証明する.

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確率変数の4つの収束|概収束,平均収束,確率収束,法則収束

確率変数列\{X_n\}_{n\in\N}の収束として,

  • 概収束
  • 確率収束
  • 平均収束
  • 法則収束

の4種類が基本的である.

これらの間には,たとえば確率収束する確率変数は法則収束するように,これらの収束の間に強弱の関係がある.

この記事では,これらの収束の定義を述べたあと,これらの収束の条件の強さを比較する.

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