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LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方3|グラフの描き方

TikZではy=x^2+xy=\sin{x}などといったy=f(x)の陽関数だけでなく,媒介変数表示された点(x(t),y(t))のグラフを描くこともできる.

関数のグラフを書くための三角関数,指数関数,対数関数のコマンドも用意されており,初等関数はほぼ問題なく描くことができる.

もちろん前回の記事で説明した線のスタイルの変更も行えるので,重要なグラフは太くするといった描画も可能である.

また,極座標表示も可能なので,この記事で説明する.

したがって,極座標表示を用いることにより,極方程式のグラフも描くことができる.

なお,本稿では以下のように2つのライブラリ”intersections”,”calc”を用いる.

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LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方2|線のスタイル

前回の記事では,TikZを使うための環境について説明し,基本的な線分や曲線の描き方を説明した.

この記事では,描線について

  • 太さを変える
  • デザイン(点線や破線)にする
  • 矢印にする

といったスタイルを変える方法を説明する.

スタイルをコントロールできれば,図の表現の幅が飛躍的に広がる.

ただし,本稿では以下のように2つのライブラリ”intersections”,”calc”を用いる.

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LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方1|基本的な描線

LaTeXで図を扱いたいとき,もともと画像ファイルを作っておいて,それをgraphicxなどのパッケージで挿入する方法がある.

しかし,図とLaTeXの文字のバランスの調整が難しかったり,図の挿入が綺麗に挿入できないことも少なくない.

そこで,本稿ではTeXファイルに直接記述することで,直線,曲線,グラフなどの図を描くことができるパッケージのTikzのLaTeXでの使い方を紹介する.

画像ファイルを挿入する方法だと,図に修正を加えたいときに別ソフトで画像ファイルの編集をする必要がある.

一方,直接記述して表示できるTikZを用いれば,図の修正がTeX上で完結する.これはメリットであろう.

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ガウス関数のフーリエ変換を実際に計算する

Fourie変換は「関数を波の和で表す」という発想に基づいた変換であり,理工系の様々な分野で重宝される.

G(x)=Ae^{-\eta x^2} (x\in\R)で定まる関数Gを(1次元の)Gauss(ガウス)関数(Gaussian/ガウシアン)いい,Gauss関数は正規分布の確率密度関数として知られ,Gauss関数はFourier変換を施してもGauss関数であるという性質をもつ.

Fourier変換を数学的に定義するには,ある程度の条件(可積分性など)が必要である.具体的には,Lebesgue可積分であるような関数には,Fourier変換を定義することができる.

本記事では,Gauss関数にFourier変換が定義できることを説明し,Gauss関数のFourier変換が再びGauss関数になることを計算により確かめる.

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バナッハ空間とヒルベルト空間の完備でない部分空間の例

完備なノルム空間をBanach(バナッハ)空間といい,完備な内積空間をHilbert(ヒルベルト)空間という.

Banach空間(Hilbert空間)はもとより線型空間なので,線型空間としての部分空間を考えることができる.この部分空間に元の空間と同じノルム(内積)を与えたものはノルム空間(内積空間)となるが,完備性を持つとは限らない.

すなわち,Banach空間の部分空間が同じノルムでBanach空間になるとは限らないし,Hilbert空間の部分空間が同じ内積でHilbert空間になるとは限らない.

本稿では,Hilbert空間の部分ノルム空間で完備でないものの例を考える.その際,以下の事実に注意する.

一般に,Banach空間,Hilbert空間の部分空間が同じノルムで完備であるためには,部分空間が閉であることが必要十分である.したがって,Banach空間,Hilbert空間の閉でない部分ノルム空間は完備でない.

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シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出

この記事ではSchrödinger(シュレディンガー)方程式に関して,非常に重要な役割を果たすStrichartz評価とその証明を解説する.

Strichartz(ストリッカーツ)評価は,波動方程式に関する不等式評価であるStrichartz-Brenner評価に対応し,歴史的にはStrichartz-Brenner評価の方が古い.

Strichartz評価の証明のためには,「自由Schrödinger発展作用素e^{it\Delta}の分散型評価(分散評価)」と「Hardy-Littlewood-Sobolervの不等式」を用いることになる.

なお,自由Schrödinger発展作用素e^{it\Delta}は,初期値u_0に対して自由Schrödinger方程式

    \begin{align*} i\partial_t{u}+\Delta{u}=0 \end{align*}

の解e^{it\Delta}u_0を表す作用素e^{it\Delta}のことである.

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書評|詳解と演習 大学院入試問題<数学>(数理工学社)

本記事では,

「詳解と演習 大学院入試問題<数学> 大学数学の理解を深めよう」
(海老原円・太田雅人 著/数理工学社)

の紹介をする.

本書は数学系の大学院入試のための問題集であり,重要な頻出問題を中心に構成されている.

また,各分野の最初には基本の解説がなされており,復習としても利用できる.

解答例の行間が少なく,考え方のポイントなども解説されており,非常に読みやすい問題集である.

とはいえ,簡単な問題だけでなく,東京大学や京都大学といった国公立大の問題も数多く掲載されている.

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ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数

1つ問題を考える.aを実数として,f:\R\to\R;x\mapsto axで定まる関数fが等式

    \begin{align*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{align*}

をみたすことは簡単に分かるが,逆にこの等式を満たす関数f:\R\to\R

    \begin{align*} f(x)=ax\quad(a\in\R) \end{align*}

の形のものに限るだろうか?

実は,Hamel(ハメル)基底というものを用いれば,f(x+y)=f(x)+f(y)を満たすがf(x)=axの形をしていない関数f:\R\to\Rの存在を示すことができる.

この記事では,

  • Hamel基底を説明し,
  • f(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数f:\R\to\R

を考える.

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[ベクトル空間の基底]と[ハメル基底]の存在の証明

Zorn(ツォルン)の補題は選択公理と同値な存在定理であり,Zornの補題を用いることで様々なものの存在を証明することができる.

例えば,この記事で扱う

  • ベクトル空間における基底
  • Hamel基底

の存在は両者ともZornの補題によって証明することができる.

なお,Hamal基底のイメージなどについては以下の記事でも説明しているので参照されたい.

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群と環と体の定義とそれらの例

代数学は数学の構造を研究する分野であり,群(group),環(ring),体(field)上において理論が展開されることが非常に多い.

群,環,体といった代数構造を定義するためには,「集合」と「演算」が必要となる.

例えば,

  • 整数の集合\Zは通常の加法+によって「群」となる
  • 実数係数の1変数多項式\R[x]の集合は通常の加法+と乗法\cdotによって「環」となる
  • 実数の集合\Rは通常の加法+と乗法\cdotによって「体」となる

この記事では,最初に「2項演算」を説明し,そのあとに群,環,体の定義とそれらの例を挙げる.

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