リース-ソリンの複素補間定理とその証明

   

作用素の中でも,有界作用素は様々な良い性質をもつ.

作用素の有界性を保証する定理の一つとして,[Riesz(リース)-Thorin(ソリン)の複素補間定理]がある.

[Riesz-Thorinの複素補間定理]は以下のように述べられる.

作用素TL^{p_{0}}からL^{q_{0}}への有界作用素,かつL^{p_{1}}からL^{q_{1}}への有界作用素でもあるとき,TL^{p_{\theta}}からL^{q_{\theta}}への有界作用素となる.

ここに,p_{\theta},q_{\theta}は次の通りである.

p_{\theta}:=\left(\dfrac{1-\theta}{p_{0}}+\dfrac{\theta}{p_{1}}\right)^{-1}q_{\theta}:=\left(\dfrac{1-\theta}{q_{0}}+\dfrac{\theta}{q_{1}}\right)^{-1}

[Riesz-Thorinの複素補間定理]の証明には,[Hadamard-Phragmén-Lindelöfの三線定理]を用いる.

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1パラメータユニタリ群に関するストーンの定理

 
 

この記事では,「1パラメータユニタリ群に関するMarshall Harvey Stone(ストーン)の定理(以下,Stoneの定理)」を説明する.

Stoneの定理はHilbert空間上の作用素の族\{T_t\}_{t\in\R}がユニタリ群であるための必要十分条件を述べる定理である.

また,類似の定理としてはHille-Yosidaの定理があり,こちらはBanach空間上の線形作用素Aが半群\{T_t\}_{t\in\R}の生成作用素となる必要十分条件を述べる定理である.

Stoneの定理はHille-Yosidaの定理により証明できるが,歴史的にはStoneの定理の方が古い.

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H28院試/大阪市立大学/数物系専攻/数学系/専門分野

 
 

平成28年度/大阪市立大学大学院/理学研究科/数物系専攻/数学系の大学院入試問題の「専門分野」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は大阪市立大学のサポートセンターで借りて,コピーすることはできます.

【参考:大阪市立大学/理学部・理学研究科/大学院入試情報

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H29院試/京都大学/数学・数理解析専攻/基礎科目

 
 

平成29年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「基礎科目」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

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H26院試/京都大学/数学・数理解析専攻/専門科目

 
 

平成26年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「専門科目」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

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H27院試/京都大学/数学・数理解析専攻/専門科目

 
 

平成27年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「専門科目」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

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H28院試/京都大学/数学・数理解析専攻/専門科目

 
 

平成28年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「専門科目」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

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H26院試/京都大学/数学・数理解析専攻/基礎科目II

 
 

平成26年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「基礎科目II」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

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H26院試/京都大学/数学・数理解析専攻/基礎科目I

 
 

平成26年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「基礎科目I」の解答の方針と解答です.

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なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

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H27院試/京都大学/数学・数理解析専攻/基礎科目II

 
 

平成27年度/京都大学大学院/理学研究科/数学・数理解析専攻の大学院入試問題の「基礎科目II」の解答の方針と解答です.

ただし,採点基準などは公式に発表されていないため,ここでの解答が必ずしも正解とならない場合もあり得るので注意してください.

なお,過去問は京都大学のホームページから入手できます.

【参考:京都大学数学教室の過去問

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