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線形代数1|行列の積の定義はどうしてこうなる?

線形代数は行列ベクトルを用いて記述されます.

行列とベクトルは線形代数の最初にパッと定義されることが多く,「そういうもの」という程度の理解で曖昧なまま読み進めてしまうことも多いです.

行列は多変数の1次式を簡単に表すことができるというメリットがあります.

この記事では,このメリットを感じるために,最初に行列とベクトルのイメージを掴むところから説明します.

また,行列の積をどうしてそのように定義するのか理解に苦しむ人も多いのですが,これもイメージが掴めていると自然な発想に基づいている事が分かります.

なお,この記事では実数\Rを中心に説明しますが,複素数\Cなど一般の体に対しても同様です.

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線形代数の初学者のための道案内|線形代数のイメージを知る

「線形代数学」は大学以降の数学の基盤になる基礎的な分野で,多くの理系大学生が1年生で習うことになります.

線形代数学は他のほとんどの数学の分野で使われると言ってもいいほど大切な分野なので,とくに理論系の学科の人はここでコケてしまうと2年生以降がかなり厳しくなってしまいます.

定義や定理を覚えることは大切ですが,理論の大枠のイメージを持っていれば丸覚えすることなく自然に理解して覚えることができます.

数学では定義や定理は抽象的に表されることが多いですが,その裏には「やりたいこと」があります.

この「やりたいこと」のイメージを理解しておかないと,一体何をやっているのか分らなくなってしまいます.数学は数式が先にあるのではなく,やりたいことが最初にありそれを表現するために数式を用いるだけです.

大学の学部で学ぶ線形代数学はJordan標準形あたりまでを学ぶことが多いです.

この記事では線形代数学の初学者のために,Jordan標準形あたりまでの線形代数学の全体像を見ていきます.

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偏相関係数の考え方と定義式|回帰直線を用いて導出する

1日の「プールの利用者数」と「アイスの売り上げ」と記録すると,これらは正の相関があります.

しかし,常識的に考えて「プールの利用者数が多くなるからアイスの売り上げが上がる」わけではないし,この逆の「アイスの売り上げが上がるからプールの利用者数が多くなる」わけでもありません.

このように,相関とは「片方が大きいときに他方も大きいかどうか」を考えるものなので,「因果関係」までは分かりません.

さて,「プールの利用者数」と「アイスの売り上げ」を変化させる原因としては「気温」が挙げられます.

よって,「気温」の変化による「プールの利用者数」と「アイスの売り上げ」の影響を除いたものの相関を考えると相関関係は見られないのではないかと予想ができます.

このように,ある特定の影響を除いて考える相関係数のことを偏相関係数といいます.

この記事では,偏相関係数の考え方と導出法を説明します.

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回帰分析の目的|最小二乗法から回帰直線を求める方法

例えば,「気温」と「アイスの売り上げ」の間にどのような関係性があるのかを考えたいとき,散布図を描いて視覚的に考えることはよくありますね.

ただ,散布図から「データの分布を見て,気温が高いほどアイスの売り上げが良い」と主張しても良いですが,より定量的に説明した方が説得力が増すことには異論の余地はないでしょう.

そこで,「見た感じ」ではなく数学的にきっちりとこの相関を表現するための方法として,回帰分析という方法があります.

回帰分析を用いると,「気温」と「アイスの売り上げ」の間の相関の強さをグラフとして視覚的に捉えることができるので,よりハッキリと人に説明することができます.

この記事では,最小二乗法を使った回帰分析の考え方を説明します.

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最尤推定法の考え方|データから分布を推定する方法

何らかの全国規模の調査を行いたいとき,対象者全員に調査することができれば最もよいですが,それは時間やコストなどの面から現実的ではありません.

ですから,対象者の一部に調査を行い,そこで得られたデータから対象者全員の分布を推測することになります.

その推測の方法は色々ありますが,その1つに最尤推定法というものがあり,名前の通り「最もそれっぽい分布を推定する方法」です.

「最尤推定法」という名前を聞くといかめしい印象を受けますが,(実際の計算はともかく)実は考え方はシンプルでそれほど難しいものではありません.

この記事では,最尤推定法の考え方を説明し,最尤推定法の使い方をみます.

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LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方4|座標の定義と計算

例えば,座標上の点(1,2)を何度も用いるなら,(1,2)を何度も書くのは面倒です.

TikZでは点(1,2)を(A)と定義することができ,(A)と書けばこれを全て点(1,2)として処理させることができます.

こうすると,(1,2)(3,2)に書き換えたいとき,(A)の定義を(3,2)に書き換えるだけで全ての(1,2)(3,2)に置き換わりとても便利です.

このように点の定義は適切に利用すれば,TikZの記述の編集は非常に簡単になります.

また,

  • ライブラリ[calc]を用いることで,座標の計算ができ,
  • ライブラリ[intersections]を用いることで,曲線の交点の座標を定義できます.

なお,本稿では以下のように3つのライブラリintersections, calc, arrowsを用います.

なお,ライブラリについては最初の記事で説明しています.

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well-definedとは何か?|剰余群の定義を理解しよう

代数学で群論を学ぶと,そのうち剰余群を学ぶことになりますが,剰余群の定義で戸惑ってしまう人は多いように思います.

この戸惑う根底にあるのは,「well-defined性」の概念でしょう.

剰余群の定義においてだけではなく,数学においてwell-defined性は非常に重要ですが,高校ではともかく大学でもその意味を教えてもらったことがない人も多いように思います.

少なくとも私は教わった記憶がありません.

剰余群を定義する際に,このwell-defined性を理解していないと「どうしてこんな議論が必要なのか」と思ってしまうことが多いようです.

本記事では,剰余群の定義を通してwell-defined性を理解することを目標とします.

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LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方3|グラフの描き方

TikZではy=x^2+xy=\sin{x}などといったy=f(x)の陽関数だけでなく,媒介変数表示された点(x(t),y(t))のグラフを描くこともできます.

関数のグラフを書くための三角関数,指数関数,対数関数のコマンドも用意されており,初等関数はほぼ問題なく描くことができます.

もちろん前回の記事で説明した線のスタイルの変更もできるので,重要なグラフは太くするといった描画も可能です.

また,極座標表示も可能なので,極方程式のグラフも描くことができます.

なお,本稿では以下のように3つのライブラリintersections, calc, arrowsを用います.

なお,ライブラリについては最初の記事で説明しています.

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LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方2|線のスタイル

前回の記事では,TikZを使うための環境について説明し,基本的な線分や曲線の描き方を説明しました.

この記事では,描線について

  • 太さを変える
  • デザイン(点線や破線)にする
  • 矢印にする

といったスタイルを変える方法を説明します.

スタイルをコントロールできれば,図の表現の幅が飛躍的に広がりますね.

なお,本稿では以下のように3つのライブラリ”intersections”, “calc”, “arrows”を用います.

なお,ライブラリについては最初の記事で説明しています.

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LaTeXで図を直接描けるTikZの使い方1|基本的な描線

LaTeXで図を扱いたいとき,もともと画像ファイルを作っておいて,それをgraphicxなどのパッケージで挿入する方法があります.

しかし,図とLaTeXの文字のバランスの調整が難しかったり,図の挿入が綺麗に挿入できないことも少なくありません.

そこで,本稿ではTeXファイルに直接記述することで,直線,曲線,グラフなどの図を描くことができるパッケージのTikzのLaTeXでの使い方を紹介します.

画像ファイルを挿入する方法だと,図に修正を加えたいときに別ソフトで画像ファイルの編集をする必要があります.

一方,直接記述して表示できるTikZを用いれば図の修正がTeX上で完結するので,これは大きなメリットですね.

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