フルネ-セレの公式の導出|曲線に関するベクトルの関係式

 
 

3次元ユークリッド空間\R^3上のtをパラメータとする十分滑らかな曲線C:r=r(t)を考えます.

このとき,曲線Cの「進む向き」に相当する「接ベクトル」v_1(t),曲線Cの「曲がる向き」に相当する「法線ベクトル」v_2(t),曲線Cの「ねじれる向き」に相当する「従法線ベクトル」v_3(t)を考えることができます.

このとき,v_1(t),v_2(t),v_3(t)とそれらのtに関する導関数{v_1}'(t),{v_2}'(t),{v_3}'(t)との関係をFrenet(フルネ)-Serret(セレ)の公式といいます.

Frenet-Serretの公式は,1847年にジャン・フレデリック・フルネ(Jean Frédéric Frenet)によって,1851年にジョセフ・アルフレッド・セレ(Joseph Alfred Serret)によって,それぞれ独立に発見されました.

この記事では,Frenet-Serretの公式の導出について書きます.

なお,線形代数を解析的に扱うので,大学の最初の1年で習う線形代数と解析にある程度慣れていることが望まれますが,それほど難しいわけではありません.

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フロベニウスの定理|行列と多項式と固有値

   

多項式f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0と行列Aに対して,

f(A):=a_nA^n+\dots+a_1A+a_0I

とし,f(A)fAを代入した行列という.ただし,Iは単位行列である.

Frobenius(フロベニウス)の定理は,行列Aの固有値と,多項式f(x)に行列Aを代入した行列f(A)の関係を述べた定理で,f(A)の固有値を求めるのに非常に有用である.

なお,「正値正方行列には最大実固有値が唯一存在し,この固有値に属する固有ベクトルは正値ベクトルである」というPerron-Frobeniusの定理は以下を参照されたい.

【参考記事:ペロン-フロベニウスの定理

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位相空間上の連続写像を矛盾なく定義する方法

 
 

位相空間上の写像に連続性を定義することを考える.

位相空間より狭い概念である距離空間における連続性は「\epsilon\delta論法」を用いて定義するのが普通であるため,位相空間での写像の連続性を定義する際には,距離空間での連続性の定義に矛盾しないように定義する必要がある.

しかし,「\epsilon\delta論法」は距離を用いた定義のため,一般に距離が定義されていない位相空間にそのまま「\epsilon\delta論法」は適用できない.

したがって,距離空間での写像の連続性の定義を距離を用いない同値な条件に言い換え,それを位相空間上での連続性の定義とする方法をとる.

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書評/代数学1 群論入門(雪江明彦著,日本評論社)

 
代数学1 群論入門
 

【書名】 代数学1 群論入門

【著者】 雪江明彦

【出版】 日本評論社

群論の入門書.続巻として2巻,3巻がある.

2巻:代数学2 環と体とガロア理論 (雪江明彦 著,日本評論社)

3巻:代数学3 代数学の広がり (雪江明彦 著,日本評論社)

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書評/線型代数入門(齋藤正彦著,東京大学出版会)

 
線型代数学入門
 

【書名】 線型代数入門

【著者】 齋藤正彦

【出版】 東京大学出版会

線型代数の入門書.

対応した演習書「線型代数演習」(齋藤正彦 著,東京大学出版会)も発刊されている.

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